2024年第一次廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試
數(shù)學(xué)
本試卷共4頁，共22小題，滿分150分.考試用時(shí)90分鐘.
注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則集合A的非空真子集有（ ）個(gè)
A 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到集合，結(jié)合非空真子集的概念，即可求解.
【詳解】由集合，
所以集合的非空真子集為：，，，，，，共有6個(gè).
故選：B.
2. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用，展開后應(yīng)用基本不等式可得最小值．
【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．
故選：D．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．
3. 已知向量滿足，則（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
故選:A.
4. 函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可得答案.
【詳解】由題知的定義域?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于軸對稱，排除A、C；
又，排除D.
故選：B.
5. 函數(shù)，的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由的圖像，即可得出時(shí)的最小值．
【詳解】由的圖像可知，時(shí)，，
所以，
故選：D．
6. 下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.
【詳解】角用弧度制表示為，B、D錯(cuò)誤；
終邊相同應(yīng)加上，故C錯(cuò)誤．
故選：A．
7. 從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（ ）
A. “恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”B. “至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”
C. “至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”D. “至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項(xiàng)分析判斷作答.
【詳解】對于A，恰好有一個(gè)黑球的事件與恰好有兩個(gè)黑球的事件不能同時(shí)發(fā)生，可以同時(shí)不發(fā)生，
因此“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而不對立的兩個(gè)事件，A是；
對于B，至少有一個(gè)黑球的事件與都是紅球的事件是對立事件，B不是；
對于C，至少有一個(gè)黑球的事件與至少有一個(gè)紅球的事件可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，C不是；
對于D，至少有一個(gè)黑球的事件與都是黑球的事件可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，D不是.
故選：A
8. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所以，即?br>所以.
故選：B
9. 已知函數(shù),若，則x＝（ ）
A. －3B. －2C. 3D. 3或－2
【答案】C
【解析】
【分析】分與兩種情況，求出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，不滿足要求，舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得，滿足要求.
故選：C
10. 某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（ ）
A. 86B. 85.5C. 85D. 84.5
【答案】B
【解析】
【分析】把數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，然后用百分位數(shù)的定義求解.
【詳解】從小到大的順序排列數(shù)據(jù)為：35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是.
故選：B
11. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合已知判斷條件間推出關(guān)系，進(jìn)而確定它們的充分、必要關(guān)系.
【詳解】由，
當(dāng)時(shí)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知：必成立，
當(dāng)時(shí)，也有，
∴“”是“”的充要條件.
故選：C
12. 給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個(gè)打電話給甲的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，打電話的順序是任意的，打電話給甲乙丙三人的概率都相等均為，從而可得到正確的選項(xiàng)．
【詳解】∵打電話的順序是任意的，打電話給甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一個(gè)打電話給甲的概率為．
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查了概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．
二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.
13. 若復(fù)數(shù)，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
14. 已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則csα=______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函數(shù)的定義直接求解即可
【詳解】解：因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，
所以，
故答案：
【點(diǎn)睛】此題考查任意角的三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題
15. 若一個(gè)圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形面積公式求得，再利用圓錐的側(cè)面積公式即可得解.
【詳解】依題意，設(shè)圓錐的底面半徑，則母線長為，
則，解得，
所以該圓錐的側(cè)面積為．
故答案為：．
16. 某地區(qū)有高中生3000人，初中生6000人，小學(xué)生6000人．教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率，采用分層抽樣的方法，按高中生、初中生、小學(xué)生進(jìn)行分層，如果在各層中按比例分配樣本，總樣本量為150，那么在高中生中抽取了________人．
【答案】30
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解.
詳解】高中生中抽取了人，
故答案：30
17. 已知函數(shù)，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】由指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算法則求解．
【詳解】，則，
故答案為：
18. 已知，，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算法則將展開，結(jié)合求解即可1.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
所以.
故答案為：.
三、解答題：本大題共4個(gè)大題，第19-21題各10分，第22題12分，共42分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
19. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.
（1）求的值；
（2）求面積；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和的余弦公式求得正確答案.
（2）先求得，然后利用三角形的面積公式求得正確答案.
【小問1詳解】
.
.
由正弦定理可得.
【小問2詳解】
，
所以的面積.
20. 某果園試種了兩個(gè)品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計(jì)了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記兩個(gè)品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．
（1）求，，，；
（2）果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計(jì)算結(jié)果分析選種哪個(gè)品種更合適?并說明理由．
【答案】（1），，，
（2）選擇品種，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差公式求解即可；
（2）比較平均值和方差的大小可得答案.
【小問1詳解】
，
，
，
．
【小問2詳解】
由可得兩個(gè)品種平均產(chǎn)量相等，
又，，則品種產(chǎn)量較穩(wěn)定，故選擇品種.
21. 1.汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故產(chǎn)生原因的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速為40 km/h的彎道上，現(xiàn)場勘查測得一輛事故汽車的剎車距離略超過10米．已知這種型號的汽車的剎車距離（單位：m）與車速（單位：km/h）之間滿足關(guān)系式，其中為常數(shù)．試驗(yàn)測得如下數(shù)據(jù)：
（1）求的值；
（2）請你判斷這輛事故汽車是否超速，并說明理由．
【答案】（1）
（2）超速，理由見解析
【解析】
【分析】（1）將表格中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)的解析式建立方程組即可求得答案；
（2）根據(jù)（1）建立不等式，進(jìn)而解出不等式，最后判斷答案.
【小問1詳解】
由題意得，解得.
【小問2詳解】
由題意知，，解得或（舍去）
所以該車超速．
22. 如圖，四棱錐的底面為正方形，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）若平面，證明：.
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，由線面平行的判定定理即可證明；
（2）由線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可得證.
【小問1詳解】
設(shè)與交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以為的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以?
又因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?（單位：）
60
50
45
60
70
80
80
80
85
90
（單位：）
40
60
60
80
80
55
80
80
70
95
車速km/h
20
100
剎車距離m
3
55

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