一?選擇題
1. 已知，則的虛部為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
則，所以的虛部為1.
故選：A
2. 若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意知，
故，
又由圓的一般方程，
可得，即，
即或，
所以實數(shù)的范圍為.
故選：C.
3. 化簡（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】.
故選：B.
4. 隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多商場都在搞“”促銷活動.市物價局派人對某商品同一天的銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價（單位：元）和銷售量（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)：
用最小二乘法求得與之間的經(jīng)驗回歸方程是，當(dāng)售價為45元時，預(yù)測該商品的銷售量件數(shù)大約為（ ）（單位：百件）
A. 11.2B. 11.75C. 12D. 12.2
【答案】D
【解析】因為，，
所以回歸直線過點，故，解得，
所以，將代入中，得，
即當(dāng)售價為45元時，該商品的銷售量件數(shù)大約為百件.
故選：D.
5. 在的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】相當(dāng)于6個因式相乘，其中一個因式取，有種取法，
余下5個因式中有2個取，有種取法，最后3個因式中全部取，有種取法，故展開式中的系數(shù)為.
故選：A.
6. 若，則下列大小關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可得，所以；
因為，所以，
又因為，所以，即，所以.
故選：B.
7. 已知四面體滿足，則點到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為四面體滿足，
可得，
設(shè)平面的一個法向量，
則，
令，解得，
所以，
所以，
設(shè)點到平面的距離為，則.
故選：D.
8. 若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，
所以．
令，定義域為，
令，易知在上單調(diào)遞增，且．
所以，
則函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個交點．
則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
則，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：D．
二?多選題
9. 已知實數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因為，所以的符號不確定，
由不等式的性質(zhì)知成立，但不一定成立，
故A正確，B錯誤；
因，故C正確；
因為，所以，所以，故D錯誤.
故選：AC.
10. 已知為拋物線的焦點，直線過且與交于兩點，為坐標(biāo)原點，為上一點，且，則（ ）
A. 過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條
B. 當(dāng)?shù)拿娣e為時，
C. 為鈍角三角形
D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】如圖①所示，因為，所以，解得，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
對于A，因為，當(dāng)時，，故點在拋物線的外部，
所以與僅有一個公共點的直線有3條，故A正確；
對于B，由拋物線的方程可知，焦點，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去，
整理得，所以，
又，所以
，
解得，則，
則，故B錯誤；
對于C，由選項B可知，
所以，故為鈍角，
所以為鈍角三角形，故C正確；
對于D，由選項B可知，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D正確.
故選：ACD.
圖①
11. 已知是定義在上的單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不斷的函數(shù),若，恒有成立，設(shè)，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】對于選項A：令，得，即，
因為在上單調(diào)遞增，可知不恒等于，所以，故A正確；
對于選項B：若存在使得，
令，得，則恒等于1，
這與單調(diào)遞增矛盾，故，故B錯誤；
對于選項CD：若存在，使得，因為的圖象連續(xù)不斷，，
故存在，使得，與上述矛盾，
故，可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又因為單調(diào)遞增，故不取等號，即，
令時，可得，則，
當(dāng)時，令，則，
因為單調(diào)遞減且，可知單調(diào)遞增，
所以，又因為，則，
且在上單調(diào)遞增，
因為，
可知，所以，故C錯誤，D正確.故選：AD.
三?填空題
12. 已知集合，若，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】由題意知，又且，故，即的取值范圍為.故答案為：.
13. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為______．

【答案】
【解析】由的部分圖象，可得．
由圖可知點在的圖象上，則，，
由五點作圖法可得，，解得，則．
將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到的圖象，
再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象．
作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，

由根據(jù)函數(shù)的圖象知：
當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，
即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根．
故答案為：
14. 已知為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率為__________.
【答案】
【解析】由及，
得，，
又，則，設(shè)，
在中，由余弦定理得，，
在中，由余弦定理得，，
于是，且，
整理得，且，因此，
所以的離心率為.
故答案為：

四?解答題
15. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，記，求．
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
即，則，
則數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由，
得且，解得，所以．
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得：
，
所以．
16. 由教育部?體育總局?共青團(tuán)中央共同主辦，廣西壯族自治區(qū)人民政府承辦的中華人民共和國第一屆學(xué)生（青年）運動會于2023年11月5日至15日在廣西壯族自治區(qū)舉辦，這是全國青年運動會和全國學(xué)生運動會合并后的首屆賽事.來自全國各地的學(xué)生青年運動健兒們共赴青春之約，在八桂大地?fù)]灑汗水寫就華章.青運會結(jié)束后，某學(xué)校組織學(xué)生參加與本屆青運會有關(guān)的知識競賽，為了解該校學(xué)生對本屆青運會有關(guān)賽事知識的掌握情況，采用隨機抽樣的方法抽取600名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，成績?nèi)糠植荚?0~100分之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求頻率分布直方圖中的值；
（2）估計這600名學(xué)生成績的中位數(shù)；
（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這次競賽成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表），，試用正態(tài)分布知識解決下列問題：
①若這次競賽共有2.8萬名學(xué)生參加，試估計競賽成績超過86.8分的人數(shù)（結(jié)果精確到個位）；
②現(xiàn)從所有參賽的學(xué)生中隨機抽取10人進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成績超過77.8分的人數(shù)為，求隨機變量的期望和方差.
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.
解：（1）由頻率分布直方圖中條形圖的面積所表示的頻率之和為1得：
，
解得.
（2）由頻率分布直方圖，因為前4組的頻率為，
所以估計600名學(xué)生成績的中位數(shù)為80.
（3）①由頻率分布直方圖，可利用區(qū)間中點值和頻率來估計平均數(shù)，即，
所以，則，
題意中是把這個2.8萬人看成一個總體，這里面每個人的成績分布是服從正態(tài)分布，
為了便于計算，我們又可以把這個事件看成伯努利事件，每個人的成績超過86.8分的概率約是，
所以，此時，
即估計競賽成績超過86.8分的人數(shù)約為4442人.
②由①得，則，由于是從所有參賽的學(xué)生中隨機抽取10人，
所以我們把這個事件看作伯努利事件，即隨機變量，
所以.
17. 如圖，在三棱柱中，是邊長為2等邊三角形，四邊形為菱形，，三棱柱的體積為3．

（1）證明：平面平面；
（2）若為棱的中點，求平面與平面的夾角的正切值．
（1）證明：取中點，連接，
因為，所以為等邊三角形，
因為為中點，所以，，
因為三棱柱的體積為3，設(shè)到平面的距離為，
所以，所以，則平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：連接，由（1）知平面，又平面，
所以，
因為為的中點，，所以，且，
所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，
軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），
則，，
因為，所以，
因為為中點，所以，
則，
設(shè)平面的一個法向量，則，即，
令，解得，故，
設(shè)平面的一個法向量，則，即，
令，解得，故，
設(shè)平面與平面的夾角為，
所以，
所以，所以．

18. 已知雙曲線一個焦點到漸近線的距離為，且離心率為2．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)分別是雙曲線左、右兩支上的動點，為雙曲線的左頂點，若直線的斜率分別為，且，求直線的方程．
解：（1）由題知雙曲線的漸近線方程為，
不妨設(shè)，則焦點到漸近線的距離，
的離心率為，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）可得，
當(dāng)直線的傾斜角為零時，由，得直線的方程為，
代入雙曲線方程可得，不妨令，，
則，不符合題意，則直線的傾斜角不為零，
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，消去整理得，
，，，
．，，
，，
，
，
，
即，
，
，
或．
當(dāng)時，，不符合題意，．
，，
，
解得，故直線的方程為．
綜上，直線的方程為或．

19. 若函數(shù)與在區(qū)間上恒有，則稱函數(shù)為和在區(qū)間上的隔離函數(shù).
（1）若，判斷是否為和在區(qū)間上的隔離函數(shù)，并說明理由；
（2）若，且在上恒成立，求的值；
（3）若，證明：是為和在上的隔離函數(shù)的必要條件.
（1）解：是和在區(qū)間上的隔離函數(shù).
因為，
所以，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
當(dāng)時，在上取到最小值0，故.
又，所以.
綜上，是和在區(qū)間上的隔離函數(shù).
（2）解：設(shè)，則，
因為，則是的極小值點，也是最小值點，
所以，即.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以，即恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
故.
（3）證明：設(shè)，
由（2）得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以存在使得，即，則，
又，則，
由隔離函數(shù)定義可得，所以，
設(shè)，
則，
又，則是的極小值點，
所以，即，
結(jié)合，得，故，
所以是為和在上的隔離函數(shù)的必要條件.
20
25
30
35
40
5
7
8
9
11

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