命題：許 可 審題：張培光
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．
4．考試結(jié)束后，請將答題卡上交．
一．單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．若復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．若，，，則點A到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面，其中點，法向量，則下列各點中不在平面內(nèi)的是（ ）
A．B．C．D．
6．設(shè)直線，的斜率和傾斜角分別為，和，，則“是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．如圖，是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，設(shè)向量，則（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)，若，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得3分．
9．已知隨機事件、發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（ ）
A．若與互斥，則
B．若與相互獨立，則
C．若，則事件與相互獨立
D．若，則
10．下列命題中正確的是（ ）
A．若是空間任意四點，則有
B．若直線的方向向量與平面的法向量夾角等于，則直線與平面所成的角等于
C．已知向量組是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
D．對空間任意一點與不共線的三點，若（其中），則四點共面
11．如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得異面直線與所成的角為
C．三棱錐體積的最大值是
D．當點自向處運動時，直線與平面所成的角逐漸增大
三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．已知，則 ．
13．求經(jīng)過且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為 ．
14．已知四邊形ABCD為平行四邊形，，，，現(xiàn)將沿直線BD翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為 ．
四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．本小題滿分13分
如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設(shè).
（1）試用向量表示向量；
（2）若，求的值.
16．本小題滿分15分
為激活國內(nèi)消費市場，挽回疫情造成的損失，國家出臺一系列的促進國內(nèi)消費的優(yōu)惠政策.某機構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費者的購買力，現(xiàn)從電商平臺消費人群中隨機選出人，并將這人按年齡分組，記第組，第組，第組，第組，第組，得到如下頻率分布直方圖：
（1）求出頻率分布直方圖中的值和這人的年齡的中位數(shù)及平均數(shù)；
（2）從第組中用分層抽樣的方法抽取人，并再從這人中隨機抽取人進行電話回訪，求這兩人恰好屬于同一組別的概率.
17．本小題滿分15分
設(shè)三個內(nèi)角的對邊分別為，且.
（1）求的值；
（2）設(shè)為銳角三角形，是邊的中點，求的取值范圍.
18．本小題滿分17分
如圖，在四棱錐中，平面平面，，為中點，點在上，且.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）線段上是否存在點，使得平面？說明理由.
19．本小題滿分17分
已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使得對內(nèi)的任意，都有，則稱是“反比例對稱函數(shù)”．設(shè)．
（1）判斷函數(shù)是否為“反比例對稱函數(shù)”，并說明理由；
（2）當時，若函數(shù)與的圖像恰有一個交點，求的值；
（3）當時，設(shè)，已知在上有兩個零點，證明：．
2023級高二年級第一學期階段考試參考答案
一．選擇題
二．填空題
12．； 13．或； 14．。
三．解答題
15．本小題滿分13分
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
因為點E為的中點，所以
.
（2）因為，，
所以
=
16．本小題滿分15分
【詳解】（1）由頻率分布直方圖性質(zhì)知：，解得：；
，，中位數(shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，即中位數(shù)為；
平均數(shù)為.
（2）第組的頻率之比為，抽取的人中，第組應抽取人，記為；第組應抽取人，記為，則從人中隨機抽取人，有，，，，，，，，，，共個基本事件；其中滿足兩人恰好屬于同一組別的有，，，，共個基本事件；
兩人恰好屬于同一組別的概率.
17．本小題滿分15分
【詳解】（1）因為，所以利用正弦定理可得
，又為三角形內(nèi)角，，
所以，可得，因為，所以；
（2），；由正弦定理，
則，
又為銳角三角形，則，得，則，
故,,
，
即，二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為，在，單調(diào)遞減，故的取值范圍,，即．
18．本小題滿分17分
【詳解】（1）在中，所以，即.又因為，在平面中，，所以平面.
（2）因為平面平面，平面平面平面，所以平面，由平面，得.由（2）知，且已知，故以A為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，.所以，因為為中點，所以.
由知，.
設(shè)平面的法向量為，則即令，則.于是.由（1）知平面，所以平面的法向量為.
所以，由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為；
（3）設(shè)是線段上一點，則存在使得.因為，
所以.因為平面，所以平面，當且僅當，即.即.解得.因為，所以線段上不存在使得平面.
19．本小題滿分17分
【詳解】（1）是“反比例對稱函數(shù)”，理由如下：
由題可知，可知，所以，故是“反比例對稱函數(shù)”.
（2）由題可知，，此時，因為函數(shù)與的圖像恰有一個交點，即有一個解，得，令，得僅有一個解，顯然，因為，則有，要使僅有一個解，只需，或（舍）所以.
（3）不妨先設(shè)，由題可知，
顯然，已知有兩個零點，則兩個零點滿足，此時，即，函數(shù)與函數(shù)，的兩個交點橫坐標滿足；可知利用復合函數(shù)單調(diào)性可知，當時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在時，此時單調(diào)遞減；在時，此時單調(diào)遞増，得兩函數(shù)示意圖如右圖。
當，此時，相當于函數(shù)，故所有的橫坐標縮小為原來的倍，故兩函數(shù)新的交點橫坐標會相對于開始變小如右圖所示，故.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
A
B
D
C
A
ABC
AC
ACD

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