一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 1B. -3C. -2D. -1
【答案】B
【解析】，因?yàn)?，所以?br>即，解得.
故選：B.
2. 在，，0，，，0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為零，虛部不為零，
故，是純虛數(shù)，共個(gè).
故選：C.
3. 已知向量、的夾角為60°，，若，則=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意得：
，所以=．
故選：D.
4. 已知向量，，，則等于（ ）
A. 3B. 4C. 15D. 21
【答案】D
【解析】因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)椋?，解得，則，
所以.
故選：D.
5. 在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，點(diǎn)O到平面ABD的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知當(dāng)平面平面時(shí)四面體的體積最大時(shí)，
因?yàn)闉檎切?，，?br>所以，則，
當(dāng)平面平面時(shí)，
取線段中點(diǎn)，則點(diǎn)為直角三角形的外心，
連接，則易知平面，
所以四面體外接球球心在上，
因?yàn)闉檎切危?br>所以四面體外接球球心即為的中心，
則，
設(shè)點(diǎn)到面的距離為，點(diǎn)到面的距離為，
由得，
因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2，所以，
，
中，，
所以，
則，
所以點(diǎn)到面的距離為.
故選：C.
6. 已知為平面外一點(diǎn)，到兩邊的距離都為，則到面的距離（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，為平面外一點(diǎn)，，
點(diǎn)到兩邊，的距離均為，
過點(diǎn)作，交于，作，交于，
過作平面，交平面于，
連接，，則，故，
所以，
又，
，
到平面的距離為．
故選：B．
7. 數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長(zhǎng)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 勒洛四面體最大的截面是正三角形
B. 若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為
C. 勒洛四面體的體積是
D. 勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是
【答案】D
【解析】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，
如圖1所示，故A不正確；
根據(jù)勒洛四面體的性質(zhì)，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，
所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即為內(nèi)接正四面體的邊長(zhǎng)，
所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為，故B錯(cuò)誤；
如圖2，由對(duì)稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，
連接并延長(zhǎng)交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑，
如圖3， 在正四面體中，為的中心，是正四面體外接球的球心，
連接、、，由正四面體的性質(zhì)可知在上，
因?yàn)?，所以，則.
因?yàn)椋?br>即，解得，
則正四面體外接球的體積是，
而勒洛四面體的體積小于其外接球的體積，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>所以，勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是，則D正確.
故選：D.
8. 在中，為上一點(diǎn)，且，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】法一：相似轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系，
如圖所示，在和中，有，
故，設(shè)，則，，所以，
設(shè)則根據(jù)相似比：得，
又，由余弦定理可得：，
則，，故.
法二：正弦定理邊化角，
設(shè)，則，
在和中，有，由正弦定理有：，
兩式相除得：，
由三角恒等變換公式得：，
由弦化切，構(gòu)造齊次式得：，
即，解之得：或，
在中，則，故.
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.
9. 下列命題中，真命題（ ）
A. 復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是
B. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
C. 復(fù)數(shù)虛部為
D. 復(fù)數(shù)，則
【答案】BCD
【解析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)充要條件是，故A錯(cuò)；
復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的虛部為，故B，C對(duì)；
復(fù)數(shù)，則，，故D對(duì).
故選：BCD.
10. 已知，，是平面上三個(gè)非零向量，下列說法正確的是（ ）
A. 一定存在實(shí)數(shù)，使得成立
B. 若，那么一定有
C. 若，那么
D. 若，那么，，一定相互平行
【答案】BC
【解析】只有當(dāng)，不是共線向量時(shí)，一定存在實(shí)數(shù)，使得成立，
因此選項(xiàng)A不正確；
由，因此選項(xiàng)B正確；
由，
，
所以選項(xiàng)C正確；
當(dāng)時(shí)，顯然成立，但是，，不一定互相平行，
因此選項(xiàng)D不正確.
故選：BC.
11. 在菱形中，，，將菱形沿對(duì)角線折成大小為的二面角，若折成的四面體內(nèi)接于球，則下列說法正確的是（ ）
A. 四面體的體積的最大值是
B. 的取值范圍是
C. 四面體的表面積的最大值是
D. 當(dāng)時(shí)，球的體積為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，則為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，則，同理可知，為等邊三角形，所以，，
且，，
所以，二面角的平面角為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即四面體的體積的最大值是，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由余弦定理可得，
所以，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
，，，
所以，，
因此，四面體的表面積的最大值是，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)、分別為、的外心，則，
在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線與過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，
，，，平面，
平面，，
，，平面，同理可得平面，
則為四面體的外接球球心，
連接，，，，，
所以，，，
平面，平面，，
，即球的半徑為，
因此，球的體積為，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 復(fù)數(shù)的模是_____________.
【答案】3
【解析】復(fù)數(shù)是三角形式，故的模是3.
故答案為：3.
13. 在60°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到二面角的棱的距離是10，則該點(diǎn)到另一個(gè)面的距離是______.
【答案】
【解析】如圖所示，為二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，
是它到另一個(gè)面的距離，是它到棱的距離為10，
又 ∴ 面 得出
所以為二面角的平面角，，
在中，.
故答案為：.
14. 已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】設(shè)，如圖作平行四邊形，
則，令，
由于恒成立，即恒成立，
在中，，
，
，
由于恒成立，故，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，角的對(duì)邊分別為已知.
（1）求角的大??；
（2）若，求的面積；
（3）若為BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng).
解：（1），
，
即，
由正弦定理得，由余弦定理得，
.
（2），
由余弦定理得，
.
（3）在中，由余弦定理得，
即，又，得，
為BC的中點(diǎn)，，
兩邊平方得，，
即中線AD的長(zhǎng)度為.
16. 設(shè)復(fù)數(shù)．
（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，求；
（2）若是純虛數(shù)，求.
解：（1）由，得，
而由已知是實(shí)數(shù)，
于是，解得，
所以.
（2）依題意，是純虛數(shù)，
因此，解得，
所以，.
17. 已知正方體中，，點(diǎn)M，N分別是線段，的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M到平面的距離；
（2）判斷，M，B，N四點(diǎn)是否共面，若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．
解：（1）記點(diǎn)M到平面的距離為h，
易知為正三角形，且，所以，
又，
所以，
因?yàn)椋?，即?br>解得，即點(diǎn)M到平面的距離為.
（2），M，B，N四點(diǎn)共面，證明如下：連接，
因?yàn)镸，N分別是線段，的中點(diǎn)，所以，
由正方體性質(zhì)可知，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
所以，M，B，N四點(diǎn)共面.
18. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．
（1）設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：平面；
（2）若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．
解：（1）連接交于，連接，
因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，又為中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，過點(diǎn)作射線，
因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以?br>所以為二面角的平面角，且，
又，平面，所以平面，
在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，連接，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，又，平面，平面，
所以平面，
則即為直線和平面所成的角，
于是為點(diǎn)到平面的距離，且，
設(shè)直線和平面所成角為，又，
則，
所以直線和平面所成角的正弦值為．
19. 個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個(gè)維向量，其中，2，，稱為該向量的第個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，，，稱為維信號(hào)向量．設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且．
（1）直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量．
（2）證明：不存在6個(gè)兩兩垂直的6維信號(hào)向量．
（3）已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量，，，滿足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：．
解：（1）依題意，可寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量為：
，，，．
（2）假設(shè)存在6個(gè)兩兩垂直的6維信號(hào)向量，
因?yàn)閷⑦@6個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位置，
任意兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，
所以不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以?個(gè)分量為，
設(shè)的前3個(gè)分量中有個(gè)，則后3個(gè)分量中有個(gè)，，
則，
，則，矛盾，
所以不存在6個(gè)兩兩垂直的6維信號(hào)向量．
（3）任取，計(jì)算內(nèi)積，
將所有這些內(nèi)積求和得到，則，
設(shè)的第個(gè)分量之和為，
則從每個(gè)分量的角度考慮，每個(gè)分量為的貢獻(xiàn)為，
所以，
則，所以，故.

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