1．（4分）下列標(biāo)志圖中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列事件，是隨機(jī)事件的是（ ）
A．一個(gè)三角形的內(nèi)角和為181°
B．?dāng)S一枚骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)大于0
C．經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈
D．3人分成兩組一定有2人分在一組
3．（4分）把拋物線y＝2x2先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
4．（4分）對(duì)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下B．對(duì)稱軸是直線x＝﹣1
C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）D．最大值是2
5．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的兩根分別為a、b，則的值為（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
6．（4分）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，則∠BOC的度數(shù)是（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
7．（4分）電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關(guān)密不可分的動(dòng)人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入達(dá)10億元，若把增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
8．（4分）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0），將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（3，﹣3）D．（2，﹣4）
9．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上，分別按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)終止，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s，△APQ的面積為y cm2，則下列圖象中能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝4，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（ ）
A．1.8B．2.4C．3.2D．3.6
二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
11．（5分）若關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是 ．
12．（5分）如圖，2×2的正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)O是半徑為2的圓的圓心，則圖中兩個(gè)小扇形（陰影部分）的面積之和為 （結(jié)果保留π）．
13．（5分）若關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的兩個(gè)根分別是﹣1和3（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則拋物線y＝a（x+m+4）2+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ．
14．（5分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣a，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，4），則b＝ ；
（2）該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，﹣a），已知點(diǎn)B（1，﹣a），C（2，4），若拋物線與線段BC有交點(diǎn)，則a的取值范圍為 ．
三、解答題（共9題，共90分）
15．（8分）按要求解方程：x2+3x+1＝0（公式法）．
16．（8分）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，畫圖并解答下列問題：
（1）分別寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB1C1；
（3）求△ABC的面積．
17．（8分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動(dòng)人民的智慧，圖1，點(diǎn)P表示筒車的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，5m為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8m，求筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度．
18．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）若x＝1是方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
19．（10分）國際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM），是由國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）主辦的國際數(shù)學(xué)界規(guī)模最大也是最重要的會(huì)議，每四年舉行一次，它是全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的奧林匹克盛會(huì)．李穎和汪洋兩人想通過玩游戲的方式，了解關(guān)于國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的一些常識(shí)，他們給一個(gè)不透明的袋子里裝了四個(gè)分別標(biāo)有A、B、C、D的小球，這些小球除所標(biāo)字母不同外其他都相同，汪洋先從四個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)，李穎再從剩下的三個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)，然后兩人按照如下所示各自搜索并回答自己所摸小球上字母對(duì)應(yīng)的問題．
A．第幾屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)是在中國舉行的？
B．首屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)是在哪一年舉行的？
C．哪一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在世界上創(chuàng)造了四個(gè)第一？
D．2022年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的舉行日期是什么時(shí)候？
（1）汪洋隨機(jī)摸出的一個(gè)小球是小球A的概率為 ；
（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求游戲結(jié)束后，兩人恰好回答完A、B兩個(gè)問題的概率．
20．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC上的點(diǎn)，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE平分∠CAB．
（1）求證：BC是半圓O的切線；
（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的長(zhǎng)．
21．（12分）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)為100元時(shí)，每月的銷售量為50件，而銷售單價(jià)每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價(jià)不得低于成本．
（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量取值范圍）
（2）若使該商品每月的銷售利潤(rùn)為4000元，并使顧客獲得更多的實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）為了每月所獲利潤(rùn)最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
22．（12分）定義：兩個(gè)頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的等腰三角形組合稱為“相似等腰組”．如圖1，等腰△ABC和等腰△ADE即為“相似等腰組”．
（1）如圖2，將上述“相似等腰組”中的△ADE繞看點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，判斷△ABD和△ACE是否全等；
（2）如圖3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰組”，且∠BAC＝90°，DC和BE相交于點(diǎn)O，判斷DC和BE的位置及大小關(guān)系．
23．（14分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)O．P為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點(diǎn)C．
（1）求出二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，求線段PC的最大值；
（3）當(dāng)m＞0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
1．解：選項(xiàng)A、B、C的圖形均不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形．
選項(xiàng)D能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形．
故選：D．
2．解：A、一個(gè)三角形的內(nèi)角和為181°，是不可能事件，不符合題意；
B、擲一枚骰子，向上一面點(diǎn)數(shù)大于0，是必然事件，不符合題意；
C、經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件，符合題意；
D、3人分成兩組一定有2人分在一組，是必然事件，不符合題意；
故選：C．
3．解：把拋物線y＝2x2先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的函數(shù)解析式為y＝2（x+3）2+4．
故選：A．
4．解：由y＝（x﹣1）2+2得，開口向上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
對(duì)稱軸為直線x＝1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），故選項(xiàng)C正確，符合題意；
最小值為2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
5．解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以+＝＝﹣．
故選：D．
6．解：∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°，
故選：C．
7．解：設(shè)平均每天票房的增長(zhǎng)率為x，
根據(jù)題意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故選：D．
8．解：∵A（﹣1，0），
∴點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)（3，3），
∴△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第一次旋轉(zhuǎn)90°后，B（﹣4，4），
△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第二次旋轉(zhuǎn)90°后，B（﹣5，﹣3），
△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第三次旋轉(zhuǎn)90°后，B（2，﹣4），
△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第四次旋轉(zhuǎn)90°后，B（3，3），
∵2023÷4＝505?3，
∴△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)第2023次旋轉(zhuǎn)90°后，B（2，﹣4），
故選：D．
9．解：①當(dāng)0≤x≤2時(shí)，
∵正方形的邊長(zhǎng)為2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ?AP＝x2；
②當(dāng)2＜x≤4時(shí)，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有A選項(xiàng)圖象符合．
故選：A．
10．解：如圖，延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小．（點(diǎn)P在以F為圓心CF為半徑的圓上，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最?。?br>∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴，
∵CF＝4，AC＝12，BC＝16，
∴AF＝4，AB＝＝20，
∴＝，
∴FM＝6.4
∵PF＝CF＝4，
∴PM＝2.4
∴點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是2.4．
故選：B．
二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
11．解：∵關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故答案為：a≠1．
12．解：由題意，得
兩個(gè)扇形的半徑都是1，
由直角三角形兩銳角互余，得兩個(gè)扇形的圓心角的和等于90°，
兩個(gè)扇形的面積的和等于圓的面積的，即小扇形的面積的和是π×22＝π，
故答案為：π．
13．解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的兩個(gè)根分別是﹣1和3且a≠0，
∴二次函數(shù)y＝a（x+m）2+b與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），
∵拋物線y＝a（x+m+4）2+b是由拋物線y＝a（x+m）2+b向左平移4個(gè)單位得到的，
∴拋物線y＝a（x+m+4）2+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣5，0），（﹣1，0），
故答案為：（﹣5，0），（﹣1，0）．
14．解：（1）將（1，4）代入y＝ax2+bx﹣a得，
4＝a+b﹣a，
解得b＝4，
故答案為：4．
（2）將A（2，﹣a）代入y＝ax2+bx﹣a得，
﹣a＝4a+2b﹣a，
解得b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣a
＝a（x﹣1）2﹣2a，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2a），
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)在點(diǎn)B下方，
∵拋物線經(jīng)過（2，﹣a），
∴點(diǎn)C在拋物線上方，
∴拋物線與線段BC無交點(diǎn)，
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，
∵﹣2a＞﹣a，
∴拋物線頂點(diǎn)在點(diǎn)B上方，
當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上或拋物線上方時(shí)滿足題意，
即4≥﹣a，
解得a≥﹣4，
故答案為：﹣4≤a＜0．
三、解答題（共9題，共90分）
15．解：x2+3x+1＝0，
這里a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0，
∴，
∴，．
16．解：（1）A（2，0），B（﹣1，﹣4）；
（2）如圖，△AB1C1為所作，
（3）△ABC的面積＝4×4﹣﹣﹣＝．
17．解：過O點(diǎn)作半徑OD⊥AB于E，如圖，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），
在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），
答：筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為2m．
18．（1）解：將x＝1代入原式，得1+（m+3）+m+1＝0；
解得m＝﹣；
（2）證明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4＞0，
∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
19．解：（1）∵有A、B、C、D4個(gè)小球，
∴汪洋隨機(jī)摸出的一個(gè)小球是小球A的概率為．
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好回答完A、B兩個(gè)問題的情況有2種，
∴兩人恰好回答完A、B兩個(gè)問題的概率為．
20．（1）證明：連接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠DAE，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠AEO，
∴AC∥OE，
∵∠C＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∵OE是⊙O的半徑，
∴BC是半圓O的切線；
（2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12，
∴，OB＝2OE，
∵OE＝OD，
∴OD＝BD，
∴OA＝OE＝OD＝BD＝4，
∴AD＝8，
∵AD是半圓O的直徑，
∴∠C＝∠DFA＝90°，
∴DF∥BC，
∴∠B＝∠FDA＝30°，
∴，
∴CF＝AC﹣AF＝2，
21．解：（1）依題意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+550；
（2）依題意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴當(dāng)該商品每月銷售利潤(rùn)為4000，為使顧客獲得更多實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定為70元；
（3）設(shè)每月總利潤(rùn)為w元，
依題意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此圖象開口向下，
∴當(dāng)x＝80時(shí)，w有最大值為4500元，
∴為了每月所獲利潤(rùn)最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為80元．
22．解：（1）△ABD和△ACE全等，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE為“相似等腰組”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）DC和BE的位置及大小關(guān)系為：DC＝BE，DC⊥BE，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE為“相似等腰組”，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE與△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠DCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴DC⊥BE．
23．解：（1）設(shè)y＝ax（x﹣4），
把A點(diǎn)坐標(biāo)（3，3）代入得：
a＝﹣1，
函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x，
答：二次函數(shù)的解析式是y＝﹣x2+4x．
（2）解：0＜m＜3，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x軸，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，
＝﹣+，
∵﹣1＜0，開口向下，
∴有最大值，
當(dāng)D（，0）時(shí)，PCmax＝，
答：當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，線段PC的最大值是．
（3）當(dāng)0＜m＜3時(shí)，僅有OC＝PC，
∴，
解得，
∴；
當(dāng)m≥3時(shí)，PC＝CD﹣PD＝m2﹣3m，
OC＝，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣4）2，
①當(dāng)OC＝PC時(shí)，，
解得：或m＝0（舍去），
∴；
②當(dāng)OC＝OP時(shí)，，
解得：m1＝5，m2＝3，
∵m＝3時(shí)，P和A重合，即P和C重合，不能組成三角形POC，
∴m＝3舍去，
∴P（5，﹣5）；
③當(dāng)PC＝OP時(shí)，∠POC＝∠C＝45，P在x軸上，即B點(diǎn)，
此時(shí)m＝4，
∴P（4，0），
答：存在，P的坐標(biāo)是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．

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