數(shù) 學(xué)
考生注意:
1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”。
2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效。
3．本試卷滿分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘，考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。
1．已知集合,，則（ ）
A． B． C． D．
2. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3. 設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為（ ）
A． B．23 C． D．24
4. 已知函數(shù)，若，其中，，則的最小值為（ ）
A．3 B． C．2 D．
5. 在內(nèi)函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．定義域?yàn)? B．值域?yàn)? C．偶函數(shù) D．減函數(shù)
7. 設(shè)，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8. 若，則（ ）
A． B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9. 關(guān)于函數(shù)的描述有以下說(shuō)法，其中正確的有（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若滿足，則方程在區(qū)間上可能有實(shí)根
B．若函數(shù)的零點(diǎn)為，則函數(shù)在點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值的符號(hào)一定不相同
C．“二分法”判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法對(duì)連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點(diǎn)都有效
D．連續(xù)函數(shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間函數(shù)值（兩零點(diǎn)間的函數(shù)值來(lái)為0）保持同號(hào)
10. 下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A． 的最小正周期為
B． 是的最小值
C． 在區(qū)間上的值域?yàn)?br>D． 把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象
12. 若，分別為的整數(shù)和小數(shù)部分，則下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題：本大題共4題，每小題5分，共20分。
13. 高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是 .
14. 筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動(dòng)力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為米的筒車按逆時(shí)針?lè)较蜃雒糠昼娹D(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒的初始位置為點(diǎn)(水面與筒車右側(cè)的交點(diǎn))，從此處開(kāi)始計(jì)時(shí)，分鐘時(shí)，該盛水筒距水面距離為，則 .
15. 已知點(diǎn)是函數(shù)（，，）圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，是函數(shù) 的一個(gè)零點(diǎn)，且與之差的絕對(duì)值的最小值為．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且是奇函數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②在區(qū)間上的值域?yàn)?；③的單調(diào)遞增區(qū)間為，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 ．
16. 已知是上的奇函數(shù)，且對(duì)，有，當(dāng)時(shí)，，則 ．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。
17. (本題10分)已知，是的子集，定義集合
，若，則稱集合A是的恰當(dāng)子集．用表示有限集合X的元素個(gè)數(shù).
(1)若，，求并判斷集合A是否為的恰當(dāng)子集；
(2)已知是的恰當(dāng)子集，求a，b的值并說(shuō)明理由；
(3)若存在A是的恰當(dāng)子集，并且，求n的最大值．
18. (本題12分)已知函數(shù).
(1)若的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且點(diǎn)恰好是的圖象中距離點(diǎn)最近的最高點(diǎn)，試求的解析式；
(2)若，且在上單調(diào)，在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
19. (本題12分)由于函數(shù)的圖象形狀如勾，因此我們稱形如“”的函數(shù)叫做“對(duì)勾函數(shù)”，該函數(shù)有如下性質(zhì)：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
(1)已知函數(shù)，，利用題干性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；
(2)若對(duì)于，都有恒成立，求m的取值范圍．
20. (本題12分)已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；
(3)解關(guān)于的不等式.
21. (本題12分)設(shè)在時(shí)，恒成立．
(1)求證：；
(2)求θ的取值范圍．
22.（本題12分）設(shè)函數(shù)，，．
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)求證：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，并求（表示不超過(guò)的最大整
數(shù)，如，）．
參考數(shù)據(jù)：，．
合肥一中肥東分校2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)期末考試·數(shù)學(xué)
參考答案及解析
1. C .
【解析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算，得.
2. B .
【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
且時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
由此可知C，D選項(xiàng)中圖象錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
故選項(xiàng)A中圖象不合題意，
又，故B中圖象符合題意.
3. B .
【解析】做出函數(shù)的圖象如圖所示，

由圖可知，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，
所以，
若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，
則，
由，可得或，
所以，又因?yàn)椋?br>所以，故，且，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
4. B .
【解析】因?yàn)椋?br>所以
令
則，
所以，所以，所以，其中，，.
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立
5. C .
【解析】由題意得，，解得，
所以，即函數(shù)定義域?yàn)?
6. A .
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以.
對(duì)A、B：因?yàn)?，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故A正確，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，即為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：在區(qū)間，上單調(diào)遞減，由可知在定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
7. D .
【解析】
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；
所以的最小值為
8. A .
【解析】，，，
因?yàn)椋瑒t，所以，即；
而，，所以，所以，即；
綜上：.
9. AD .
【解析】對(duì)于A，函數(shù)在上連續(xù)，，方程在有實(shí)根0，A正確；
對(duì)于B，函數(shù)的零點(diǎn)為0，而函數(shù)在點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相同，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，“二分法”判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法對(duì)連續(xù)不斷的函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相同的不適用，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由零點(diǎn)存在定理知，D正確.
10. BD .
【解析】對(duì)于A，是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故B正確；
對(duì)于C，，故在其定義域上不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故D正確.
11. ABD .
【解析】函數(shù)的周期，則
由，得，即，
因此函數(shù)解析式為，
對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，A正確；
對(duì)于B，，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)知，
，得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到函數(shù)的圖象，D正確.
12. ACD .
【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：取，則，，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，則，即，
，則，即，故，正確；
13. .
【解析】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?br>因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，
所以在定義域上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，；
所以，當(dāng)時(shí)，則，于是；
當(dāng)時(shí)，則，于是；
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述，的值域?yàn)?
14. 3 .
【解析】由題意得，又，故，
且，解得，
故，
當(dāng)時(shí)，，即，，
又，解得，
故，
所以.
15. ①② .
【解析】設(shè)的最小正周期為T，
由題知，，，，，
，.
對(duì)于①，是奇函數(shù)，，，
，，，，故①正確；
對(duì)于②，由①知，，
當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的圖象知，，
在區(qū)間上的值域?yàn)?，故②正確；
對(duì)于③，令，，解得，，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故③錯(cuò)誤.
16. .
【解析】由，，得，即函數(shù)的周期為4，
由，得，則，即，
又是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，
所以
.
17.
【解析】（1）若，有，由，則，
滿足，集合A是的恰當(dāng)子集；
（2）是的恰當(dāng)子集，則，
，由則或，
時(shí)，，此時(shí)，，滿足題意；
時(shí)，，此時(shí)，，滿足題意；
，或，.
（3）若存在A是的恰當(dāng)子集，并且，
當(dāng)時(shí)，，有，滿足，
所以是的恰當(dāng)子集，
當(dāng)時(shí)，若存在A是的恰當(dāng)子集，并且，則需滿足，由，則有且；由，則有或，
時(shí)，設(shè)，經(jīng)檢驗(yàn)沒(méi)有這樣的滿足；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，經(jīng)檢驗(yàn)沒(méi)有這樣的滿足；，
因此不存在A是的恰當(dāng)子集，并且，所以存在A是的恰當(dāng)子集，并且，n的最大值為10.
18.
【解析】（1）依題意可知：，即，所以，
又過(guò)點(diǎn)，所以,即，
又，所以，即.
（2）因?yàn)?，且，所以，即?br>又當(dāng)時(shí)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，
依題意：，即，
又在上單調(diào)，所以，
依題意;若，即，所以，因，故不合題意；
若，即，所以，因，故；
若，即，顯然不等式組無(wú)解；綜上的取值范圍為.
19.
【解析】（1）函數(shù)，，令，則，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，值域是.
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，取得最小值5，
因?yàn)閷?duì)，都有成立，則，
所以m的取值范圍是.
20.
【解析】（1）是奇函數(shù)，理由如下：
由題意可知，，
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>所以是奇函數(shù).
（2）在上是單調(diào)遞增函數(shù).
證明如下：
任取，設(shè)，則
.
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).
（3）由（1）（2）知是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
可以轉(zhuǎn)化為，
可化為，
即，
①當(dāng)時(shí)，不等式為，這時(shí)解集為；
②當(dāng)時(shí)，解不等式得到；
③當(dāng)時(shí)，解不等式得到.
綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.
21.
【解析】（1）由題意可知：.
（2），
對(duì)稱軸，
由（1）可知：，
于是在上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即，
解得：，
結(jié)合，
可得，
即θ的取值范圍是．
22.
【解析】（1）令，，解得，，
又，得的單調(diào)增區(qū)間是和；
令，，解得，，
又，得的單調(diào)減區(qū)間是和.
函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是和；
（2）若，，使成立，
則，，的值域應(yīng)為的值域的子集.
由（1）知，在單調(diào)遞減，
的值域?yàn)椋?br>，當(dāng)時(shí)，令，
則，開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸是，，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，即，解得，
所以；
（3）由（1）知在上是減函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，
所以在上是減函數(shù)，，
又，，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在上有唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，
即在上無(wú)零點(diǎn)，
綜上，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
，
，
，
.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
B
C
A
D
A
AD
BD
ABD
ACD

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