吉林省洮北區(qū)九校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中測(cè)數(shù)學(xué)試卷[解析版]

這是一份吉林省洮北區(qū)九校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中測(cè)數(shù)學(xué)試卷[解析版]，共11頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. “，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】“，”的否定是“，”.
故選：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由不能推出，但由必有，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3. 已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】由，，則，
即中元素的個(gè)數(shù)為.
故選：C.
4. 若函數(shù)，且，則（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】，.
故選：B.
5. 若一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值集合為（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】依題意，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，
所以，解得，
所以的取值集合為.
故選：A.
6. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，則，
而，易知，
所以，且，
所以.
故選：A.
7. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，
由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D.
8. 已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，恒成立，則函數(shù)的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題設(shè)在定義域上遞增，所以，
而在上遞增，故其值域是.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知集合或，，且是的真子集，則的取值可能為（ ）
A. 3B. C. 3.5D. 6
【答案】BCD
【解析】因是的真子集，
若，則，解得，符合題意；
若，則，解得，
故需使或，解得或；
綜上所述：或.
故選：BCD.
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若是奇函數(shù)，則必有且
B. 函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減
C. 是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，
D. 若在R上是增函數(shù)，且，，則
【答案】CD
【解析】對(duì)于A，當(dāng)且時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>又，則是奇函數(shù)，
所以當(dāng)奇函數(shù)時(shí)，不一定有，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，對(duì)于，，，
則，所以在不單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，?br>則，即，則，
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，，
則，故D正確.
故選：CD.
11. 已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的值可以為（ ）
A. B. 7C. D. 5
【答案】AB
【解析】令，
由題意，且，
得，且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
由，解得，此時(shí)，故A正確；
由，故CD錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，由方程組，又，解得，故B正確.
故選：AB.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開_____．
【答案】
【解析】由題可得，解得且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
13. 已知甲地下停車庫(kù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：（1）停車不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)；（2）超過(guò)1小時(shí)且不超過(guò)3小時(shí)，收費(fèi)5元；（3）超過(guò)3小時(shí)且不超過(guò)6小時(shí)，收費(fèi)10元；（4）超過(guò)6小時(shí)且不超過(guò)9小時(shí)，收費(fèi)15元；（5）超過(guò)9小時(shí)且不超過(guò)12小時(shí)，收費(fèi)18元；（6）超過(guò)12小時(shí)且不超過(guò)24小時(shí)，收費(fèi)24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫(kù)，若他在當(dāng)天18：30將車開出車庫(kù)，則他需交的停車費(fèi)為______．乙地下停車庫(kù)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每小時(shí)2元，不到1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)費(fèi)．若小林將車停入乙車庫(kù)（停車時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)24小時(shí)），要使得車停在乙車庫(kù)比甲車庫(kù)更優(yōu)惠，則小林停車時(shí)長(zhǎng)的最大值為______．
【答案】15 7
【解析】小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫(kù)，在當(dāng)天18：30將車開出車庫(kù)，
則停車時(shí)長(zhǎng)為8小時(shí)8分鐘，滿足超過(guò)6小時(shí)且不超過(guò)9小時(shí)，所以需交停車費(fèi)15元；
設(shè)小林的停車時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，則在乙車庫(kù)需交停車費(fèi)為元，
根據(jù)題意知當(dāng)停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)9小時(shí)后，乙車庫(kù)停車比甲車庫(kù)停車更貴，
當(dāng)停車時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)且不超過(guò)9小時(shí)，要使得乙車庫(kù)停車比甲車庫(kù)停車更優(yōu)惠，
則，解得，
所以小林的停車時(shí)長(zhǎng)最大值為7小時(shí).
14. 已知函數(shù)，，，.對(duì)于任意的，存在，使得，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以?br>又對(duì)于任意的，存在，使得，則，
又，，
當(dāng)時(shí)，，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，所以，解得，
綜上，的取值范圍是，
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為3，寫出的一個(gè)值.
解：（1），
當(dāng)時(shí)，，故.
（2），，
因?yàn)橹姓麛?shù)元素的個(gè)數(shù)為3，故的整數(shù)為，
故，故.
所以的一個(gè)值可以為（答案不唯一）.
16. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求的解析式.
（2）設(shè)函數(shù).
①判斷的奇偶性；
②判斷在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.
解：（1）依題意，設(shè)冪函數(shù)，則，解得，
所以.
（2）①為奇函數(shù)，理由如下：由（1）得，，
則其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，所以函數(shù)為奇函數(shù)；
②在上單調(diào)遞減，證明如下：
任取，且，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
17. 已知，．
（1）比較與的大小；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求的取值范圍．
解：（1），
∴a2+a-2ab-b2=a-b2+a>0，
.
（2），
由，得，
即，解得或（舍去），
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為49.
（3）設(shè)函數(shù)，，任取，且，
則，
，且，，，
，即，所以函數(shù)是上的增函數(shù).
，
由，，.
所以的取值范圍為.
18. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）討論函數(shù)最小值.
解：（1）因?yàn)椋?br>令，則，
又，有，故.
（2）令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
即，得，
令，有，
令，有，則，
聯(lián)立，解得，
所以.
（3）由（2）得，，
其圖象開口向上，對(duì)稱軸為，又，
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；
當(dāng)，即時(shí)，
.
19. 笛卡爾積是集合論中的一個(gè)基本概念，由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾首次引入.笛卡爾積在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用.對(duì)于非空數(shù)集，定義且，將稱為“與的笛卡爾積”.
（1）若，，求.
（2）若集合是有限集，將的元素個(gè)數(shù)記為.已知是非空有限數(shù)集，，且對(duì)任意的集合恒成立，求的取值范圍，并指明當(dāng)取到最值時(shí)，和滿足的關(guān)系式及應(yīng)滿足的條件.
解：（1）因，，
則，
，
故.
（2）設(shè)，
則（*），，
則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
因?qū)θ我饧虾愠闪?，故得，即?br>當(dāng)時(shí)，，即，
則由（*）可得，則，故