第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個選項(xiàng)中只有一是符合題目．）
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的長度為（）
A. 3B. 4C. D.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
3. 經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程是（）
A. B. C. D.
4. 直線x+（m+2）y﹣1＝0與直線mx+3y﹣1＝0平行，則m的值為（ ）
A. ﹣3B. 1C. 1或﹣3D. ﹣1或3
5. 如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，則（）
A. B. C. D.
6. 直線的傾斜角的取值范圍是（）
A. B. C. D.
7. 給出下列命題：
①經(jīng)過點(diǎn)的直線都可以用方程表示；
②若直線的方向向量，平面的法向量，則；
③直線必過定點(diǎn)；
④如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，那么一定共線．
其中真命題的個數(shù)是（）
A. 3B. 2C. 1D. 0
8. 已知空間三點(diǎn)，，，在直線上有一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
9. 如圖，在平行六面體中，，，則直線與直線所成角余弦值為（）
A. B. C. D.
10. 如圖，在棱長為1的正方體中，分別是線段上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足平面，且不是正方體的頂點(diǎn)，則的最小值是（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）
11. 直線的傾斜角為______．
12. 已知點(diǎn)到直線的距離為2，則________．
13. 已知向量共面，則________．
14. 《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．在塹堵中，若，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，則到直線的最短距離是________．
15. 在正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．
①；
②與所成角為；
③平面；
④與平面所成角的正弦值為．
其中所有正確說法序號是________．
三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明過程或演算步驟．）
16. 已知直線與直線交于點(diǎn)P．
（1）直線過點(diǎn)且平行于直線，求直線方程；（結(jié)果寫成一般式）
（2）直線與軸交于與軸交于點(diǎn)，請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出兩條直線，求中邊上的高線所在的直線方程．
17. 已知長方體中，是中點(diǎn)．
（1）求直線與所成角余弦值；
（2）求平面與平面夾角余弦值．
18. （1）直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；
（2）直線過點(diǎn)且與軸正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形面積取最小值時直線的方程．
19. 已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點(diǎn)．
（1）求證：⊥平面；
（2）已知點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，并且到平面的距離是，求線段的長．
20. 如圖，在直棱柱中，底面是菱形，，分別是棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若二面角的大小是，求值，并求直線與平面所成角的正弦值．
21. 對于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“平衡集”．
（1）判斷集合是否是“平衡集”并說明理由；
（2）求證：若集合是“平衡集”，則集合中元素的奇偶性都相同；
（3）證明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．
牛欄山一中2023—2024學(xué)年第一學(xué)期10月月考
高二數(shù)學(xué)
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，四個選項(xiàng)中只有一是符合題目．）
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的長度為（）
A. 3B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)距離公式計(jì)算即可.
【詳解】.
故選：A.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，解得，即，
故選：B.
3. 經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線方程是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由傾斜角求斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式求直線方程.
【詳解】由題設(shè)，直線斜率為，又過，
所以，直線方程為（或）.
故選：D
4. 直線x+（m+2）y﹣1＝0與直線mx+3y﹣1＝0平行，則m的值為（ ）
A. ﹣3B. 1C. 1或﹣3D. ﹣1或3
【答案】A
【解析】
分析】由題意可得1×3＝（m+2）m，解方程求出m，然后檢驗(yàn)即可
【詳解】根據(jù)直線x+（m+2）y﹣1＝0與直線m+3y﹣1＝0平行，
可得1×3＝（m+2）m，解得m＝1或﹣3，
當(dāng)m＝1時，兩直線的方程重合，不符合題意；
當(dāng)m＝﹣3時，兩直線的方程為x﹣y﹣1＝0和3x﹣3y+1＝0，兩直線平行，符合題意，
故m＝﹣3．
故選：A．
5. 如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圖形中線段關(guān)系，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出.
【詳解】.
故選：C
6. 直線的傾斜角的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直線斜率，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求傾斜角的范圍.
【詳解】由題設(shè)，直線斜率為，
若傾斜角為，則，故.
故選：C
7. 給出下列命題：
①經(jīng)過點(diǎn)的直線都可以用方程表示；
②若直線的方向向量，平面的法向量，則；
③直線必過定點(diǎn)；
④如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，那么一定共線．
其中真命題的個數(shù)是（）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】對于①④，可舉出反例；對于②，計(jì)算向量數(shù)量積得到，從而得到；對于③，變形后得到直線所過定點(diǎn).
【詳解】對于①，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，不能用方程表示，①錯誤；
對于②，因?yàn)椋剩?br>則直線與垂直，則，②正確；
對于③，直線變形為，必過定點(diǎn)，③正確；
對于④，不共線的向量與零向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，④錯誤．
故選：B
8. 已知空間三點(diǎn)，，，在直線上有一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】由題意知：，，
設(shè)，，
，，解得：，
，又，.
故選：D.
9. 如圖，在平行六面體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由線段的位置關(guān)系及向量加減的幾何意義有、，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求、，最后應(yīng)用夾角公式求直線夾角余弦值.
【詳解】由，，
所以，
又，，
所以，而，
，
綜上，直線與直線所成角的余弦值為.
故選：D
10. 如圖，在棱長為1的正方體中，分別是線段上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足平面，且不是正方體的頂點(diǎn)，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得到平面，然后建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可.
【詳解】
因?yàn)檎襟w，所以平面，，
因平面，所以，
因?yàn)椋矫?，所以平面?br>如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，
設(shè)，，，
，，，
因?yàn)椤纹矫妫裕?br>因?yàn)?，所以，即?br>，
所以當(dāng)時，最小，最小為.
故選：A.
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．請把結(jié)果填在答題紙上的相應(yīng)位置．）
11. 直線的傾斜角為______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系即可求解.
【詳解】直線的斜率，
設(shè)其傾斜角為，故可得，又，故．
故答案為：
12. 已知點(diǎn)到直線的距離為2，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】由題意可得，
故答案為：
13. 已知向量共面，則________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量共面定理，結(jié)合向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)且，即，
所以.
故答案為：
14. 《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．在塹堵中，若，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，則到直線的最短距離是________．
【答案】1
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】
如圖以點(diǎn)C為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
且，，
因?yàn)辄c(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
則，即，
可得，即，，
則到直線的距離是，
則當(dāng)時，到直線的最短距離是1.
故答案為：1
15. 在正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．
①；
②與所成角為；
③平面；
④與平面所成角的正弦值為．
其中所有正確說法的序號是________．
【答案】②③
【解析】
【分析】連接，連接交于，連接，易得，由平行公理判斷①；利用線面垂直性質(zhì)及判定判斷②③；轉(zhuǎn)化求與平面所成角，結(jié)合線面角定義及已知求其正弦值判斷④.
【詳解】連接，連接交于，連接，則是中點(diǎn)，
所以是的中點(diǎn)，則，而，故不成立，①錯；
如下圖，，面，面，則，
由，面，則面，面，
所以與垂直，②對；
如下圖，若為中點(diǎn)，連接，顯然，則面即為面，
由題設(shè)易知：，則，即，
由面，面，則，
，面，則面，即平面，③對；
如下圖，由面面，則與平面所成角，即為與平面所成角，
由面，連接，則或其補(bǔ)角即為所求線面角，
在中，，
所以，④錯.
故答案為：②③
三、解答題（本大題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明過程或演算步驟．）
16. 已知直線與直線交于點(diǎn)P．
（1）直線過點(diǎn)且平行于直線，求直線的方程；（結(jié)果寫成一般式）
（2）直線與軸交于與軸交于點(diǎn)，請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出兩條直線，求中邊上的高線所在的直線方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（Ⅰ）聯(lián)立兩個直線的方程求出的坐標(biāo)，根據(jù)平行直線系方程即可代入求解，
（2）根據(jù)兩直線垂直滿足的斜率關(guān)系，即可由點(diǎn)斜式方程求解.
【小問1詳解】
聯(lián)立方程得，解可得，則的坐標(biāo)為，
由于直線平行于直線，設(shè)直線的方程為；
將代入得，
所以直線的方程為
【小問2詳解】
由題意可知,所以,
故邊上的高線所在的直線斜率為3，
又高所在直線經(jīng)過點(diǎn)，
所以由點(diǎn)斜式可得，即
17. 已知長方體中，是中點(diǎn)．
（1）求直線與所成角的余弦值；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線線角、面面角的余弦值即可.
【小問1詳解】
構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，
所以，，則；
所以直線與所成角的余弦值為.
【小問2詳解】
由（1），是面的一個法向量，，
所以，若面的一個法向量，
則，令，則，
所以；
所以平面與平面夾角的余弦值.
18. （1）直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；
（2）直線過點(diǎn)且與軸正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形面積取最小值時直線的方程．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）討論截距是否為0，應(yīng)用點(diǎn)斜式、截距式及所過的點(diǎn)求直線方程；
（2）由題意直線斜率一定存在且不為0，設(shè)直線為，求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，并得到三角形面積關(guān)于k的關(guān)系式，利用基本不等式求最小值，并確定取值條件，即得直線方程.
【詳解】（1）若截距都為0時，則所求直線為；
若截距不為0時，設(shè)直線為，則，
所以；
綜上，所求直線為或.
（2）由題意，直線斜率一定存在且小于0，
設(shè)直線為，故，
所以三角形面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時三角形面積取最小值為4，
所以，對應(yīng)直線為.
19. 已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點(diǎn)．
（1）求證：⊥平面；
（2）已知點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，并且到平面的距離是，求線段的長．
【答案】（1）證明過程見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三線合一得到線線垂直，進(jìn)而由平面，得到，證明出線面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由點(diǎn)到平面距離公式得到方程，求出線段的長.
【小問1詳解】
因?yàn)槭钦切?，為中點(diǎn)，
所以⊥，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>因?yàn)?，平面?br>所以⊥平面；
【小問2詳解】
連接，因?yàn)椤推矫妫矫妫?br>所以⊥，⊥，
因?yàn)榈酌媸沁呴L為4的正方形，則兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，平面的法向量為，
則，
解得，令，則，故，
則到平面的距離為，
解得，故，故.
20. 如圖，在直棱柱中，底面是菱形，，分別是棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若二面角的大小是，求值，并求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明過程見解析
（2），直線與平面所成角的正弦值為
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，，進(jìn)而證明出線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角大小求出，再利用線面角的求解公式得到答案.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以且，，
因?yàn)橹崩庵校遥?br>所以，且，
故四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面；
【小問2詳解】
連接，與相交于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，
因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以相互垂直，則兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?，?br>故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令，則，故
平面的法向量為，
則，
解得，
則
設(shè)直線與平面所成角大小為，
則.
21. 對于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“平衡集”．
（1）判斷集合是否是“平衡集”并說明理由；
（2）求證：若集合是“平衡集”，則集合中元素的奇偶性都相同；
（3）證明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．
【答案】（1）不是“平衡集”，利用見解析
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義直接判斷即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)，由“平衡集”定義可知，2，，為偶數(shù)，所以，2，，的奇偶性相同．
（3）依次去掉，可得，顯然與矛盾，所以集合，，，不可能是“平衡集”．
【小問1詳解】
集合不是“平衡集”，理由如下：
當(dāng)去掉1或5或9時，滿足條件，
當(dāng)去掉4時，，不滿足條件，
當(dāng)去掉8時，，不滿足條件，
所以集合不是“平衡集”．
【小問2詳解】
設(shè)集合，，，，，
由于集合是“平衡集”，設(shè)去掉,則，其中，且中的元素和相等，不妨設(shè)中的元素和為,所以，
，2，，為偶數(shù)，
，2，，的奇偶性相同，方可保證一直為偶數(shù)，
即集合中元素的奇偶性都相同．
【小問3詳解】
若集合，，，是“平衡集”，且，
去掉，則，
去掉，則，
，顯然與矛盾，
集合，，，不可能是“平衡集”．

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