四川省成都列五中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

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二、多項(xiàng)選擇題：9．BD 10．AC 11．ABD
填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.
12． 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．解：（1）設(shè)事件A表示“甲考生獲得決賽資格”，設(shè)事件B表示“乙考生獲得決賽資格”，
由題意可知事件A、B相互獨(dú)立.因?yàn)閮奢嗊x拔之間相互獨(dú)立，
所以，.………………………………………………4分
則甲、乙兩位考生中有且只有一位學(xué)生獲得決賽資格的概率為：
所以甲、乙兩位考生中有且只有一位學(xué)生獲得決賽資格的概率.……………………7分
（2）設(shè)事件C表示“丙考生獲得決賽資格”，則.…………………………9分
因?yàn)槭录叭酥兄辽儆幸蝗双@得決賽資格”的對立事件是“三人都沒有獲得決賽資格”
所以三人中至少有一人獲得決賽資格的概率為
…………………13分
16．（本小題滿分15分）
解：（1）因?yàn)榈谌?四?五組的頻率之和為0.7，
所以，解得，……………………………………2分
所以前兩組的頻率之和為，即，所以.…………4分
（2）眾數(shù)為
平均數(shù)為，
前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，
所以分位數(shù)在第三組，且為.………………………………8分
（3）第四?第五兩組志愿者分別有20人，5人，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，
則第四組抽4人，記為，第五組抽1人，記為，……………………………10分
則從這5人中選出2人，有共10種結(jié)果，…………………………………………………………………………………12分
兩人來自不同組有共4種結(jié)果，……………………………14分
所以兩人來自不同組的概率為.………………………………………………15分
17．（本小題滿分15分）
解：（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離1，符合要求；…2分
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，
則有，解得，故；
綜上所述，直線的方程為或；………………………………………………5分
（2）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)直線的方程為…………………………………7分
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距不為0時(shí)，由已知設(shè)直線的方程，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，此時(shí)直線的方程為
綜上所述，直線的方程為或；………………………………10分
（3）如圖，設(shè)，則，，
即，
由，則，
故當(dāng)時(shí)，有.………15分
18．解：（1）因?yàn)椋?，，所以四邊形為矩形?br>在中，，，，
則，，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面；……………………………………………………………………5分
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，可得，
則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，令，則，即，
設(shè)平面的法向量為，，
由，令，則，，即，
則，
二面角的正弦值為； ……………………………11分
（3）由點(diǎn)為靠近點(diǎn)的的四等分點(diǎn)，故，
則，
又平面的法向量為，
故直線與平面所成的角的正弦值為：
，
即直線與平面所成的角的余弦值為.……………17分
19．（本小題滿分17分）
解：（1）連接，因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，
又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，且平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；…………?分
（2）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，所以是正三角形?br>所以，即，由于平面，以為原點(diǎn)，
分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br>則，
設(shè)，則，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，令，則，，即，
由平面，則，即有，
解得，即；…………………………………………………………………11分
（3）假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，即，所以，
又由平面的法向量為，所以，解得，
由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即，
故棱上存在一點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.…………17分