1．（3分）如果收入200元記作+200元，那么支出50元記作（ ）
A．+150元B．﹣150元C．+50元D．﹣50元
2．（3分）若代數(shù)式x+7的值為1，則x的值為（ ）
A．6B．﹣6C．8D．﹣8
3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．3a2﹣2a2＝a2
C．（a2）3＝a5D．2a2?3a＝6a2
4．（3分）2014年超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“威馬遜”給海南省的文昌和?？谝灾貏?chuàng)，估算造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)43700000000元人民幣．這筆款額用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（ ）
A．0.473×1011B．4.4×1010
C．4.37×1010D．43.7×109
5．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
6．（3分）拋物線(xiàn)y＝x2+1先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得的拋物線(xiàn)解析式為（ ）
A．y＝x2+4x+4B．y＝x2﹣4x+4C．y＝x2﹣4x+3D．y＝x2+4x+5
7．（3分）如圖，直線(xiàn)l∥m，將含有45°角的三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線(xiàn)m上，若∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
8．（3分）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值為（ ）
A．2：3B．2：5C．3：5D．5：7
9．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A＝45°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)MN交AD于點(diǎn)E，連接CE，則CE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大
C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）
D．4a+2b+c＞0
11．（3分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)等于（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿矩形的邊由B→C→D→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y，把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）
A．15B．16C．20D．30
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ ．
14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一個(gè)根為x1＝2，另一根x2＝ ．
15．（3分）函數(shù)y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值為 ．
16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分別是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF．
（1）若點(diǎn)F為GB的中點(diǎn)，則＝ ；
（2）連接BE，若，正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，則n＝ ．
三、解答題：本題共6小題，共72分。
17．（12分）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組．
18．（10分）如圖，在長(zhǎng)為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路（陰影部分），若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，求小路的寬是多少？
19．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D為AB上一點(diǎn)，CD＝4，BD＝3．
（1）求證：∠BDC＝90°；
（2）求AC的長(zhǎng)．
20．（10分）某廣場(chǎng)的聲控噴泉是由若干個(gè)垂直于地面的柱形噴泉裝置組成的．每個(gè)柱形噴泉裝置上都有上下兩個(gè)噴頭，這兩個(gè)噴頭朝向一致，噴出的水流均呈拋物線(xiàn)型．當(dāng)圍觀游人喊聲較小時(shí)，下噴頭噴水；當(dāng)圍觀游人喊聲較大時(shí)，上下兩個(gè)噴頭都噴水．如圖所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B是一個(gè)柱形噴泉裝置OB上的兩個(gè)噴頭，A噴頭噴出的水流的落地點(diǎn)為C．以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C所在直線(xiàn)為x軸，OB所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（柱形噴泉裝置的粗細(xì)忽略不計(jì)）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，從A噴頭和B噴頭各噴出的水流的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式分別是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'；
（1）求A噴頭噴出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在點(diǎn)D處，OD＝4m．當(dāng)圍觀游人喊聲較大時(shí)，B噴頭噴出的水流是否會(huì)落在該游人所站的點(diǎn)D處？
21．（16分）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線(xiàn)上．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使△PAD周長(zhǎng)最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）Q為直線(xiàn)BD下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，求△BDQ面積的最大值；
（4）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)△MAD是以AD邊為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)．
22．（14分）在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，可以將這個(gè)圖形轉(zhuǎn)換到另一個(gè)位置，從而易于解題．請(qǐng)你閱讀學(xué)習(xí)這種旋轉(zhuǎn)變換方法，并運(yùn)用其解答問(wèn)題：
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求證：AE＝EC；
證明：∵AB＝AD，可將圖1中的△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE′，如圖2，請(qǐng)你利用圖2完成第（1）題；
（2）根據(jù)第（1）題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，嘗試用旋轉(zhuǎn)變換解答下面的問(wèn)題；
①如圖3，在直角△ABC中，D為斜邊AB上一點(diǎn)，AD＝2，BD＝1，四邊形DECF是正方形，設(shè)△ADE和△BDF的面積分別為S1，S2，求S1+S2的值；
②如圖4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值．
2024-2025學(xué)年海南省?？谑旋埲A區(qū)華僑中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。
1．（3分）如果收入200元記作+200元，那么支出50元記作（ ）
A．+150元B．﹣150元C．+50元D．﹣50元
【答案】D
【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，如果收入200元記作+200元，那么支出50元記作﹣50元．
【解答】解：因?yàn)檎焙汀柏?fù)”相對(duì)，所以，如果收入200元記作+200元，那么支出50元記作﹣50元．
故選：D．
2．（3分）若代數(shù)式x+7的值為1，則x的值為（ ）
A．6B．﹣6C．8D．﹣8
【答案】B
【分析】根據(jù)題意列出方程解出x的值即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x+7＝1，
∴x＝﹣6，
故選：B．
3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．3a2﹣2a2＝a2
C．（a2）3＝a5D．2a2?3a＝6a2
【答案】B
【分析】根據(jù)合并同類(lèi)二次根式的方法可以判斷A；根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)的方法可以判斷B；根據(jù)冪的乘方可以判斷C；根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的方法可以判斷D．
【解答】解：2﹣＝，故選項(xiàng)A不符合題意；
3a2﹣2a2＝a2，故選項(xiàng)B正確，符合題意；
（a2）3＝a6，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
2a2?3a＝6a3，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
4．（3分）2014年超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“威馬遜”給海南省的文昌和?？谝灾貏?chuàng)，估算造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)43700000000元人民幣．這筆款額用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（ ）
A．0.473×1011B．4.4×1010
C．4.37×1010D．43.7×109
【答案】C．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：43700000000＝4.37×1010．
故選：C．
5．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【答案】A
【分析】觀察式子可得最簡(jiǎn)公分母為2（x+1）．方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解．結(jié)果要檢驗(yàn)．
【解答】解：方程兩邊乘2（x+1），得：2x＝x+1，
解得x＝1．將x＝1代入2（x+1）＝4≠0．
∴方程的解為x＝1．故選A．
6．（3分）拋物線(xiàn)y＝x2+1先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得的拋物線(xiàn)解析式為（ ）
A．y＝x2+4x+4B．y＝x2﹣4x+4C．y＝x2﹣4x+3D．y＝x2+4x+5
【答案】A
【分析】直接利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”解題即可．
【解答】解：∵左加右減，上加下減，
∴拋物線(xiàn)y＝x2+1先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得的拋物線(xiàn)解析式為y＝（x+2）2+1﹣1＝x2+4x+4，即y＝x2+4x+4，
故選：A．
7．（3分）如圖，直線(xiàn)l∥m，將含有45°角的三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線(xiàn)m上，若∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】A
【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BD∥l，由直線(xiàn)l∥m，可得BD∥l∥m，由兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案∠4的度數(shù)，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度數(shù)，繼而求得∠2的度數(shù)．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD∥l，
∵直線(xiàn)l∥m，
∴BD∥l∥m，
∴∠4＝∠1＝25°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝45°﹣25°＝20°，
∴∠2＝∠3＝20°．
故選：A．
8．（3分）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC且EF∥AB，AD：DB＝2：3，那么BF：FC的值為（ ）
A．2：3B．2：5C．3：5D．5：7
【答案】A
【分析】由EF∥AB，得BF：FC＝AE：EC，由DE∥BC，AE：EC＝AD：DB，所以BF：FC＝AD：DB＝2：3，于是得到問(wèn)題的答案．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴BF：FC＝AE：EC，
∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB，
∴BF：FC＝AD：DB＝2：3，
∴BF：FC的值為2：3，
故選：A．
9．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A＝45°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)MN交AD于點(diǎn)E，連接CE，則CE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接BE，如圖，利用基本作圖得到MN垂直平分AB，則根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到EA＝EB，再證明△AEB為等腰直角三角形，則BE＝2，接著根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝BC＝4，AD∥BC，所以∠EBC＝∠AEB＝90°，然后利用勾股定理可計(jì)算出CE的長(zhǎng)．
【解答】解：連接BE，如圖，
由作法得MN垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝2，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．
故選：C．
10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大
C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【答案】D
【分析】由拋物線(xiàn)開(kāi)口方向可判斷A，根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸可判斷B，由拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而判斷C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判斷D．
【解答】解：A、由圖可知：拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a＜0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
B、∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x＞1時(shí)y隨x的增大而減小，x＜1時(shí)y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；
C、由A（﹣1，0），拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1可知，B坐標(biāo)為（3，0），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
D、拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)在第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故選項(xiàng)D正確，符合題意；
故選：D．
11．（3分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易證Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到結(jié)論EF＝DF；易得FC＝FA，設(shè)FA＝x，則FC＝x，F(xiàn)D＝6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程x2＝42+（6﹣x）2，解方程求出x．
【解答】解：∵矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC對(duì)折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，
又∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB＝CD，
∴AE＝DC，
而∠AFE＝∠DFC，
∵在△AEF與△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF＝DF；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC＝FA，
設(shè)FA＝x，則FC＝x，F(xiàn)D＝6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，即x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，
則FD＝6﹣x＝．
故選：B．
12．（3分）如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿矩形的邊由B→C→D→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y，把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則△ABC的面積為（ ）
A．15B．16C．20D．30
【答案】A
【分析】解本題需注意一定的面積值相對(duì)應(yīng)的距離可以有2個(gè)．找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，找出準(zhǔn)確反映y與x之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象，需分析在不同階段中y隨x變化的情況．
【解答】解：由圖2知：
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P由B→C時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為5，
∴BC＝5，
當(dāng)x＝5和x＝11時(shí)，△ABP的面積相等，
∴CD＝6，
∴S△ABC＝CD×BC＝15，
故選：A．
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13．（3分）因式分解：a3﹣4a＝ a（a+2）（a﹣2） ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】首先提取公因式a，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案為：a（a+2）（a﹣2）．
14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一個(gè)根為x1＝2，另一根x2＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】根據(jù)x1+x2＝6且x1＝2可得答案．
【解答】解：由題意知x1+x2＝6，
∵x1＝2，
∴x2＝4，
故答案為：4．
15．（3分）函數(shù)y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值為 8 ．
【答案】8．
【分析】把函數(shù)化為頂點(diǎn)式求出對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最大值．
【解答】解：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∵|0﹣3|＞|3﹣4|，1＞0，
∴在0≤x≤4，x＝0時(shí)，函數(shù)值最大，最大值為8．
故答案為：8．
16．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AF⊥BG，BG⊥CH，CH⊥DE，DE⊥AF垂足分別是F，G，H，E，∠ABF＞∠BAF．
（1）若點(diǎn)F為GB的中點(diǎn)，則＝ ；
（2）連接BE，若，正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，則n＝ 3 ．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到BF＝GC，然后利用已知條件即可求解；
（2）利用（1）可以得到BF＝GC，設(shè)BF＝GC＝a，GF＝b，則BG＝a+b，EF＝b，利用已知條件化簡(jiǎn)得到a2+ab＝b2；利用勾股定理求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，再利用正方形的面積公式解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD，EFGH都為正方形，
∴AB＝BC，∠AFB＝∠CGB＝90°，∠ABC＝90°．
∴∠ABF+∠GBC＝90°，∠GBC+∠GCB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG．
在△ABF和△BCG中，
，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴BF＝GC，
∵點(diǎn)F為GB的中點(diǎn)，
∴BF＝GF，
∴＝；
故答案為：；
（2）∵BF＝CG，
∴設(shè)BF＝GC＝a，GF＝b，則BG＝a+b，EF＝b，
∵，
∴＝（）2，
∴a2+ab＝b2．
∵BG2+GC2＝BC2，
∴BC2＝a2+（a+b）2＝2a2+2ab+b2＝3b2，
∴正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為＝＝，
∴n＝3．
故答案為：3．
三、解答題：本題共6小題，共72分。
17．（12分）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組．
【答案】（1）2；
（2）x＜﹣．
【分析】（1）直接利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的乘法運(yùn)算法則，零指數(shù)冪分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并得出答案；
（2）分別解不等式，進(jìn)而得出不等式組的解集．
【解答】解：（1）原式＝1+5﹣3﹣1．
＝2；
（2）解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＜﹣，
∴不等式組的解集是x＜﹣．
18．（10分）如圖，在長(zhǎng)為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路（陰影部分），若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，求小路的寬是多少？
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】設(shè)小路的寬是x m，則余下的部分可合成長(zhǎng)為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，根據(jù)花圃的面積是3600m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)小路的寬是x m，則余下的部分可合成長(zhǎng)為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，
根據(jù)題意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合題意，舍去），
∴小路的寬是5m．
故答案為：5．
19．（10分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D為AB上一點(diǎn)，CD＝4，BD＝3．
（1）求證：∠BDC＝90°；
（2）求AC的長(zhǎng)．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AC即可．
【解答】（1）證明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴42+32＝52，
∴∠BDC＝90°；
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
依題意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，
解得AC＝．
故AC的長(zhǎng)為．
20．（10分）某廣場(chǎng)的聲控噴泉是由若干個(gè)垂直于地面的柱形噴泉裝置組成的．每個(gè)柱形噴泉裝置上都有上下兩個(gè)噴頭，這兩個(gè)噴頭朝向一致，噴出的水流均呈拋物線(xiàn)型．當(dāng)圍觀游人喊聲較小時(shí)，下噴頭噴水；當(dāng)圍觀游人喊聲較大時(shí)，上下兩個(gè)噴頭都噴水．如圖所示，點(diǎn)A和點(diǎn)B是一個(gè)柱形噴泉裝置OB上的兩個(gè)噴頭，A噴頭噴出的水流的落地點(diǎn)為C．以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C所在直線(xiàn)為x軸，OB所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（柱形噴泉裝置的粗細(xì)忽略不計(jì)）
已知：OA＝1m，OB＝2m，OC＝3m，從A噴頭和B噴頭各噴出的水流的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式分別是y＝﹣x2+bx+c和y＝﹣x2+bx+c'；
（1）求A噴頭噴出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在點(diǎn)D處，OD＝4m．當(dāng)圍觀游人喊聲較大時(shí)，B噴頭噴出的水流是否會(huì)落在該游人所站的點(diǎn)D處？
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)A噴頭噴出的水流高度與水平距離的函數(shù)關(guān)系式，求出y的最大值即可；
（2）根據(jù)B噴頭噴出的水流高度與水平距離的函數(shù)關(guān)系式，令x＝4，通過(guò)計(jì)算y的值即可判斷．
【解答】解：根據(jù)題意，令x＝0，易得c＝1，c'＝2；
令x＝3，y＝﹣x2+bx+c＝﹣3+3b+1＝0，可求得b＝；
因此，A噴頭和B噴頭各噴出的水流的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式分別是y＝﹣x2+x+1和y＝﹣x2+x+2；
（1）函數(shù)y＝﹣x2+x+1的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，此時(shí)y＝，
因此，A噴頭噴出的水流的最大高度為m；
（2）函數(shù)y＝﹣x2+x+2，令x＝4，y＝﹣×42+×4+2＝﹣，
因此，B噴頭噴出的水流不會(huì)落在該游人所站的點(diǎn)D處．
21．（16分）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線(xiàn)上．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使△PAD周長(zhǎng)最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）Q為直線(xiàn)BD下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，求△BDQ面積的最大值；
（4）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)△MAD是以AD邊為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）點(diǎn)P（﹣1，﹣2）；
（3）；
（4）M（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣6）．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）點(diǎn)D關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，即可求解；
（3）由△BDQ面積＝HQ×（xB﹣xD）＝×（﹣x2﹣x+2）＝﹣（x+）2+≤，即可求解；
（4）當(dāng)AD＝AM時(shí)，則10＝m2+4，則m＝±，即可求解；當(dāng)AD＝MD時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)知，C、D關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝（﹣2+0）＝﹣1，則點(diǎn)B（1，0），
則拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）點(diǎn)D關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接AC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，
理由：△PAD周長(zhǎng)＝AD+PA+PD＝AD+PA+PC＝AD+AC為最小，
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線(xiàn)AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2，即點(diǎn)P（﹣1，﹣2）；
（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH∥y軸交BD于點(diǎn)H，
由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)得，直線(xiàn)BD的表達(dá)式為：y＝x﹣1，
設(shè)點(diǎn)H（x，x﹣1），則點(diǎn)Q（x，x2+2x﹣3），
則HQ＝﹣x2﹣x+2，
則△BDQ面積＝HQ×（xB﹣xD）＝×（﹣x2﹣x+2）＝﹣（x+）2+≤，
即△BDQ面積的最大值為；
（4）設(shè)點(diǎn)M（﹣1，m），
由點(diǎn)A、M、D的坐標(biāo)得，AD2＝10，AM2＝m2+4，MD2＝1+（m+3）2，
當(dāng)AD＝AM時(shí)，則10＝m2+4，則m＝±，
即點(diǎn)M（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
當(dāng)AD＝MD時(shí)，
同理可得：m2+4＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣6，
即點(diǎn)M（﹣1，﹣6），
綜上，M（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣6）．
22．（14分）在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，可以將這個(gè)圖形轉(zhuǎn)換到另一個(gè)位置，從而易于解題．請(qǐng)你閱讀學(xué)習(xí)這種旋轉(zhuǎn)變換方法，并運(yùn)用其解答問(wèn)題：
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于E，求證：AE＝EC；
證明：∵AB＝AD，可將圖1中的△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADE′，如圖2，請(qǐng)你利用圖2完成第（1）題；
（2）根據(jù)第（1）題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，嘗試用旋轉(zhuǎn)變換解答下面的問(wèn)題；
①如圖3，在直角△ABC中，D為斜邊AB上一點(diǎn)，AD＝2，BD＝1，四邊形DECF是正方形，設(shè)△ADE和△BDF的面積分別為S1，S2，求S1+S2的值；
②如圖4，已知：∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA+PB+PC的值．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【分析】（1）如圖2，易得△ABE≌△ADE'，證明∠ADE'+∠ADC＝180°，即C，D，E'在同一條直線(xiàn)上，根據(jù)有三個(gè)角相等的四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形得：四邊形AECE'為正方形，則AE＝EC；
（2）①如圖3，將△BDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△DEF'全等后面積相等，得S1+S2＝S△ADF'，根據(jù)面積公式可得S△ADF'＝1，從而得結(jié)論；
②以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，得到△ANM，連接BN，PM，易得△ABP≌△ANM，△APM，△ABN均為等邊三角形，則C，P，M，N在一條直線(xiàn)上，根據(jù)勾股定理求得CN的長(zhǎng)，則CP+PB+PA＝CN．
【解答】（1）證明：如圖2，易得△ABE≌△ADE'，
∴∠E'＝∠AEB＝90°，∠ADE'＝∠B，∠E'AD＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADE'+∠ADC＝180°，即C，D，E'在同一條直線(xiàn)上，
∵∠AEC＝∠C＝∠E'＝90°，AE'＝AE，
∴四邊形AECE'為正方形，
∴AE＝EC；
（2）解：①如圖3，將△BDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△DEF'，
易得△DEF'≌△DFB，
∴S1+S2＝S△ADF'，
∵DF'＝BD＝1，S△ADF'＝AD?DF'＝×2×1＝1，
∴S1+S2＝1；
②如圖4，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，得到△ANM，連接BN，PM，易得△ABP≌△ANM，
∴△APM，△ABN均為等邊三角形，
∵∠BAC＝60°，AC＝1，
∴PA＝PM，AN＝AB＝BN＝2，BC＝，
∵∠ABN＝60°，
∴∠CBN＝90°，
∵∠APB＝∠BPC＝∠APC，
∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∠APM＝∠AMP＝60°，
∴C，P，M，N在一條直線(xiàn)上，
∵PA＝PM，PB＝MN，CP+PB+PA＝CN，
在直角△BCN中，CN＝＝，
∴PA+PB+PC的值為．

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