風吹樹折類題就數(shù)學知識本身其實很簡單，考查的就是句股定理，最多設(shè)個未知數(shù)列方程就能求解，但是對很多同學來說，它的難點在于語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型.
【考點剖析】
一．選擇題（共2小題）
1．一旗桿在其的B處折斷，量得AC＝5米，則旗桿原來的高度為（ ）
A．米B．2米C．10米D．米
【分析】可設(shè)AB＝x，則BC＝2x，進而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．
【解答】解：由題意可得，AC2＝BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2＝52，解得x＝，
所以旗桿原來的高度為3x＝5，故選：D．
【點評】能夠利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形．
2．如圖，一根旗桿折斷之前的高度是24米，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿在離地面多少米處斷裂（ ）
A．15B．12C．9D．21
【分析】利用勾股定理，用一邊表示另一邊，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)果．
【解答】解：由圖形及題意可知，設(shè)旗桿在離地面x米處斷裂，有（24﹣x）2﹣x2＝144，得x＝9，
故選：C．
【點評】本題主要是考查學生對勾股定理的熟練掌握．
二．填空題（共3小題）
3．如圖，一次“臺風”過后，一根旗桿被臺風從離地面9米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部12米處，那么這根旗桿被吹斷前至少有 24m 高．
【分析】根據(jù)旗桿未斷部分與折斷部分及地面正好組成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：由勾股定理得斜邊為：＝15米，
則原來的高度為9+15＝24米．
故答案為：24m．
【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
4．如圖，今年第8號臺風“桑美”是50多年以來登陸我國大陸地區(qū)最大的一次臺風，一棵大樹受“桑美”襲擊于離地面5米處折斷倒下，倒下部分的樹梢到樹的距離為7米，則這棵大樹折斷前有 13.6 米（保留到0.1米）．
【分析】首先根據(jù)勾股定理求得折斷的樹高是＝，所以折斷前樹的高度是5+≈13.6米．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝≈8.6米，
5+8.6＝13.6米．
故答案為：13.6．
【點評】考查了勾股定理的應(yīng)用，比較簡單．
5．有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹 4 米之外才是安全的．
【分析】根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
【解答】解：如圖，
BC即為大樹折斷處4m減去小孩的高1m，則BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4．
【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，要根據(jù)題意畫出圖形即可解答．
三．解答題（共6小題）
6．如圖，受臺風影響，一棵大樹在高于地面5米處折斷，大樹頂部落在距離大樹底部10米處的地面上，問這棵大樹原來有多高？
【分析】該大樹折斷后，折斷部分與地面、原來的樹干恰好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)大樹高為x，則折斷部分為x﹣5，由勾股定理可得出方程：52+102＝（x﹣5）2，解該方程可得出大樹原來的高．
【解答】解：設(shè)大樹斷掉的部分長為x米，
利用勾股定理：52+102＝（x﹣5）2，
解得x＝5+5，
答：大樹原來的高為（5+5）米．
【點評】利用勾股定理解應(yīng)用題，關(guān)鍵在于把折斷部分、大樹原來部分和地面看作一個直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．
7．某地遭臺風襲擊，馬路邊豎有一根高為7m的電線桿AC，被臺風從離地面2m的B處吹斷裂，倒下的電線桿頂部C′是否會落在距離它的底部4m的快車道上？說說你的道理．
【分析】電線桿折斷后構(gòu)成一個直角三角形，利用勾股定理求出AC′的長，即可得出正確結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)題意，AB＝2m，則BC＝7﹣2＝5m，于是AC′＝＝，
又因為＞4，
∴電線桿頂部C′會落在距它的底部4m的快車道上．
【點評】此題是勾股定理在生活中應(yīng)用的典型例子，只要善于觀察，便可用數(shù)學知識解決生活中的諸多問題．
8．如圖，一次“臺風”過后，一根旗桿被臺風從離地面9米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部12米處，那么這根旗桿被吹斷前至少有多高？
【分析】根據(jù)旗桿未斷部分與折斷部分及地面正好組成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：由勾股定理得斜邊為＝15米，則原來的高度為9+15＝24米．
【點評】此題主要考查學生對勾股定理的運用，比較簡單．
9．臺風過后，一希望小學的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，已知旗桿原長16米，求旗桿在什么位置斷裂的？
【分析】旗桿折斷的部分，未折斷的部分和旗桿頂部離旗桿底的部分構(gòu)成了直角三角形，運用勾股定理可將折斷的未知求出．
【解答】解：設(shè)旗桿未折斷部分長為x米，則折斷部分的長為（16﹣x）m，
根據(jù)勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2，
可得：x＝6m，即距離地面6米處斷裂．
【點評】本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，將實際問題運用數(shù)學思想進行求解．
10．如圖，一次“臺風”過后，一根旗桿被臺風從高地面5米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部12米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？
【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由旗桿高度＝AB+BC解答即可．
【解答】解：∵旗桿剩余部分、折斷部分與地面正好構(gòu)成直角三角形，
∴BC＝＝13m，
∴旗桿的高＝AB+BC＝13+5＝18m．
答：這根旗桿被吹斷裂前有18米高．
【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，再根據(jù)勾股定理進行解答．
11．學校的一棵大樹被風吹斷了，如圖，距地面6m處折斷，折斷的樹梢頂部落在距樹干底部8m處，求此樹原高是多少米？（圖1）
有兩棵大樹，一棵高8m，另一棵高2m，BC＝6，一只小鳥從一棵樹梢飛到另一棵樹梢，至少飛多少米？（圖2）
一架長10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面8m，現(xiàn)將梯子頂端沿墻面下滑2m，則梯子底端與墻面距離是否也增長2m？請說明理由（圖3）
【分析】解決本題的關(guān)鍵是找出合適的直角三角形，并且運用勾股定理求解．
（1）△ABC為直角三角形，可以運用勾股定理；
（2）將BC向上平移2m，可以得到直角三角形，在三角形中已知2邊，求第3邊．
（3）在直角三角形ABC中求AB，在直角三角形中求BE．
【解答】（1）在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2，
所以AC＝＝10m；
∴此樹原高＝10+6＝16m．
（2）兩點之間，直線最短，所以最短距離為直接從D點飛到A點，所以最短距離為：
AD＝＝m；
（3）在直角三角形ABC中，AB＝8m，AC＝10m，則BC＝＝6m，
現(xiàn)將梯子頂端下移至D點，則BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE中，
BE＝＝8m，8m﹣6m＝2m，因此梯子底端與墻面的距離增加了2m．
【點評】本題考查的是在直角三角形中勾股定理的應(yīng)用，找出題目中的隱藏信息是解決本題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一．選擇題（共2小題）
1．（2021秋?長沙期中）一棵大樹在一次強臺風中于離地面5米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（ ）
A．10米B．15米C．25米D．30米
【分析】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，由此即可得到AB＝2AC，而根據(jù)題意找到CA＝5米，由此即可求出AB，也就求出了大樹在折斷前的高度．
【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
∵CA＝5米，
∴AB＝10米，
∴AB+AC＝15米．
所以這棵大樹在折斷前的高度為15米．
故選：B．
【點評】本題主要利用定理﹣﹣在直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，解題關(guān)鍵是善于觀察題目的信息，利用信息解決問題．
2．（2021秋?常寧市期末）如圖，一棵大樹在離地面9米高的B處斷裂，樹頂A落在離樹底BC的12米處，則大樹斷裂之前的高度為（ ）
A．9米B．15米C．21米D．24米
【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．
【解答】解：由題意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝15米．
所以大樹的高度是15+9＝24米．
故選：D．
【點評】本題考查了勾股定理．熟記9，12，15這組勾股數(shù)，計算的時候較快．
二．填空題（共7小題）
3．（2021秋?鄆城縣校級月考）如圖所示，一棵大樹折斷后倒在地上，請按圖中所標的數(shù)據(jù)，計算大樹沒折斷前的高度的結(jié)果是 18米 ．
【分析】該大樹折斷后，AB，BC，AC構(gòu)成直角三角形，且AB，AC已知，則根據(jù)勾股定理可以求得BC，大樹折斷前的高度為AB+BC．
【解答】解：大樹折斷后形成直角△ABC，且BC為斜邊，
∴AB2+AC2＝BC2，
∵AB＝5米，AC＝12米，
∴BC＝＝13米，
大樹折斷前的高度為AB+BC＝5米+13米＝18米．
故答案為：18米．
【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，本題中明白題目的意思求AB+BC，并根據(jù)勾股定理求BC是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋?東方期末）如圖，一旗桿離地面6m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，旗桿折斷之前的高度是 16 m．
【分析】圖中為一個直角三角形，根據(jù)勾股定理兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．此題要求斜邊和直角邊的長度，解直角三角形即可．
【解答】解：旗桿折斷后，落地點與旗桿底部的距離為8m，旗桿離地面6m折斷，且旗桿與地面是垂直的，
所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形．
根據(jù)勾股定理，折斷的旗桿為＝10m，
所以旗桿折斷之前高度為10m+6m＝16m．
故此題答案為16m．
【點評】本題考查的是勾股定理的正確應(yīng)用，找出可以運用勾股定理的直角三角形是關(guān)鍵．
5．（2021春?鄯善縣期末）如圖，一棵大樹在一次強臺風中于離地面3m處折斷倒下，樹干頂部在根部4米處，這棵大樹在折斷前的高度為 8 m．
【分析】根據(jù)大樹末端部分、折斷部分及地面正好構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，斷下的部分為＝5米，折斷前為5+3＝8米．
【點評】此題主要考查學生運用勾股定理解決實際問題的能力，比較簡單．
6．（2023春?云陽縣期中）如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷之前有 24 米．
【分析】根據(jù)勾股定理，計算樹的折斷部分是15米，則折斷前樹的高度是15+9＝24米．
【解答】解：因為AB＝9米，AC＝12米，
根據(jù)勾股定理得BC＝＝15米，
于是折斷前樹的高度是15+9＝24米．
故答案為：24．
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運用勾股定理進行計算，是基礎(chǔ)知識，比較簡單．
7．（2021秋?靖江市校級期中）《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為 4.55 尺．
【分析】設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則折斷的長度為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理列方程解方程即可．
【解答】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則折斷的長度為（10﹣x）尺，
由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，
解得x＝4.55，
∴折斷處離地面的高度為4.55尺，
故答案為：4.55．
【點評】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2021秋?鄧州市期末）我國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個題目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？”
譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡，問繩索AC的長為 尺．
【分析】設(shè)繩索AC的長為x尺，則木柱AB的長為（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理即可列出方程解答即可．
【解答】解：設(shè)繩索AC的長為x尺，則木柱AB的長為（x﹣3）尺，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，
x2﹣（x﹣3）2＝82，
解得：x＝，
答：繩索長為尺．
故答案為：．
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2022?灞橋區(qū)校級模擬）折竹抵地（源自《九章算術(shù)》）：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意即：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子處3尺遠．則原處還有 4.55 尺竹子．（1丈＝10尺）
【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺．利用勾股定理解題即可．
【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，
根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55．
答：原處還有4.55尺高的竹子．
故答案為：4.55．
【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．
三．解答題（共1小題）
10．（2021秋?廣南縣期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．
【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處與根部的距離CB是x米，則斜邊為（8﹣x）米．利用勾股定理解題即可．
【解答】解：由題意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，
∴設(shè)BC長為x米，則AC長為（8﹣x）米，
∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，
即：x2+16＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．
【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．

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