一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合A={x|y=lg(x-1)},B={x|x0,解得x>1,故A=(1,+∞),A∪(?RB)=(1,+∞)∪[-2,+∞)=[-2,+∞).
2.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在某試驗(yàn)區(qū)種植了某農(nóng)作物.為了解該品種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì),在實(shí)驗(yàn)區(qū)隨機(jī)選取了100株該農(nóng)作物苗,經(jīng)測(cè)量,其高度(單位:cm)均在區(qū)間[10,20]上,按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,記高度不低于16 cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”.則所選取的農(nóng)作物樣本苗中,“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為( )
A.20B.30C.60D.88
答案C
解析由頻率分布直方圖知,高度不低于16 cm的頻率為(0.20+0.10)×2=0.60,所以選取的農(nóng)作物樣本苗中“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為100×0.60=60.
3.(2024·山東威海二模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1=1,且-a5,a4,a6成等差數(shù)列,則a2=( )
A.2B.3C.4D.6
答案A
解析因?yàn)?a5,a4,a6成等差數(shù)列,所以2a4=-a5+a6.因?yàn)閧an}是正項(xiàng)等比數(shù)列,且a1=1,則2a4=-a4·q+a4·q2,所以2=-q+q2,解得q=2或q=-1(舍去),所以a2=a1q=1×2=2.
4.(2024·湖北武漢二模)已知x∈R,向量a=(x,2),b=(2,-1),且a⊥b,則a+b在a上的投影向量為( )
A.5B.5
C.(1,2)D.(2,-1)
答案C
解析由a⊥b,則有a·b=2x-2=0,即x=1,則a+b=(3,1),故(a+b)·a|a|·a|a|=3+212+22·a12+22=a=(1,2).
5.(2024·遼寧大連一模)若α∈π2,π,且5cs 2α=2sinπ4-α,則tan α=( )
A.-43B.-34C.-13D.1
答案A
解析由5cs 2α=2sinπ4-α,得5(cs2α-sin2α)=222cs α-22sin α,即5(cs α-sin α)·(cs α+sin α)=cs α-sin α.因?yàn)棣痢师?,π,所以cs α-sin α≠0,所以cs α+sin α=15,結(jié)合cs2α+sin2α=1,且cs α0,得cs α=-35,sin α=45,所以tan α=sinαcsα=-43.
6.(2024·湖南常德一模)已知三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,AB=4,BC=3,CD=5,BD=7,則該三棱錐外接球的表面積為( )
A.196π3B.244π3C.196π5D.244π5
答案B
解析如圖,設(shè)△BCD的外心為M,過(guò)M作底面的垂線MO,使MO=12BA,則O為三棱錐的外接球的球心,在△BCD中,由BC=3,CD=5,BD=7,得cs∠BCD=32+52-722×3×5=-12,故sin∠BCD=32.設(shè)△BCD的外接圓的半徑為r,則r=72×32=73,OM=2,∴OB2=(73)2+22=613=R2.∴三棱錐外接球的表面積為4πR2=4π×613=244π3.
7.(2024·浙江紹興三模)已知函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有f(f(x+y))=f(x)+f(y)成立,且f(0)=1,則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.f(x+1)為奇函數(shù)
B.f(x)+1為奇函數(shù)
C.|f(x+1)|為偶函數(shù)
D.|f(x)-1|為偶函數(shù)
答案D
解析令x=y=0,則f(f(0))=f(0)+f(0).又f(0)=1,所以f(1)=2,令y=-x,則f(f(0))=f(x)+f(-x),即f(1)=f(x)+f(-x).又2=f(x)+f(-x),所以y=f(x)關(guān)于(0,1)對(duì)稱,所以f(x+1)關(guān)于(-1,1)對(duì)稱,故A錯(cuò)誤;f(x)+1關(guān)于(0,2)對(duì)稱,故B錯(cuò)誤;由A可知|f(x+1)|關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,故C錯(cuò)誤;由A可知f(x)-1關(guān)于(0,0)對(duì)稱,故f(x)-1為奇函數(shù),所以|f(x)-1|為偶函數(shù),故D正確.
8.設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(6,y0)(y0>p2)是C上一點(diǎn).已知圓M與x軸相切,與線段MF相交于點(diǎn)A,MA=2AF,圓M被直線y=p2截得的弦長(zhǎng)為3|MA|,則C的準(zhǔn)線方程為( )
A.y=-12B.y=-32
C.y=-1D.y=-2
答案B
解析因?yàn)辄c(diǎn)M(6,y0)在拋物線上,則6=2py0,即py0=3.①
如圖所示,過(guò)M作直線y=p2的垂線,D為垂足,設(shè)圓M與直線y=p2相交于點(diǎn)E.
易知,|DM|=y0-p2.由MA=2AF,可知|MA|=2|AF|=23|MF|=23(y0+p2).
因?yàn)閳AM被直線y=p2截得的弦長(zhǎng)為3|MA|,
所以|DE|=32|MA|=33y0+p2.
由|MA|=|ME|,在Rt△MDE中,13y0+p22+y0-p22=49y0+p22,
解得y0=p.②
由①②解得p=3,拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-p2=-32.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.某地前些年建立了農(nóng)業(yè)科技圖書館,供農(nóng)民免費(fèi)借閱書籍,現(xiàn)收集了近5年借閱數(shù)據(jù),如下表:
根據(jù)上表,可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.24x+a^,下列結(jié)論正確的有( )
A.a^=4.68
B.借閱量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的第75百分位數(shù)為5.7
C.y與x的線性相關(guān)系數(shù)r>0
D.第六年的借閱量一定不少于6.12萬(wàn)冊(cè)
答案ABC
解析因?yàn)閤=1+2+3+4+55=3,
y=4.9+5.1+5.5+5.7+5.85=5.4,將(3,5.4)代入y^=0.24x+a^,得0.24×3+a^=5.4,解得a^=4.68,故A正確;因?yàn)?×75%=3.75,故從小到大選擇第4個(gè)數(shù)作為第75百分位數(shù),即5.7,故借閱量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的第75百分位數(shù)為5.7,故B正確;因?yàn)?.24>0,所以y與x正相關(guān),故y與x的線性相關(guān)系數(shù)r>0,故C正確;因?yàn)閥^=0.24x+4.68中,令x=6,得y^=1.44+4.68=6.12,故第六年的借閱量約為6.12萬(wàn)冊(cè),可能比6.12萬(wàn)冊(cè)多,也可能比6.12萬(wàn)冊(cè)少,故D錯(cuò)誤.故選ABC.
10.(2024·山東濰坊二模)定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù),f(z)=z2就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù).給定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)f(z)之后,對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z0,通過(guò)計(jì)算公式zn+1=f(zn),n∈N可以得到一列值z(mì)0,z1,z2,…,zn,….如果存在一個(gè)正數(shù)M,使得|zn|

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