1．?dāng)?shù)學(xué)試卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．
2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，“試題卷”共4頁(yè)，“答題卷”共6頁(yè)．
3．請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卷”一并交回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分，每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的）
1．我國(guó)傳統(tǒng)文化中的“福祿壽喜”圖（如圖）由四個(gè)圖案構(gòu)成，這四個(gè)圖案中是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則（ ）
A．6B．9C．D．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．點(diǎn)M在第四象限B．點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5）
C．點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為D．點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
4．下列函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小的是（ ）
A．B．C．D．
5．有數(shù)字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個(gè)三位數(shù)，擺出的三位數(shù)是2的倍數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，五邊形ABCDE為⊙O的內(nèi)接正五邊形，點(diǎn)P為劣弧上的任意一點(diǎn)（不與D，E重合），則∠EPD的度數(shù)是（ ）
第6題圖
A．136°B．144°C．145°D．150°
7．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB'C'D'，則圖中陰影部分的面積為（ ）
第7題圖
A．1B．C．D．
8．已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致可能是（ ）
第8題圖
A．B．C．D．
9．如圖，在矩形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，BF，DE相交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作，交BF于點(diǎn)H，則線段GH的長(zhǎng)是（ ）
第9題圖
A．B．1C．D．
10．如圖，點(diǎn)A，B是半徑為2的⊙O上的兩點(diǎn)，且．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
第10題圖
A．圓心O到AB的距離為1
B．在圓上取異于A，B的一點(diǎn)C，則△ABC面積的最大值為
C．以AB為邊向上作矩形ABPQ，交⊙O于點(diǎn)P，Q，則扇形OPQ的面積為π
D．取弦AB的中點(diǎn)D，當(dāng)AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為2π
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．如果將拋物線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么所得新拋物線的函數(shù)解析式是______．
12．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為方程的兩根，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
13．如圖，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，AC交y軸于點(diǎn)B．若點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，△AOB的面積為2，則k的值為_(kāi)_____．
第13題圖
14．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AD上，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，連接PQ．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
第14題圖
（1）______；
（2）當(dāng)△ABP與△PEQ相似時(shí)，______．
三、（本大題共2小題，每小題8分、滿分16分）
15．解方程：．
16．如圖，OC為⊙O的半徑，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為E．若AB的長(zhǎng)為6，求⊙O的半徑．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）和點(diǎn)D，點(diǎn)D在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
（1）以點(diǎn)D為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)D上方畫(huà)出△ABC的位似圖形且使得它們的相似比為2：1；
（2）將（1）中的繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，畫(huà)出．
18．【觀察】，，，…，，，，，，…，，，．
【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)參與上述運(yùn)算的第一個(gè)因數(shù)為a，第二個(gè)因數(shù)為b，用等式表示a與b的數(shù)量關(guān)系是______．
【類比】觀察下列兩數(shù)的積：，，，，…，，…，，，，．
（2）猜想mn的最大值為_(kāi)_____，并用你學(xué)過(guò)的知識(shí)加以證明．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與直線相交于，B（3，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍．
20．定遠(yuǎn)池河大橋，原名太平橋，位于安徽省定遠(yuǎn)縣池河鎮(zhèn)西官驛道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如圖，拱橋的拱形是拋物線形狀，在拱橋中，當(dāng)水面寬度米時(shí)，水面離橋洞最大距離為1米，以水平面為x軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求該拱橋所在拋物線的解析式；
（2）當(dāng)水面離橋洞最大距離為3米時(shí)，求此時(shí)拱橋內(nèi)水面的寬度．
六、（本題滿分 12 分）
21．如圖，⊙O是△ABC的外接圓．AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)OE至點(diǎn)D，連接CD，使．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若，求AC的長(zhǎng)．
七、（本題滿分12分）
22．如圖，過(guò)等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A作AC的垂線l，點(diǎn)P為l上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CP，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB．
（1）求證：；
（2）連接PB并延長(zhǎng)交直線CQ于點(diǎn)D，且．
①試猜想BC和BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②若，求PB的長(zhǎng)．
八、（本題滿分14分）
23．如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)M為該拋物線的頂點(diǎn)，直線軸于點(diǎn)D，在直線MD上是否存在點(diǎn)N，使點(diǎn)N到直線MC的距離等于點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2023-2024年度（上）九年級(jí)期末學(xué)情調(diào)研
數(shù)學(xué)卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．A
10．C【解析】如圖1，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，連接OA，則．在Rt△AOH中，由勾股定理得，∴圓心O到AB的距離為1，故選項(xiàng)A正確；如圖1，延長(zhǎng)HO交⊙O于點(diǎn)C，此時(shí)△ABC的面積最大．∵，∴，∴△ABC面積的最大值為，故選項(xiàng)B正確；如圖2，連接PA，QB．∵四邊形ABPQ是矩形，∴，∴PA，QB是⊙O的直徑，∴．在Rt△ABP中，由勾股定理得．∵，∴，∴△POB是等邊三角形，∴，∴，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；取弦AB的中點(diǎn)D，連接OD，OA，OB．∵，∴，∴，∴當(dāng)AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，半徑長(zhǎng)是1的圓，∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D正確．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11． 12．10 13．
14．（1）（2分） （2）4或5（3分） 【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴，∴．
（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴．∵，∴，∴．①當(dāng)時(shí)，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，即，∴；當(dāng)時(shí)，．∵，∴，∴，∴四邊形ABPQ是矩形，∴．綜上所述，PQ的長(zhǎng)為4或5．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．解：整理，得，因式分解，得，
∴或，解得，．
16．解：如圖，連接OA．
∵OC為⊙O的半徑，AB垂直平分半徑OC，，
∴，．
設(shè)⊙O的半徑為r，則．
在Rt△OAE中，由勾股定理得，即，解得（負(fù)值舍去）．
∴⊙O的半徑為．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．解：（1）如圖，即為所作．
（2）如圖，即為所作．
18．解：（1）
（2）1600
證明：由題意，得．
將代入mn，得，
∴當(dāng)時(shí)，mn的最大值為1600．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．解：（1）將代入，得，
∴反比例函數(shù)的解析式為；
∵點(diǎn)B（3，n）在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
將，代入，
得解得
∴一次函數(shù)的解析式為．
（2）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C．
由，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∴．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為或．
20．解：（1）∵，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線，A（8，0）．
∵水面離橋洞最大距離為1米，
∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1）．
設(shè)該拋物線解析式為，把A（8，0）代入，得，
解得，∴該拱橋所在拋物線的解析式為．
（2）由題意，得．
把代入，得，
解得，，∴（米）．
答：此時(shí)拱橋內(nèi)水面的寬度為米．
六、（本題滿分12分）
21．（1）證明：如圖，連接OC．
∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴，∴，即．
∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．
（2）解：∵，∴．
在Rt△COD中，由勾股定理得．
∵，∴．
∵，∴．
七、（本題滿分12分）
22．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴，．
由旋轉(zhuǎn)，得，，
∴，∴，即．
在△ACP和△BCQ中，
∴，∴．
（2）解：①．
證明如下：如圖，連接PQ．
由旋轉(zhuǎn)，得，，∴△CPQ是等邊三角形．
∵，∴，∴PD是CQ的垂直平分線．
∵點(diǎn)B在PD上，∴．
②由（1）知，∴，，∴．
∵，∴，∴，∴．
在Rt△CDP中，，
∴，∴．
∵，，∴．
∵，∴．
∴，∴．
八、（本題滿分14分）
23．解：（1）令，得，
解得，，即，B（3，0），∴．
（2）由拋物線知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
如圖1，連接OP，設(shè)，
則．
∵，∴當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，，
∴當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
（3）存在滿足條件的點(diǎn)N．
如圖2，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H，連接NA．
由拋物線可知，拋物線的頂點(diǎn)為M（1，4），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3）．
設(shè)直線MC的解析式為，把M（1，4）代入，得，解得，
∴直線MC的解析式為，∴，∴．
當(dāng)時(shí)，．
設(shè)N（1，n），則，，
∴，解得，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．

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