1．（3分）華為手機(jī)使用了自主研發(fā)的海思麒麟芯片，目前最新的型號是麒麟990．芯片是由很多晶體管組成的，而芯片技術(shù)追求是體積更小的晶體管，以便獲得更小的芯片和更低的電力功耗，而麒麟990的晶體管柵極的寬度達(dá)到了0.000000007毫米，將數(shù)據(jù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．7×10﹣8B．7×10﹣9C．0.7×10﹣8D．0.7×10﹣9
2．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3?a2＝a6B．（a3）2＝a5
C．（ab）3＝a3b3D．a(chǎn)6÷a2＝a3
4．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A+∠B＝90°
C．a(chǎn)：b：c＝2：3：4D．b2＝a2﹣c2
5．（3分）如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，EF＝3，則BD的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如果a﹣b＝3，那么代數(shù)式的值為（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
7．（3分）小雨在參觀故宮博物院時，被太和殿窗欞的三交六惋菱花圖案所吸引，他從中提取出一個含角的菱形ABCD（如圖1所示）．若AB的長度為a，則菱形ABCD的面積為（ ）
A．B．C．a(chǎn)2D．
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC，AB，BC的對稱點(diǎn)，給出下面三個結(jié)論：
①AE＝AD；
②∠DPE＝90°；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二.填空題（本題共24分，每題3分）
9．（3分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ．
10．（3分）分解因式：3m3﹣12m＝ ．
11．（3分）若關(guān)于x的方程＝8的解為x＝，則m＝ ．
12．（3分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則ED的長為 ．
13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
14．（3分）小方在學(xué)習(xí)菱形時，發(fā)現(xiàn)可以利用菱形紙片拼出著名的“趙爽弦圖”：
把如圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，這四個直角三角形可以拼出如圖2所示的面積為7的正方形ABCD，和如圖3所示的邊長為1的正方形EFGH，則圖1中菱形的邊長為 ．
15．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分線AE、DF分別交BC于點(diǎn)E、F．若EF＝2，AB＝5，則AD的長為 ．
16．（3分）A，B，C三種原料每袋的重量（單位：kg）依次是1，2，3，每袋的價格（單位：萬元）依次是3，2，5．現(xiàn)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要A，B，C這三種原料的袋數(shù)依次為x1，x2，x3（x1，x2，x3均為正整數(shù)），則生產(chǎn)這種產(chǎn)品時需要的這三類原料的總重量W（單位：kg）＝ （用含x1，x2，x3的代數(shù)式表示）；為了提升產(chǎn)品的品質(zhì)，要求W≥13，當(dāng)x1，x2，x3的值依次是 時，這種產(chǎn)品的成本最低．
三.解答題（本題共52分，第17題5分；第18題12分；第19-21題，每題5分；第22題6分；第23-24題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17．（5分）計算：．
18．（12分）計算
（1）a3?a+（﹣3a3）2÷a2；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+3）（x﹣2）；
（3）；
（4）．
19．（5分）列方程解應(yīng)用題：
無人配送以其高效、安全、低成本等優(yōu)勢，正在成為物流運(yùn)輸行業(yè)的新趨勢．某物流園區(qū)使用1輛無人配送車平均每天配送的包裹數(shù)量是1名快遞員平均每天配送包裹數(shù)量的5倍．要配送6000件包裹，使用1輛無人配送車所需時間比4名快遞員同時配送所需時間少2天，求1名快遞員平均每天可配送包裹多少件？
20．（5分）如圖，小明在方格紙中選擇格點(diǎn)作為頂點(diǎn)畫?ABCD和△BCE．
（1）請你在方格紙中找到點(diǎn)D，補(bǔ)全?ABCD；
（2）若每個正方形小格的邊長為1，請計算線段CE的長度并判斷AD與CE的位置關(guān)系，并說明理由．
21．（5分）小明設(shè)計了一個凈水裝置，將雜質(zhì)含量為n的水用m單位量的凈水材料過濾一次后，水中的雜質(zhì)含量為．利用此凈水裝置，小明進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：
現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水．
（1）用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為 ；
（2）小明共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計了如下的三種方案：方案A是將6a單位量的凈水材料一次性使用，對水進(jìn)行過濾；方案B和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對水先后進(jìn)行兩次過濾．三種方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
①請將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；
②通過計算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過濾效果最好？
（3）當(dāng)凈水材料總量為6a單位量不變時，為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為 （用含a的式子表示）．
22．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．
23．（7分）平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O．M為線段OC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)N在射線OD上，連接AN、MN．
（1）如圖1，若∠AOD＝60°，CM＝ON，當(dāng)M是OC中點(diǎn)時，求∠NAC的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠AOD＝45°，AN＝MN．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②請用等式表示線段CM、ON之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
24．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過原點(diǎn)且經(jīng)過第三、第一象限，l與x軸所夾銳角為n°．對于點(diǎn)P和x軸上的兩點(diǎn)M，N，給出如下定義：記點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為正數(shù)，且△MNQ為等邊三角形，則稱點(diǎn)P為M，N的n°點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)M（2，0），N（4，0），點(diǎn)P為M，N的45°點(diǎn)，連接OP，OQ．
①∠POQ＝ °；
②求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)M（m，0），N（m+t，0）．
①當(dāng)t＝2時，點(diǎn)P為M，N的60°點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2，則m＝ ；
②當(dāng)m＝﹣2時，點(diǎn)P為M，N的30°點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則t＝ ．
四、附加題：（本題共20分，第25-27題，每題3分；第28題4分；第29題7分）
25．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長為 ．
26．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，若AB＝6，BC＝8，則AE的長為 ．
27．（3分）如圖，一個梯子AB長25米，斜靠在豎直的墻上，這時梯子下端B與墻角C距離為7米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得AE的長4米，則梯子底端B向右滑動了 米．
28．（4分）我們可以將一些只含有一個字母且分子、分母的次數(shù)都為一次的分式變形，轉(zhuǎn)化為整數(shù)與新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．
參考上面的方法，解決下列問題：
（1）將變形為滿足以上要求的形式：＝ ；
（2）若為正整數(shù)，且a也為正整數(shù)，則a的值為 ．
29．（7分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，P為CA延長線上一點(diǎn)，作A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)D，連接CD交BP于F．過B作BM垂直于PD延長線于M，設(shè)∠ABP＝α．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：BM＝DM；
（3）當(dāng)0°＜∠ABP＜45°時，N為AC中點(diǎn)，用等式表示線段MN，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)清華附中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（本題共24分，每題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1．（3分）華為手機(jī)使用了自主研發(fā)的海思麒麟芯片，目前最新的型號是麒麟990．芯片是由很多晶體管組成的，而芯片技術(shù)追求是體積更小的晶體管，以便獲得更小的芯片和更低的電力功耗，而麒麟990的晶體管柵極的寬度達(dá)到了0.000000007毫米，將數(shù)據(jù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．7×10﹣8B．7×10﹣9C．0.7×10﹣8D．0.7×10﹣9
【答案】B
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
2．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．
【解答】解：A.＝＝，故A不符合題意；
B.＝2，故B不符合題意；
C.＝，故C不符合題意；
D.是最簡二次根式，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3?a2＝a6B．（a3）2＝a5
C．（ab）3＝a3b3D．a(chǎn)6÷a2＝a3
【答案】C
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的除法法則逐一判斷即可．
【解答】解：A、a3?a2＝a5，故本選項不合題意；
B、（a3）2＝a6，故本選項不合題意；
C、（ab）3＝a3b3，故本選項符合題意；
D、a6÷a2＝a4，故本選項不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
4．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3B．∠A+∠B＝90°
C．a(chǎn)：b：c＝2：3：4D．b2＝a2﹣c2
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷A、B是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷C、D 是否是直角三角形．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A+∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合題意；
B、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合題意；
C、設(shè)a＝2x，b＝3x，c＝4x，
∵a2+b2＝4x2+9x2＝13x2，c2＝16x2，a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，符合題意；
D、∵b2+c2＝a2符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理，判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．
5．（3分）如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，EF＝3，則BD的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出AD，再根據(jù)三角形的中線的概念解答即可．
【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，
∴EF是△ACD的中位線，
∴AD＝2EF＝2×3＝6，
∵CD是△ABC的中線，
∴BD＝AD＝6，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的中線的概念，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如果a﹣b＝3，那么代數(shù)式的值為（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
【答案】A
【分析】將分式運(yùn)算后代入數(shù)值計算即可．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝2（b﹣a），
∵a﹣b＝3，
∴b﹣a＝﹣3，
故原式＝2×（﹣3）＝﹣6，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）小雨在參觀故宮博物院時，被太和殿窗欞的三交六惋菱花圖案所吸引，他從中提取出一個含角的菱形ABCD（如圖1所示）．若AB的長度為a，則菱形ABCD的面積為（ ）
A．B．C．a(chǎn)2D．
【答案】B
【分析】過A作AH⊥BC于H，由四邊形ABCD是菱形，得到AB＝BC＝a，又∠B＝60°，推出△ABC是等邊三角形，求出AH＝a，即可求出菱形ABCD的面積．
【解答】解：過A作AH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝a，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AH＝AB＝a，
∴菱形ABCD的面積＝BC?AH＝a2．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查菱形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的面積，關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì)，推出△ABC是等邊三角形．
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC，AB，BC的對稱點(diǎn)，給出下面三個結(jié)論：
①AE＝AD；
②∠DPE＝90°；
③∠ADC+∠BFC+∠BEA＝270°．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】連接AP，CP，BP，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得AC，AB，BC分別為PD，PE，PF的垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AD＝AP，AE＝AP，CD＝CP，即可判斷①③，根據(jù)∠BAC＝90°，可得四邊形AMPN為矩形，即可判斷②．
【解答】解：如圖，連接AP，CP，BP，
∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC，AB，BC的對稱點(diǎn)，
∴AC，AB，BC分別為PD，PE，PF的垂直平分線，
∴AD＝AP，AE＝AP，
∴AE＝AD，故①正確；
∵AC，AB分別為PD，PE的垂直平分線，∠BAC＝90°，
∴四邊形AMPN為矩形，
∴∠DPE＝90°，故②正確；
∵AC為PD的垂直平分線，
∴AD＝AP，CD＝CP，
∴∠ADP＝∠APD，∠CDP＝∠CPD，
∴∠ADC＝∠APC，
同理得∠BFC＝∠BPC，∠BEA＝∠APB，
∵∠APC+∠BPC+∠APB＝360°，
∴∠ADC+∠BFC+∠BEA＝360°，故③錯誤；
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．
二.填空題（本題共24分，每題3分）
9．（3分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 x≤3 ．
【答案】x≤3．
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)不小于零的條件進(jìn)行解題即可．
【解答】解：根據(jù)題意可知，
9﹣3x≥0，
解得x≤3．
故答案為：x≤3．
【點(diǎn)評】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)不小于零是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）分解因式：3m3﹣12m＝ 3m（m﹣2）（m+2） ．
【答案】3m（m﹣2）（m+2）．
【分析】利用提公因式和平方差公式進(jìn)行因式分解．
【解答】解：3m3﹣12m
＝3m（m2﹣4）
＝3m（m﹣2）（m+2）．
故答案為：3m（m﹣2）（m+2）．
【點(diǎn)評】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
11．（3分）若關(guān)于x的方程＝8的解為x＝，則m＝ 4 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】將x的值代入方程計算即可求出m的值．
【解答】解：分式方程去分母得：mx+1＝8x，
根據(jù)題意將x＝代入方程得：m+1＝2，
解得：m＝4．
故答案為：4
【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值．
12．（3分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則ED的長為 ．
【答案】．
【分析】連接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理計算即可得出ED的長．
【解答】解：如圖，連接AD，則AD＝AB＝3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
ED＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （3，0） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)E，BD交y軸于點(diǎn)F，由菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，BE＝DE＝BD，再求出BD＝BF+DF＝8，則BE＝DE＝4，得OC＝EF＝3，即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)E，BD交y軸于點(diǎn)F，
則OC＝EF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BE＝DE＝BD，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），
∴BF＝1，DF＝7，BD∥x軸，
∴BD＝BF+DF＝8，
∴BE＝DE＝4，
∴OC＝EF＝BE﹣BF＝4﹣1＝3，
∵點(diǎn)C在x軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，0），
故答案為：（3，0）．
【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）小方在學(xué)習(xí)菱形時，發(fā)現(xiàn)可以利用菱形紙片拼出著名的“趙爽弦圖”：
把如圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，這四個直角三角形可以拼出如圖2所示的面積為7的正方形ABCD，和如圖3所示的邊長為1的正方形EFGH，則圖1中菱形的邊長為 2 ．
【答案】2．
【分析】將菱形中的直角三角形的直角邊設(shè)出來，列出關(guān)于直角邊的方程組，求出直角邊即可．
【解答】解：設(shè)菱形中的直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，
則：，
化簡得：ab＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝7﹣3＝4，
∴菱形的邊長＝＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)解答．
15．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分線AE、DF分別交BC于點(diǎn)E、F．若EF＝2，AB＝5，則AD的長為 8 ．
【答案】8．
【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，則∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是判斷出BA＝BE＝CF＝CD．
16．（3分）A，B，C三種原料每袋的重量（單位：kg）依次是1，2，3，每袋的價格（單位：萬元）依次是3，2，5．現(xiàn)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要A，B，C這三種原料的袋數(shù)依次為x1，x2，x3（x1，x2，x3均為正整數(shù)），則生產(chǎn)這種產(chǎn)品時需要的這三類原料的總重量W（單位：kg）＝ x1+2x2+3x3 （用含x1，x2，x3的代數(shù)式表示）；為了提升產(chǎn)品的品質(zhì)，要求W≥13，當(dāng)x1，x2，x3的值依次是 1，5，1 時，這種產(chǎn)品的成本最低．
【答案】x1+2x2+3x3；1，5，1．
【分析】先根據(jù)總重＝各類型數(shù)量×單位重量之和，得出W，再判斷出成本最低時總量最低，得出W＝13，再試根求出答案即可．
【解答】解：∵總重＝各類型數(shù)量×單位重量之和，
∴W＝x1+2x2+3x3，
當(dāng)W≥13時，由題得：當(dāng)產(chǎn)品成本最低時，產(chǎn)品原料總重也應(yīng)最低，
∴W＝13，即x1+2x2+3x3＝13，
∵x1，x2，x3均為正整數(shù)，
由配湊試根得：x1＝1，x2＝5，x3＝1．
故答案為：x1+2x2+3x3；1，5，1．
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用配湊試根法求方程的解．
三.解答題（本題共52分，第17題5分；第18題12分；第19-21題，每題5分；第22題6分；第23-24題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17．（5分）計算：．
【答案】5﹣3．
【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，二次根式的運(yùn)算法則，絕對值的性質(zhì)計算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣2+2﹣＝5﹣3．
【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（12分）計算
（1）a3?a+（﹣3a3）2÷a2；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+3）（x﹣2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）10a4；
（2）3x2﹣x+5；
（3）；
（4）4+．
【分析】（1）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減；
（2）先計算括號，再合并同類項；
（3）先計算括號，再計算乘除；
（4）先計算括號，再合并同類二次根式．
【解答】解：（1）原式＝a4+9a6÷a2
＝a4+9a4
＝10a4；
（2）原式＝4x2﹣1﹣（x2+x﹣6）
＝4x2﹣1﹣x2﹣x+6
＝3x2﹣x+5；
（3）原式＝[]×
＝×
＝；
（4）原式＝×+×﹣2
＝4+3﹣2
＝4+．
【點(diǎn)評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，屬于中考?？碱}型．
19．（5分）列方程解應(yīng)用題：
無人配送以其高效、安全、低成本等優(yōu)勢，正在成為物流運(yùn)輸行業(yè)的新趨勢．某物流園區(qū)使用1輛無人配送車平均每天配送的包裹數(shù)量是1名快遞員平均每天配送包裹數(shù)量的5倍．要配送6000件包裹，使用1輛無人配送車所需時間比4名快遞員同時配送所需時間少2天，求1名快遞員平均每天可配送包裹多少件？
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】設(shè)1名快遞員平均每天可配送包裹x件，則1輛無人配送車平均每天可配送包裹5x件，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合“要配送6000件包裹，使用1輛無人配送車所需時間比4名快遞員同時配送所需時間少2天”，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)1名快遞員平均每天可配送包裹x件，則1輛無人配送車平均每天可配送包裹5x件，
根據(jù)題意得：﹣＝2，
解得：x＝150，
經(jīng)檢驗，x＝150是所列方程的解，且符合題意．
答：1名快遞員平均每天可配送包裹150件．
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，小明在方格紙中選擇格點(diǎn)作為頂點(diǎn)畫?ABCD和△BCE．
（1）請你在方格紙中找到點(diǎn)D，補(bǔ)全?ABCD；
（2）若每個正方形小格的邊長為1，請計算線段CE的長度并判斷AD與CE的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）如圖所示；（2）見解析．
【分析】（1）在過C點(diǎn)且平行于AB的直線上截取4個單位長度，即找到點(diǎn)D；
（2）證明三角形BCE是直角三角形，BC⊥EC，再由BC∥AD，即可證明．
【解答】解：（1）所作點(diǎn)D如圖所示：
（2）由圖得：BC＝＝2，CE＝＝4，BE＝10，
∴BC2+EC2＝BE2，
∴三角形BCE是直角三角形，
∴BC⊥CE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴AD⊥CE．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖能力，平行四邊形的判斷及勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
21．（5分）小明設(shè)計了一個凈水裝置，將雜質(zhì)含量為n的水用m單位量的凈水材料過濾一次后，水中的雜質(zhì)含量為．利用此凈水裝置，小明進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：
現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水．
（1）用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為 ；
（2）小明共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計了如下的三種方案：方案A是將6a單位量的凈水材料一次性使用，對水進(jìn)行過濾；方案B和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對水先后進(jìn)行兩次過濾．三種方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
①請將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；
②通過計算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過濾效果最好？
（3）當(dāng)凈水材料總量為6a單位量不變時，為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為 3a （用含a的式子表示）．
【答案】（1）；
（2）①，；
②方案C的最終過濾效果最好；
（3）3a．
【分析】（1）根據(jù)水中的雜質(zhì)含量即可求解；
（2）①同樣根據(jù)水中的雜質(zhì)含量即可求解；
②當(dāng)?shù)谝淮蝺羲牧嫌昧慷?a、5a、4a時，用三次最終過濾后的水中雜質(zhì)含量相比較即可；
（3）將第一次凈水材料用量定為6a、5a、4a時，4a的最終過濾效果最好，因此在將第一次凈水材料用量定為6a、5a、4a、3a、2a、a時，發(fā)現(xiàn)將第一次凈水材料用量定為5a與a、4a與2a時的過濾效果一樣，因此將第一次凈水材料用量定為3a與4a的過濾效果進(jìn)行比較，可得3a的最終過濾效果最好．
【解答】解：（1）水中的雜質(zhì)含量為，
∴現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水，用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為 ＝，
故答案為：．
（2）①方案C水中雜質(zhì)含量：，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量：；
②﹣＝，
∵a＞0，
∴5a2＞0，（1+6a）（1+5a）（1+a）＞0
∴＞，
同理可得：＞，
∴＜＜，
∴方案C的最終過濾效果最好；
（3）將第一次凈水材料用量定為3a時，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為；
將第一次凈水材料用量定為2a時，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為，結(jié)果與將第一次凈水材料用量定為4a時相同；
將第一次凈水材料用量定為a時，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為，結(jié)果與將第一次凈水材料用量定為5a時相同；
∵在將第一次凈水材料用量定為6a、5a、4a時，4a的最終過濾效果最好，
同理，可得﹣＜0，
∴將第一次凈水材料用量定為3a時，其最終過濾效果最好，
∴為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為3a．
故答案為：3a．
【點(diǎn)評】本題考查的是代數(shù)式的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用代數(shù)式的減法、乘法與加法運(yùn)算．
22．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC且AD＝BC，等量代換得到BC＝EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四邊形AEFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
23．（7分）平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O．M為線段OC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)N在射線OD上，連接AN、MN．
（1）如圖1，若∠AOD＝60°，CM＝ON，當(dāng)M是OC中點(diǎn)時，求∠NAC的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠AOD＝45°，AN＝MN．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②請用等式表示線段CM、ON之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
【答案】（1）30°；
（2）①圖形見解析；②ON＝CM，證明見解析．
【分析】（1）取OA的中點(diǎn)P，連接PN，證OM＝ON，得∠OMN＝∠ONM，再證∠OMN＝∠ONM＝30°，進(jìn)而證∠NAC＝∠ANP，然后證△OPN是等邊三角形，得∠OPN＝60°，即可得出結(jié)論；
（2）①依題意補(bǔ)全圖形即可；
②過點(diǎn)A作AG⊥BD于點(diǎn)G，過M作MH⊥BD于點(diǎn)H，證△AOG和△OMH是等腰直角三角形，得AG＝OA＝OC，OH＝OM，再證△AGN≌△NHM（AAS），得AG＝NH，即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖1，取OA的中點(diǎn)P，連接PN，
則OP＝AP＝OA，
∵M(jìn)是OC中點(diǎn)，
∴OM＝CM＝OC，
∵CM＝ON，
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM，
∵∠AOD＝∠OMN+∠ONM＝60°，
∴∠OMN＝∠ONM＝30°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，
∴ON＝OM＝OA，
∴AP＝OP＝ON，
∴∠NAC＝∠ANP，
∵∠AOD＝60°，
∴△OPN是等邊三角形，
∴∠OPN＝60°，
∵∠OPN＝∠NAC+∠ANP，
∴∠NAC＝∠OPN＝30°，
即∠NAC的度數(shù)為30°；
（2）①依題意補(bǔ)全圖形如圖2；
②ON＝CM，證明如下：
如圖3，過點(diǎn)A作AG⊥BD于點(diǎn)G，過M作MH⊥BD于點(diǎn)H，
則∠AGN＝∠NHM＝90°，
∵∠MOH＝∠AOD＝45°，
∴△AOG和△OMH是等腰直角三角形，
∴AG＝OA＝OC，∠OMH＝45°，OH＝OM，
∵AN＝MN，
∴∠NAM＝∠NMA，
∵∠ANG＝∠AOG+∠NAM＝45°+∠NAM，∠NMH＝∠OMH+∠NMA＝45°+∠NMA，
∴∠ANG＝∠NMH，
在△AGN和△NHM中，
，
∴△AGN≌△NHM（AAS），
∴AG＝NH，
∴OC＝ON+OH，
∴（OM+CM）＝ON+OM，
∴ON＝CM．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
24．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過原點(diǎn)且經(jīng)過第三、第一象限，l與x軸所夾銳角為n°．對于點(diǎn)P和x軸上的兩點(diǎn)M，N，給出如下定義：記點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為正數(shù)，且△MNQ為等邊三角形，則稱點(diǎn)P為M，N的n°點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)M（2，0），N（4，0），點(diǎn)P為M，N的45°點(diǎn)，連接OP，OQ．
①∠POQ＝ 30 °；
②求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)M（m，0），N（m+t，0）．
①當(dāng)t＝2時，點(diǎn)P為M，N的60°點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2，則m＝ 6 ；
②當(dāng)m＝﹣2時，點(diǎn)P為M，N的30°點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則t＝ 3或﹣6 ．
【答案】（1）①30；②P（，3）；
（2）①6；3或﹣6．
【分析】（1）①如圖1，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，根據(jù)定義：記點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為正數(shù)，且△MNQ為等邊三角形，則稱點(diǎn)P為M，N的n°點(diǎn)．可知△MNQ為等邊三角形，l與x軸所夾銳角為45°，則QM＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，即可求得答案；
②先證明△POF≌△QOE（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得答案；
（2）①過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，作PK∥y軸交直線l于K，交x軸于T，連接KQ交x軸于W，連接PQ交直線l于L，根據(jù)定義可得QE＝，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，P、Q關(guān)于直線l對稱，再由勾股定理即可求得答案；
②分兩種情況：t＞0或t＜0，分別畫出圖象，結(jié)合定義即可求得答案．
【解答】解：（1）①如圖1，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，
∵M(jìn)（2，0），N（4，0），
∴MN＝2，OM＝2，
∵△MNQ為等邊三角形，QE⊥MN，
∴QM＝MN＝2，ME＝MN＝1，∠QMN＝60°，
∴QE＝＝＝，OE＝OM+ME＝2+1＝3，
∵OM＝QM，
∴∠QOM＝∠OQM＝30°，
∵點(diǎn)P為M，N的45°點(diǎn)，
∴l(xiāng)與x軸所夾銳角為45°，
∵點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為Q，
∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°，
故答案為：30．
②在△POF和△QOE中，
，
∴△POF≌△QOE（AAS），
∴OF＝OE＝3，PF＝QE＝，
∴P（，3）；
（2）①∵M(jìn)（m，0），N（m+t，0），
∴MN＝m+t﹣m＝t，
∴當(dāng)t＝2時，MN＝2，
如圖2，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，作PK∥y軸交直線l于K，交x軸于T，連接KQ交x軸于W，連接PQ交直線l于L，
∵點(diǎn)P為M，N的60°點(diǎn)，
∴QE＝，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，
∴∠PKO＝30°，
∵P、Q關(guān)于直線l對稱，
∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°，
∴OK＝4，
∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°，
∴∠OWK＝∠QKL，
∴OW＝OK＝4，
∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3，
在Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN，
∴WQ＝2QE＝2，
∴WE＝＝＝3，
∴m﹣3＝3，
∴m＝6，
故答案為：6．
②∵m＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
如圖，分兩種情況：當(dāng)t＞0時，點(diǎn)N1在點(diǎn)M的右側(cè)，
∵x＝2與l的夾角為60°，
∴x＝2關(guān)于l的對稱線和l的夾角也為60°，
∴∠HTK＝60°，
∴△TOK是等腰三角形，
∴HK＝OH＝2，
∴∠Q1KM＝30°，
∵∠Q1MK＝60°，
∴Q1M⊥Q1K，
∴MK＝2Q1M，即6＝2t，
∴t＝3；
當(dāng)t＜0時，點(diǎn)N2在點(diǎn)M的左側(cè)，
同理可得：KN2＝2Q2N2，即6﹣t＝﹣2t，
∴t＝﹣6；
綜上所述，t＝3或﹣6，
故答案為：3或﹣6．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，理解并運(yùn)用新定義是解題關(guān)鍵．
四、附加題：（本題共20分，第25-27題，每題3分；第28題4分；第29題7分）
25．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長為 ．
【答案】．
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠AEB＝90°，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，AE＝DE＝CE＝2，從而得到CD＝4，最后利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是△ABC的中線，AB＝4，
∴DE是△ABE斜邊上的中線，
∴，
∵∠DAC＝90°，E是CD的中點(diǎn)，
∴AE＝DE＝CE＝2，
∴CD＝4，
由勾股定理得．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，若AB＝6，BC＝8，則AE的長為 ．
【答案】．
【分析】連接CE，由矩形的性質(zhì)得OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，因為OE⊥AC，所以O(shè)E垂直平分AC，則CE＝AE，由勾股定理得（8﹣AE）2+62＝AE2，求得AE＝，于是得到問題的答案．
【解答】解：連接CE，
∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，
∴OA＝OC，∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∴DE＝8﹣AE，
∵DE2+CD2＝CE2，
∴（8﹣AE）2+62＝AE2，
解得AE＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
27．（3分）如圖，一個梯子AB長25米，斜靠在豎直的墻上，這時梯子下端B與墻角C距離為7米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得AE的長4米，則梯子底端B向右滑動了 8 米．
【答案】8．
【分析】由勾得到股定理求出AC的長，得到CE的長，由勾股定理求出CD的長，即可得到BD的長．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，
∴AC＝＝24（米），
∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），
∵DE＝AB＝25米，
∴CD＝＝15（米），
∴BD＝CD﹣BC＝8（米），
∴梯子底端B向右滑動了8米．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，關(guān)鍵是由勾股定理求出AC、CD的長．
28．（4分）我們可以將一些只含有一個字母且分子、分母的次數(shù)都為一次的分式變形，轉(zhuǎn)化為整數(shù)與新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．
參考上面的方法，解決下列問題：
（1）將變形為滿足以上要求的形式：＝ a﹣2﹣ ；
（2）若為正整數(shù)，且a也為正整數(shù)，則a的值為 2或6 ．
【答案】（1）a﹣2﹣；
（2）2或6．
【分析】（1）利用分式的加減法則及分式的性質(zhì)進(jìn)行變形即可；
（2）將原式變形后根據(jù)題意確定符合題意的a的值即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝﹣
＝a﹣2﹣，
故答案為：a﹣2﹣；
（2）原式＝
＝+
＝3+，
∵原式的值為正整數(shù)，a為正整數(shù)，
∴a﹣1＝1或5，
解得：a＝2或6，
故答案為：2或6．
【點(diǎn)評】本題考查分式的加減及分式的性質(zhì)，結(jié)合已知條件將原式進(jìn)行正確的變形是解題的關(guān)鍵．
29．（7分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，P為CA延長線上一點(diǎn)，作A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)D，連接CD交BP于F．過B作BM垂直于PD延長線于M，設(shè)∠ABP＝α．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：BM＝DM；
（3）當(dāng)0°＜∠ABP＜45°時，N為AC中點(diǎn)，用等式表示線段MN，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見解析過程；
（2）見解析過程；
（3）見解析過程．
【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）由“SSS”可證△PAB≌△PDB，可得∠PDB＝∠PAB＝135°，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得MN＝MH，∠HMN＝90°，HN＝MN，BN＝CN＝AN，BN⊥AC，由“SAS”可證△DMH≌△BMN，可得HD＝BN，∠HDM＝∠NBM，可證四邊形HDCN是平行四邊形，可得HN＝DC，即可求解．
【解答】（1）解：如圖所示；
（2）證明：如圖，連接BD，
在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠PAB＝180°﹣45°＝135°，
∵點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，
∴PB垂直平分AD，
∴AP＝PD，AB＝BD，
∵PB＝PB，
∴△PAB≌△PDB（SSS），
∴∠PDB＝∠PAB＝135°，
∴∠BDM＝180°﹣135°＝45°，
∵BM⊥PM，
∴∠BMD＝90°，
∴∠MBD＝∠MDB＝45°，
∴BM＝DM；
（3）解：CD＝MN，理由如下：
如圖，以MN為直角邊作等腰直角三角形MNH，則MN＝MH，∠HMN＝90°，HN＝MN，連接HN，DH，
∵△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，
∴BN＝CN＝AN，BN⊥AC，
∵∠DMB＝∠HMN＝90°，
∴∠HMD＝∠NMB，
又∵M(jìn)H＝NM，DM＝MB，
∴△DMH≌△BMN（SAS），
∴HD＝BN，∠HDM＝∠NBM，
∴HD＝NC，
∵∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴∠MPB+∠MBN＝180°，
∵∠HDM+∠HDP＝180°，
∴∠HDP＝∠MPN，
∴HD∥PC，
∴四邊形HDCN是平行四邊形，
∴HN＝DC，
∴DC＝MN．
【點(diǎn)評】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/25 1:36:46；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號：43314264方案編號
第一次過濾用凈水材料的單位量
水中雜質(zhì)含量
第二次過濾用凈水材料的單位量
第二次過濾后水中雜質(zhì)含量
A
6a
/
/
B
5a
a
C
4a
2a
方案編號
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