一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知函數(shù)的定義域為A，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
3．已知命題，，若P為真命題，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.B.C.D.
4．已知冪函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的值域是( )
A.B.C.D.
5．如圖所示，正方體容器內(nèi)放了一個圓柱形燒杯，向放在容器底部的燒杯注水（流量一定），注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿正方體容器，則正方體容器中水面上升高度h與注水時間t之間的函數(shù)圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
6．已知，函數(shù)，若滿足關(guān)于x的方程，則下列選項的命題中為假命題的是( )
A.B.
C.D.
7．一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于，而且這個比值越大，采光效果越好，則( )
A.若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為，則這所公寓的窗戶面積至少應(yīng)該為
B.若窗戶面積和地板面積在原來基礎(chǔ)上都增加了，公寓采光效果會變好
C.若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果會變好
D.若同時增加窗戶面積和地板面積，且增加的地板面積是增加的窗戶面積的8倍，公寓采光效果一定會變差
8．設(shè)奇函數(shù)的定義域為R，對任意的、，且，都有不等式，且，則不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
二、多項選擇題
9．設(shè)全集，集合，，，則( )
A.集合A的真子集個數(shù)是B.
C.D.
10．已知，若，則( )
A.的最大值為
B.的最小值為10
C.的最大值為2
D.的最小值為8
11．設(shè)函數(shù)，則( )
A.直線是曲線的對稱軸
B.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則
C.對，不等式總成立
D.當(dāng)時，
三、填空題
12．設(shè)，，，，若，則_________.
13．已知是偶函數(shù)且，若，則_________.
14．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
四、解答題
15．已知全集為R，集合.
(1)若，求集合；
(2)若，求a的取值范圍.
16．已知函數(shù)，其中.
(1)若不等式的解集為，解關(guān)于x的不等式；
(2)解關(guān)于x的不等式.
17．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且.
(1)求的解析式及其值域；
(2)求的值，并計算.
18．某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800立方米，深為3米.甲工程隊參與投標(biāo)，給出的報價為：池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米造價為120元.設(shè)總造價為S元，池底一邊長為x米，另一邊長為y米.
(1)若按照甲工程隊的報價，怎樣設(shè)計能使水池造價最低？最低造價是多少？
(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與投標(biāo)，其給出的整體報價為元，其中，試問甲工程隊一定能中標(biāo)嗎？（報價總額低于對手即為中標(biāo)）
19．已知函數(shù).
(1)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
(2)記.
(i)討論在上的單調(diào)性，并說明理由.再請直接寫出在上的單調(diào)區(qū)間；
(ii)是否存在這樣的區(qū)間，使得在上是單調(diào)函數(shù)，且的取值范圍是.若存在，求出區(qū)間；若不存在，請說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：因為集合，，
則.
故選：B
2．答案：A
解析：函數(shù)中，，
解得且，，
因此是A的真子集，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3．答案：D
解析：因為命題，，
且P為真命題，則，解得.
故選：D
4．答案：A
解析：因為函數(shù)為冪函數(shù)，
設(shè)，其中a為常數(shù)，
則，可得，則，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故函數(shù)的值域為.
故選：A
5．答案：D
解析：開始注水時，水注入燒杯中，水槽內(nèi)無水，高度不變；
燒杯內(nèi)注滿水后，繼續(xù)注水，水槽內(nèi)水面開始上升，且上升速度較快；
當(dāng)水槽內(nèi)水面和燒杯水面持平以后，繼續(xù)注水，水槽內(nèi)水面繼續(xù)上升，且上升速度減慢.
故選：D
6．答案：C
解析：試題分析：因為，滿足關(guān)于x的方程，
所以，，使取得最小值，
因此，是假命題，選C.
7．答案：C
解析：對于A，設(shè)該公寓窗戶面積為x，則地板面積為，
依題意，，
解得，因此這所公寓的窗戶面積至少為，A錯誤；
對于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，窗戶增加的面積為a，地板增加的面積為b，
而，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
公寓采光效果不變，B錯誤；
對于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時增加的面積為c，，
增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
則，
而，
于是，即，
同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，C正確；
對于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，窗戶增加的面積為c，地板增加的面積為，
而，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，
則，
若，則；
若，則；
若，則，
因此無法判斷公寓的采光效果是否變差了，D錯誤.
故選：C
8．答案：D
解析：對任意的、，
且，都有不等式，
不妨設(shè)，則，
令，則，
即函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，即，
則，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，
則，
當(dāng)時，即當(dāng)時，
由可得，
則，解得；
當(dāng)時，即當(dāng)時，
由
可得，
則，解得.
綜上所述，不等式的解集為.
故選：D.
9．答案：ABD
解析：對于A選項，集合A的元素個數(shù)為3，則集合A的真子集個數(shù)是，A對；
對于B選項，因為，，則，B對；
對于C選項，因為全集，集合，，
則，，則，C錯；
對于D選項，由C選項可知，因為，，則，D對.
故選：ABD
10．答案：AD
解析：對于A，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A正確；
對于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B錯誤；
對于C，，，C錯誤；
對于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.
故選：AD
11．答案：BCD
解析：，
畫出的圖像如下圖所示，
A選項，由圖可知，不是的對稱軸，A選項錯誤.
B選項，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，由圖可知，
，B選項正確.
C選項，對，
，
所以總成立，
所以C選項正確.
D選項，當(dāng)時，,
此時關(guān)于直線對稱，
所以，
成立.
當(dāng)時，，成立.
當(dāng)時，，
，成立.
綜上所述，當(dāng)時，，D選項正確.
故選：BCD
12．答案：0
解析：，，，，，
，，，，；
故答案為：0
13．答案：3
解析：設(shè)，
則，
因為函數(shù)為偶函數(shù)，
則，可得，
因為，則.
故答案為：3
14．答案：
解析：因為，
當(dāng)且時，
則，這與矛盾，
不合乎題意，所以，，
因為二次函數(shù)的對稱軸為直線，
當(dāng)時，即當(dāng)時，
則函數(shù)在上為增函數(shù)，
根據(jù)題意，則有，
此時，；
當(dāng)時，即時，
當(dāng)時，，
由題意可得，
整理可得，解得，此時，a不存在.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
15．答案：(1)；
(2).
解析：(1)當(dāng)時，或，
而，
所以.
(2)由，得，
則，解得，
所以a的取值范圍是.
16．答案：(1)；
(2)答案見解析.
解析：(1)依題意，是不等式的解集，
則是方程的二根，
于是，
解得，
不等式為，
因此，解得或，
所以所求不等式的解集為.
(2)不等式，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，不等式無解；
當(dāng)時，，解得，
所以當(dāng)時，原不等式的解集為；
當(dāng)時，原不等式的解集為；
當(dāng)時，原不等式的解集為.
17．答案：(1)，；值域為.
(2)；.
解析：(1)因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
則，
解得，則，
又因為，故，
所以，，
即函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，，，
則，所以，，
則，
所以，，
所以，函數(shù)的值域為.
(2)，
因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，
因此，
.
18．答案：(1)答案見解析
(2)能，理由見解析
解析：(1)由題意可知，水池的容積為，可得，
甲工程隊的造價為
（元），
當(dāng)且僅當(dāng)時，
即當(dāng)時，等號成立，
所以，將貯水池的池底設(shè)計為邊長為40米的正方形時，總造價最低，最低造價是297600元.
(2)若甲工程隊一定能中標(biāo)成功，則對任意的x、，
不等式恒成立，
即對任意的x、，恒成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
令，
則，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，
即當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
所以，，
所以，要使得甲工程隊一定能競標(biāo)成功，則，
又因為，所以甲工程隊一定能競標(biāo)成功.
19．答案：(1)奇函數(shù)，證明見解析；
(2)(i)在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，；
(ii)存在，.
解析：(1)函數(shù)是奇函數(shù)，
函數(shù)的定義域為，，
所以函數(shù)是奇函數(shù).
(2)(i)，，
由，得，
當(dāng)時，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(ii)由(i)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
假設(shè)存在區(qū)間符合條件，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
則，即，
化簡得，而，
因此不成立，即無解，不存在；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，
即，
是方程，即的兩個實根，
解得，符合題意，區(qū)間為；
③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
則，
化簡得，
而，則，即，
由，
得，，無解，不存在；
④當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
則，
是方程，
即的兩個實根，此方程在無解，不存在，
所以存在區(qū)間，使得在上是單調(diào)函數(shù)，且的取值范圍是，該區(qū)間為.

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