1.已知向量AB=(?1,1,1)，AC=(1,?1,0)，則平面ABC的一個法向量n=( )
A. (1,1,0)B. (1,?1,0)C. (1,1,2)D. (?1,1,2)
2.兩直線的斜率分別是方程x2+2024x?1=0的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是( )
A. 平行B. 斜交C. 垂直D. 重合
3.在四面體ABCD中，點M，N滿足AM=2MB，CD=2CN，若MN=xAB+yAC+zAD，則x+y+z=( )
A. ?13B. 13C. 12D. 1
4.下列四個命題，其中真命題是( )
A. 若向量a與向量b，c共面，則存在實數(shù)x，y，使a=xb+yc
B. 若直線a的方向向量為a=(1,0,?1)，平面α的法向量為m=(1,1,1)，則a⊥α
C. 若直線l的方向向量n=(12,0,3)，平面α的法向量為m=(?2,0,13)，則直線l//α
D. 若AB=(1,2,?2)，AC=(?12,0,1)，則點B到直線AC的距離為2
5.若向量?e1,e2,e3?是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量a，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使得：a=xe1+ye2+ze3，我們把有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做基底?e1,e2,e3?下向量a的斜坐標(biāo).設(shè)向量p在基底?a,b,c?下的斜坐標(biāo)為(1,?2,5)，則向量p在基底?a+b,b+c,c+a?下的斜坐標(biāo)為( )
A. (?3,?1,4)B. (3,1,?4)C. (3,?1,?4)D. (?3,1,4)
6.如圖，平行六面體各棱長為1，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，動點P在該幾何體內(nèi)部，且滿足AP=xAB+yAD+(1?x?y)AA1(x,y∈R)，則|AP|的最小值為( )
A. 64B. 63C. 62D. 12
7.長方體ABCD?A1B1C1D1，AB=BC=1，BB1=2，點P在長方體的側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動，AP⊥BD1，則二面角P?AD?B的平面角正切值的取值范圍是( )
A. [0,14]B. [0,12]C. [14,12]D. [12,1]
8.如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別是線段AD，BC上的動點，且AE=BF，AC與EF交于G，EF在AB與CD之間從AB向CD滑動，但與AB和CD均不重合.在EF任一確定位置，將四邊形EFCD沿直線EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，則下列選項中錯誤的是( )
A. ∠AGC的角度不會發(fā)生變化B. 二面角G?AC?B先變大后變小
C. AC與平面ABFG所成的角變小D. AC與EF所成的角先變小后變大
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.在空間直角坐標(biāo)系中，下列說法正確的是( )
A. 點A(1,2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面Oyz的對稱點的坐標(biāo)為(1,?2,?3)
B. 點B(4,0,5)在平面Ozx面上
C. 點C(?1,1,2)，D(1,3,4)的中點坐標(biāo)是(0,2,3)
D. 兩點E(2,?7,4)，F(xiàn)(4,?5,3)間的距離為3
10.如圖，圓錐PO的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐PO的底面直徑為6，則( )
A. 設(shè)圓錐的軸截面三角形為△PAB，則其為等邊三角形
B. 設(shè)內(nèi)切球的半徑為r1，外接球的半徑為r2，則r2= 3r1
C. 設(shè)圓錐的體積為V1，內(nèi)切球的體積為V2，則V1V2=278
D. 設(shè)S，T是圓錐底面圓上的兩點，且ST=3，則平面PST截內(nèi)切球所得截面的面積為3π5
11.如圖，點P是棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1的表面上一個動點，A1E=14A1B1，A1F=14A1D1，B1P//平面AEF，則下列說法正確的是( )
A. 三棱錐A?PEF的體積是定值
B. 存在一點P，使得C1P⊥A1C
C. 動點P的軌跡長度為7 2+2 17
D. 五面體EF?ABD的外接球半徑為 6818
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知點P(1,0)，A(0,1)，B(2, 3)，過P的直線l(不垂直于x軸)與線段AB相交，則直線l斜率的取值范圍是______．
13.如圖，兩條異面直線a，b所成角為30°，在直線上a，b分別取點A′，E和點A，F(xiàn)，使AA′⊥a且AA′⊥b，已知A′E=2，AF= 3，EF=5，則線段AA′的長為______．
14.已知三棱錐P?ABC的四個面是全等的等腰三角形，且PA=4 2，PB=AB=2 5，D為AB中點，PE=3EC，則二面角P?DE?A的余弦值為______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知a=(1,5,?1)，b=(?2,3,5)．
(1)若(ka+b)//(a?3b)，求k；
(2)若(ka+b)⊥(a?3b)，求k．
16.(本小題12分)
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1= 3，AB⊥AC，D為A1C1的中點．
(1)證明：AB1⊥平面A1BD；
(2)若AC=6，求二面角A?BC?D的余弦值．
17.(本小題12分)
如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA′的長為2，且∠A′AB=∠A′AD=120°，在線段AA′、BB′、CC′、DD′分別取A″、B″、C″、D″四點且AA″=14AA′，BB″=12BB′，CC″=34CC′，DD″=12DD′.求：
(1)證明：A″，B″，C″，D″四點共面；
(2)AC′⊥面ABCD；
(3)直線BD′與平面ABCD所成角的余弦值．
18.(本小題12分)
在底面是菱形的四棱錐S?ABCD中，已知AB=AS= 5，BS=4，過D作側(cè)面SAB的垂線，垂足O恰為棱BS的中點．
(1)在棱AD上是否存在一點E，使得OE⊥側(cè)面SBC，若存在求DE的長；若不存在，說明理由；
(2)求二面角B?SC?D的平面角的余弦值．
19.(本小題12分)
如圖①所示，矩形ABCD中，AD=1，AB=2，點M是邊CD的中點，將△ADM沿AM翻折到△PAM，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐P?ABCM，N為PB中點．
(1)求證：NC//平面PAM；
(2)若平面PAM⊥平面ABCD，求直線BC與平面PMB所成角的大??；
(3)設(shè)P?AM?D的大小為θ，若θ∈(0,π2]，求平面PAM和平面PBC夾角余弦值的最小值．
參考答案
1.A
2.C
3.B
4.A
5.D
6.B
7.B
8.B
9.BCD
10.AD
11.ACD
12.[ 3,+∞)∪(?∞,?1]
13. 6或3 2
14.2 10535
15.解：因為a=(1,5,?1)，b=(?2,3,5)．
∴(1)ka+b=(k?2,5k+3,?k+5)，a?3b=(7,?4,?16)，
由(ka+b)/?/(a?3b)，得到k?27=5k+3?4=?k+5?16，解得k=?13；
(2)若(ka+b)⊥(a?3b)，
則7(k?2)?4(5k+3)?16(5?k)=0，解得k=1063．
16.解：(1)證明：∵三棱柱ABC?A1B1C1為直三棱柱，∴A1A⊥面ABC，
∴A1A⊥AB，A1A⊥AC，又AB⊥AC，且AB∩A1A=A，∴AC⊥面A1B1BA，
又A1C1/?/AC，故A 1C1⊥面A1B1BA，
∵AB1?面A1B1BA，∴AB1⊥A1C1，即AB1⊥A1D，
又AB=AA1，∴四邊形A1B1BA為正方形，故AB 1⊥A1B，
A1D∩A1B=A1，∴AB1⊥面A1BD；
(2)由題意，可以以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則B( 3,0,0)，C(0,6,0)，D(0,3, 3)，BC=(? 3,6,0)，BD=(? 3,3, 3)，
設(shè)面BCD的一個法向量為n=(x,y,z)，
則n?BC=0n?BD=0，即? 3x+6y=0? 3x+3y+ 3z=0，
令x=2 3，則y=1，z= 3，故n=(2 3,1, 3)，
∵AA1⊥面ABC，∴可取面ABC的一個法向量為m=(0,0,1)，
∴|cs|=|m?n||m||n|= 34，
∴二面角A?BC?D的余弦值為 34．
17.(1)證明：因為A″B″=?14AA′+AB+12BB′=14AA′+AB，
C″D″=14CC′+C′D′?12DD′=?14AA′?AB，
所以A″B″=?C″D″，
故A″B″//C″D″，
所以A″，B″，C″，D″四點共面；
(2)證明：因為AC′=AC+AA′=AB+AD+AA′，
所以|AC′|2=(AB+AD+AA′)2=|AB|2+|AD|2+|AA′|2+2AB?AD+2AB?AA′+2AD?AA′
=1+1+4+0+2×1×2×cs120°+2×1×2×cs120°=2，
故|AC′|= 2，即AC′= 2，
又因為AC= 1+1= 2，CC′=2，
得AC2+AC′2=CC′2，則AC′⊥AC，
又AB?AC′=AB?(AB+AD+AA′)=|AB|2+AB?AD+AB?AA′=1+0+1×2×cs120°=0，
所以AC′⊥AB，
又因為AC、AB?平面ABCD，且AC∩AB=A，
故AC′⊥平面ABCD；
(3)解：由(2)可得AC′是平面ABCD的法向量，
設(shè)直線BD′與平面ABCD所成角為θ，則csθ=sin，
又BD′=BA+BC+BB′=?AB+AD+AA′，
所以|BD′|2=(?AB+AD+AA′)2=|AB|2+|AD|2+|AA′|2?2AB?AD?2AB?AA′+2AD?AA′
=1+1+4?0?2×1×2×cs120°+2×1×2×cs120°=6，|BD′|= 6，
所以cs=BD′?AC′|BD′|?|AC′|=(?AB+AD+AA′)?(AB+AD+AA′)|BD′|?|AC′|
=|AD|2+|AA′|2+2AD?AA′?|AB|2 6× 2=1+4+2×1×2×cs120°?12 3= 33，
故csθ=sin= 1?( 33)2= 63．
18.解：(1)連接AO，∵AB=AS，O是BS的中點，∴BS⊥AO，
∵DO⊥面ABS，∴DO⊥BS，又AO∩DO=O，AO、DO?平面AOD，∴BS⊥平面AOD．
過O作OE⊥AD于E，則OE⊥BC，∵OE?平面AOD，∴BS⊥OE，又BC∩BS=B，BC、BS?平面SBC，∴OE⊥面SBC．
在Rt△AOD中，AO= AB2?(12BS)2=1，DO= AD2?AO2=2，
∵S△AOD=12AO?DO=12AD?EO，∴EO=AO?DOAD=1×2 5=2 55．
∴DE= DO2?EO2=4 55．
(2)以O(shè)為原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

A(1,0,0)，B(0,2,0)，S(0,?2,0)，D(0,0,2)，
∴AD=(?1,0,2)，DC=AB=(?1,2,0)，DS=(0,?2,?2)．
由(1)知，AE=15AD，∴E(45,0,25)，∵EO⊥平面SBC．
∴平面SBC的一個法向量n1=(2,0,1)，
設(shè)平面SCD的一個法向量是n2=(x,y,z)，
則n2??SC=0n2?SD=0，令y=1，則x=2，z=?1．
∴n2=(2,1,?1)．
∴cs=n1?n2|n1||n2|= 3010，
由圖可知，二面角B?SC?D為鈍角，
故二面角B?SC?D的平面角的余弦值為? 3010．
19.(1)證明：取PA中點Q，連接NQ，MQ，

由N為PB中點，得NQ//AB，NQ=12AB，
依題意，MC/?/AB，MC=12AB，
則NQ//MC，NQ=MC，
于是四邊形CMQN是平行四邊形，則CN//MQ，
而MQ?平面PAM，NC?平面PAM，
所以NC//平面PAM；
(2)解：取AM中點G，連接PG，由PM=PA=1，得PG⊥AM，
而平面PAM⊥平面ABCD，平面PAM∩平面ABCD=AM，PG?平面PAM，
則PG⊥平面ABCD，
過M作Mz//PG，則Mz⊥平面ABCD，
又MA，MB?平面ABCD，于是Mz⊥MA，Mz⊥MB，
在矩形ABCD中，MA=MB= 2，MA2+MB2=4=AB2，則MA⊥MB，
以點M為原點，MA，MB，Mz所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，

則M(0,0,0)，B(0, 2,0)，C(? 22, 22,0)，P( 22,0, 22)，
則MB=(0, 2,0)，MP=( 22,0, 22)，BC=(? 22,? 22,0)，
設(shè)平面PMB的一個法向量為m=(a,b,c)，
則m?MB= 2b=0m?MP= 22a+ 22c=0，令a=1，得m=(1,0,?1)，
設(shè)直線BC與平面PMB所成的角為θ，則sinθ=|cs|=|m?BC||m||BC|= 22 2×1=12，
所以直線BC與平面PMB所成角的大小為π6；
(3)解：連接DG，由DA=DM，得DG⊥AM，
而PG⊥AM，則∠PGD為P?AM?D的平面角，即∠PGD=θ，
過點D作Dz⊥平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點，
DA，DC，Dz所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，M(0,1,0)，C(0,2,0)，
顯然AM⊥平面PGD，AM?平面ABCD，則平面PGD⊥平面ABCD，
在平面PGD內(nèi)過P作PH⊥DG于點H，則PH⊥平面ABCM，
設(shè)P(x0,y0,z0)，而PG= 22，
則PH= 2sinθ，GH= 22csθ，DH= 22(1?csθ)，
即x0=y0= 22(1?csθ)? 22=12(1?csθ)，z0= 22sinθ，
所以P(12(1?csθ),12(1?csθ), 22sinθ)，
于是AM=(?1,1,0)，PA=(1+csθ2,csθ?12,? 22sinθ)，
設(shè)平面PAM的一個法向量為n1=(x1,y1,z1)，
則?x1+y1=01+csθ2x1+csθ?12y1? 2sinθ2z1=0，令z1= 2，得n1=(tanθ,tanθ, 2)，
設(shè)平面PBC的一個法向量為n2=(x2,y2,z2)，
因為CB=(1,0,0)，PC=(csθ?12,csθ+32,? 22sinθ)，
則x2=0csθ?12x2+csθ?32y2? 2sinθ2z2=0，令y2= 2sinθ，得n2=(0, 2sinθ,3+csθ)，
設(shè)平面PAM和平面PBC的夾角為α，
則csα=|n1?n2||n1||n2|=| 2sin2θcsθ+3 2+ 2csθ| (2tan2θ+2)(sin2θ+6csθ+10)=|3csθ+1| 11?cs2θ+6csθ
=3|csθ+13| ?(csθ+13)2+203(csθ+13)+809=3 809(csθ+13)2+203(csθ+13)?1，
令t=1csθ+13,θ∈(0,π2]，則t∈(2,3]，
即csα=9 80t2+60t?9，則當(dāng)t=3時，csα有最小值 1111，
所以平面PAM和平面PBC夾角余弦值的最小值為 1111．

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