1．（4分）如圖，有甲，乙、丙三個(gè)矩形，其中相似的是（ ）
A．甲與丙B．甲與乙
C．乙與丙D．三個(gè)矩形都不相似
2．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：4，那么這兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
3．（4分）如圖，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．將△ABC沿圖中的DE剪開，剪下的陰影三角形與△ABC不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）如圖，周末陽(yáng)光正好，小麗和爸爸外出游園．爸爸身高1.8m，此刻他在地面上的影長(zhǎng)為1.5m，經(jīng)測(cè)量小麗在地面上的影長(zhǎng)是1.25m，則小麗的身高為（ ）
A．1.4mB．1.5mC．1.6mD．1.7m
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，現(xiàn)把這個(gè)三角形的三邊都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則∠A的正弦值（ ）
A．?dāng)U大為原來(lái)的3倍B．縮小為原來(lái)的3倍
C．不變D．不能確定
6．（4分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函數(shù)表示正確的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．csA＝D．tanB＝
7．（4分）春節(jié)期間，小澎陪媽媽去爬山，如圖，兩人從山腳下A處沿坡前行，到達(dá)C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)C處標(biāo)語(yǔ)牌上寫著“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度i＝1：2.4，愛思考的小澎很快告訴媽媽：“我們至少走坡路（ ）米了”．
A．50B．120C．130D．170
8．（4分）如圖，為測(cè)量建筑物的高，利用一架無(wú)人機(jī)A對(duì)建筑物BC的點(diǎn)B和點(diǎn)C進(jìn)行觀測(cè)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．仰角為∠BAD
B．當(dāng)無(wú)人機(jī)遠(yuǎn)離BC水平飛行時(shí)，仰角增大
C．俯角為∠CAD
D．當(dāng)無(wú)人機(jī)遠(yuǎn)離BC水平飛行時(shí)，俯角減小
9．（4分）下列說(shuō)法：
①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；
②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；
③同圓或等圓中，等弦所對(duì)的弧相等；
④三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等其中，正確的個(gè)數(shù)共有（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）如圖，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫射線OB，則cs∠AOB＝（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)分別為6，8，則此直角三角形外接圓半徑為（ ）
A．5B．10C．D．5或
12．（4分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
二.填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
13．（4分）在銳角三角形ABC中，已知∠A，∠B滿足（sinA﹣）2+|﹣tanB|＝0，則∠C＝ ．
14．（4分）將一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊CD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊CD上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 ．
15．（4分）小明不小心把一塊直角三角形玻璃打碎了，他取了一個(gè)碎片（如圖），若∠A＝90°，∠B＝65°，AB＝10cm，則原直角三角形玻璃的面積為 cm2．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
16．（4分）在半徑為1的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為1，則弦AB所對(duì)弧的度數(shù) ．
17．（4分）如圖，AB是圓的直徑，∠1、∠2、∠3、∠4的頂點(diǎn)均在AB上方的圓弧上，∠1、∠4的一邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，則∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．
18．（4分）如圖所示，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，則∠BOC＝ ．
三.解答題（8小題，滿分78分）
19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫出△A1BC1，使△A1BC1與△ABC位似，且相似比為2：1，點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，C1；
（2）直接寫出點(diǎn)A1和點(diǎn)C1的坐標(biāo)：A1（ ， ），C1（ ， ）．
20．（8分）計(jì)算：
（1）tan30°?tan60°+sin245°+cs245°；
（2）2cs30°?sin60°﹣tan45°?sin30°．
21．（8分）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，且滿足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求證：△ADE∽△ACD；
（2）若，且AE＝4，求AB的長(zhǎng)．
22．（10分）定義：在△ABC中，我們把∠A的對(duì)邊與∠C的對(duì)邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即thiA＝＝．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thiA的值；
（2）若thiA＝，則∠A＝ °；
（3）若∠A是銳角，探究thiA與sinA的數(shù)量關(guān)系．
23．（10分）學(xué)科綜合
我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．
觀察實(shí)驗(yàn)
為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了圖2所示的實(shí)驗(yàn)，即通過(guò)細(xì)管MN可以看見水底的物塊C，但不在細(xì)管MN所在直線上，圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點(diǎn)A，C，B在同一直線上，測(cè)得BF＝12cm，DF＝16cm．
（1）求入射角α的度數(shù)．
（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）
24．（12分）已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB為直徑的⊙O與AC，BC的交點(diǎn)分別為D，E
（Ⅰ）如圖①，求∠CED的大??；
（Ⅱ）如圖②，當(dāng)DE＝BE時(shí)，求∠C的大?。?br>25．（12分）根據(jù)素材解決問(wèn)題：
26．（12分）△ABC表示一塊直角三角形空地，已知∠ACB＝90°，邊AC＝4米，BC＝3米．現(xiàn)在根據(jù)需要在空地內(nèi)畫出一個(gè)正方形區(qū)域建造水池，現(xiàn)有方案一、方案二分別如圖1、圖2所示，請(qǐng)你分別計(jì)算兩種方案中水池的邊長(zhǎng)，并比較哪種方案的正方形水池面積更大．
2024-2025學(xué)年山東省聊城市陽(yáng)谷縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題只有一個(gè)正確答案，每小題4分，共48分）
1．【解答】解：三個(gè)矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為2：3，1.5：2＝3：4，2：3，
∴甲和丙相似，
故選：A．
2．【解答】解：如果兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)中線的比為1：4，
故選：B．
3．【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合題意；
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合題意；
C、由圖形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，
∵，，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合題意；
D、由已知條件無(wú)法證明△ADE與△ABC相似，
故D符合題意，
故選：D．
4．【解答】解：設(shè)小芳的身高為h米，
∵同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比，
∴，
解得h＝1.5，
故選：B．
5．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，將各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，其比值不變，
∴∠A的正弦值不變．
故選：C．
6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
tanA＝，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
csA＝，故選項(xiàng)C正確；
tanB＝，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C．
7．【解答】解：∵山坡的坡度i＝1：2.4，
∴BC：AB＝1：2.4，
∵BC＝50米，
∴AB＝120米，
由勾股定理得：AC＝＝＝130（米），
所以我們至少走坡路130米了，
故選：C．
8．【解答】解：A、仰角為∠BAD，說(shuō)法正確，不符合題意；
B、當(dāng)無(wú)人機(jī)遠(yuǎn)離BC水平飛行時(shí)，仰角減小，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
C、俯角為∠CAD，說(shuō)法正確，不符合題意；
D、當(dāng)無(wú)人機(jī)遠(yuǎn)離BC水平飛行時(shí)，俯角減小，說(shuō)法正確，不符合題意；
故選：B．
9．【解答】解：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，所以①錯(cuò)誤；
在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，所以②錯(cuò)誤；
同圓或等圓中，等弦所對(duì)的優(yōu)弧或劣弧對(duì)應(yīng)相等，所以③錯(cuò)誤；
三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等，所以④正確；
故選：A．
10．【解答】解：根據(jù)題意得：OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴cs∠AOB＝cs60°＝．
故選：B．
11．【解答】解：∵Rt△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)分別為6，8，
∴斜邊長(zhǎng)＝，
∴Rt△ABC斜邊上的中線長(zhǎng)為5，
即此直角三角形外接圓半徑為5，
故選：A．
12．【解答】解：連接OD，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，AB＝4，
∴OD＝2，CE＝DE＝CD，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE為等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝，
∴CD＝2DE＝2，
故選：C．
二.填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）
13．【解答】解：由題意得，sinA＝，tanB＝，
則∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案為：75°．
14．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠BMN＝∠A＝90°，
∵∠NMD+∠BMN+∠BMC＝180°，
∴∠NMD+∠BMC＝90°，
∴∠DNM＝∠BMC，
∴△NDM∽△MCB．
故答案為：△MCB．
15．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝65°，AB＝10cm，
∴AC＝AB?tan65°≈10×2.14＝21.4（cm），
∴原直角三角形玻璃的面積＝AB?AC＝×10×21.4＝107（cm2），
故答案為：107．
16．【解答】解：如圖：
∵OA＝OB＝AB＝1，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弦AB所對(duì)弧的度數(shù)為60°或300°．
故答案為：60°或300°．
17．【解答】∵AB是圓的直徑，
∴AB所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)圓心角的度數(shù)為180°，
∵∠1、∠2、∠3、∠4所對(duì)的弧的和為半圓，
∴，
故答案為：90．
18．【解答】解：連接OA，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝20°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故答案為：100°．
三.解答題（8小題，滿分78分）
19．【解答】解：（1）如圖，△A1BC1即為所求．
（2）由圖可得，A1（1，1），C1（﹣3，﹣1）．
故答案為：1；1；﹣3；﹣1．
20．【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
21．【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD；
（2）解：∵，
∴，
∴，
由（1）知△ADE∽△ACD，
∴＝，
∵AE＝4，
∴＝，
∴，
∵AD＝AB，
∴．
22．【解答】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H．
（1）在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH．
∴thiA＝＝；
（2）∵thi A＝，
∴＝，
∵∠C＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝60°，
如圖，根據(jù)對(duì)稱性，△A′BC是鈍角三角形時(shí)，∠B′AC＝120°
故答案為：60或120；
（3）在△ABC中，thiA＝．
在Rt△BHA中，sinA＝．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．
23．【解答】解：（1）如圖：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，
由題意得：四邊形DGBF是矩形，
∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，
∴∠BDG＝53°，
∴∠PDH＝∠BDG＝53°，
∴入射角α的度數(shù)為53°；
（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，
∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），
在Rt△CDG中，DG＝12cm，
∴DC＝＝＝15（cm），
∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，
由（1）得：∠PDH＝53°，
∴sin∠PDH＝sinα≈，
∴折射率n＝＝＝，
∴光線從空氣射入水中的折射率n約為．
24．【解答】解：（Ⅰ）∵四邊形ABED 圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∵∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠A，
∵∠A＝68°，
∴∠CED＝68°．
（Ⅱ）連接AE．
∵DE＝BE，
∴＝
∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°
25．【解答】解：任務(wù)1，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則點(diǎn)O在CD延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CD，則CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，連結(jié)AO，如圖，
設(shè)橋拱的半徑為r m，則OD＝（r﹣4）m，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝8m，
∵OD2+AD2＝OA2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，
∴r＝10，
∴圓形拱橋的半徑為10m；
任務(wù)2，根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船通過(guò)圓形橋拱，至少要增加10噸的貨物才能通過(guò)．理由：
當(dāng)EH是⊙O的弦時(shí)，EH與OC的交點(diǎn)為M，連接OE，OH，如圖，
∵四邊形EFGH為矩形，
∴EH∥FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴EM＝EH＝6m，
∴OM＝＝8，
∵OD＝OC﹣CD＝6m，
∴DM＝2m＜2.1m，
∴根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過(guò)圓形橋拱，
∵貨船的載重量每增加1噸，則船身下降0.01m．
∴船在水面部分可以下降的高度（2.1﹣2）÷0.01＝10（噸），
∴至少要增加10噸的貨物才能通過(guò)．
26．【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米．
方案一：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴；
方案二：如圖2，作CH⊥AB于H，交DG于點(diǎn)P，
則四邊形DPHE是矩形，
∵∠ACB＝90°，AC＝4米，BC＝3米，
由勾股定理得：米，
∵，
∴米；
∵PH＝DE＝x米，
∴米；
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
解得：；
∵，
∴方案一的正方形水池面積更大．
設(shè)計(jì)貨船通過(guò)圓形拱橋的方案
素材1
圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測(cè)得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．

素材2
如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測(cè)得EH＝12m，EF＝2.1m．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運(yùn)載貨物．據(jù)調(diào)查，貨船的載重量每增加1噸，則船身下降0.01m．．

問(wèn)題解決
任務(wù)1
確定橋拱半徑
（1）求圓形橋拱的半徑；
任務(wù)2
擬定設(shè)計(jì)方案
（2）根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過(guò)圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過(guò)？

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