一、選擇題
1．設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
2．已知，，，則下列判斷正確的是( )
A.B.C.D.
3．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為( )
A.B.C.D.1
4．基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率與，近似滿足，有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出，.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為( )
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
5．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則a的最小值為( )
A.B.eC.D.
7．已知函數(shù)的定義域為R，，且當時，，則下列結(jié)論中一定正確的是( )
A.B.C.D.
8．若過點可以作曲線的兩條切線，則( )
A.B.C.D.
9．設(shè)函數(shù)的定義域為R，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則( )
A.B.C.D.
10．設(shè)函數(shù),,當時,曲線與恰有一個交點,則( )
A.-1B.C.1D.2
二、多項選擇題
11．已知函數(shù)的定義域為R，，則( )
A.B.
C.是偶函數(shù)D.為的極小值點
12．噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則( )
A.B.C.D.
13．設(shè)函數(shù)，則( )
A.是的極小值點B.當時，
C.當時，D.當時，
14．設(shè)函數(shù)，則( )
A.當時，有三個零點
B.當時，是的極大值點
C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D.存在a，使得點為曲線的對稱中心
三、填空題
15．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則____________.
16．函數(shù)的最小值為________.
17．若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則___________.
18．已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則的取值范圍是___________.
四、解答題
19．已知函數(shù).
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.
20．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，.
21．已知函數(shù).
（1）當時，討論的單調(diào)性；
（2）當時，，求a的取值范圍；
（3）設(shè)，證明：.
22．已知函數(shù).
（1）若，且，求a的最小值；
（2）證明：曲線是中心對稱圖形；
（3）若當且僅當，求b的取值范圍.
23．已知函數(shù)和有相同的最小值.
（1）求a；
（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.
參考答案
1．答案：D
解析：由題意得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.故選D.
2．答案：C
解析：，即.
故選：C.
3．答案：C
解析：由及，單調(diào)遞增，可得與同正、同負或同為零，所以當時，，即，所以，則，故選C.
4．答案：B
解析：，，.
若則，，，選B.
5．答案：B
解析：因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選B.
6．答案：C
解析：法一：，由在區(qū)間單調(diào)遞增可知，當時，恒成立.當時，，不符合題意.當時，設(shè)，則，則在單調(diào)遞增，所以只需，解得，故選C.
法二：由題意可知在區(qū)間上恒成立，即，.設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，即，故選C.
7．答案：B
解析：因為當時，，所以，.對于，令，得；令，得；依次類推，得；；；；；；；；；；；….顯然，所以，故選B.
8．答案：D
解析：設(shè)，則.過點可以作曲線的兩條切線，設(shè)切點，則，所以切線方程為.
將代入切線方程，得，即.因為過點可以作兩條切線，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根.設(shè)，，則函數(shù)與的圖象有兩個交點.因為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以.又當時，，當時，，所以要使兩函數(shù)的圖象存在兩個交點，則.綜上所述，.故選D.
9．答案：B
解析：因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，則，即，所以，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.又，則，所以，所以.又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故選B.
10．答案：D
解析：解法一：令,即,可得,
令,,
原題意等價于當時,曲線與恰有一個交點,
注意到,均為偶函數(shù),可知該交點只能在y軸上,
可得,即,解得,
若,令,可得
因為,則,當且僅當時,等號成立,
可得,當且僅當時,等號成立,
則方程有且僅有一個實根0,即曲線與恰有一個交點,
所以符合題意;
綜上所述：.
解法二：令,
原題意等價于有且僅有一個零點,
因為,
則為偶函數(shù),
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0,
即,解得,
若,則,,
又因為,當且僅當時,等號成立,
可得,當且僅當時,等號成立,
即有且僅有一個零點0,所以符合題意;
故選：D.
11．答案：ABC
解析：取，則，故A正確；取，則，所以，故B正確；取，則，所以，取，則，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確；由于，且函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以可能為函數(shù)的極小值點，也可能為函數(shù)的極大值點，也可能不是函數(shù)的極值點，故D不正確.故選ABC.
12．答案：ACD
解析：因為隨著p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正確；由，得，因為，所以，故C正確；假設(shè)，則，所以，所以，不可能成立，故B不正確；因為，所以，故D正確.
13．答案：ACD
解析：因為，所以，令，解得或，當或時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，故是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，所以A正確.
當時，，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以B錯誤.
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以C正確.
當時，，所以，所以D正確.
綜上，選ACD.
14．答案：AD
解析：由題可知，.
對于A，當時，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，，，當時，，故有三個零點，A正確；對于B，當時，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，B錯誤；
對于C，當時，，當時，，故曲線必不存在對稱軸，C錯誤；
對于D，解法一：，令，則可轉(zhuǎn)化為，由為奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于原點對稱，可知的圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，故存在，使得點為曲線的對稱中心，D正確.故選AD.
解法二：任意三次函數(shù)的圖象均關(guān)于點成中心對稱，D正確.故選AD.
15．答案：1
解析：本題考查函數(shù)的奇偶性.因為為偶函數(shù)，所以，所以，由得.
16．答案：1
解析：本題考查分段函數(shù)的概念與單調(diào)性.因為所以當時，單調(diào)遞減，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.又因為，所以當時，取得最小值1.
17．答案：
解析：由題，令，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為.令，則，設(shè)直線與曲線相切于點，則，得，則，所以，所以.
18．答案：
解析：當時，，；當時，，.因為函數(shù)的圖象在點A，B處的兩條切線互相垂直，所以，即，所以.因為，，所以函數(shù)的圖象在點A，B處的切線方程分別為，，分別令，得，，所以，，所以.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.又當時，，，所以當時，，所以，所以的取值范圍是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時，，則，
則.
，所以切點坐標為，
所以切線方程為，即.
（2）易知函數(shù)的定義域為R，.
當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值；
當時，由，得，由，得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的極小值為.
由題意知，等價于.
法一：令，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，故當時，；當時，.
故實數(shù)a的取值范圍為.
法二：由，得.
如圖為函數(shù)與在區(qū)間上的大致圖象，
由圖易知當時，，即.
所以實數(shù)a的取值范圍為.
20．答案：(1)當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
(2)證明見解析
解析：(1)，
當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，令，得，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上可得：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)由(1)得當時，函數(shù)的最小值為，
令，，
所以，令，得；令，得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
所以當時，成立.
21．答案：（1）當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增
（2）
（3）證明見解析
解析：（1）當時，，所以.
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
（2）令，則對恒成立等價于對恒成立.
因為，所以.
令，則，則.
①若，即，則，
所以，使得當時，有，即，
所以單調(diào)遞增，所以，矛盾.
②若，即，
則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意.
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.
（3）證明：令，，則.
所以在上單調(diào)遞增.所以，即.
令，則，
所以，即，
所以
.
故.
22．答案：（1）-2
（2）證明見解析
（3）
解析：（1）的定義域為，
若，則，，
當時，，，則，
故a的最小值為-2.
（2）
，
故曲線關(guān)于點中心對稱.
（3）由題知，
此時，
.
記，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
當時，，，在上單調(diào)遞增，
又，故符合題意.
當時，，，
令，得，
因為，所以，故，，
所以當時，，，在上單調(diào)遞減，故，不符合題意.
綜上，b的取值范圍為.
23.
（1）答案：
解析：的定義域為R，的定義域為.
，.
①當時，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，即沒有最小值，不符合題意.
②當時，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在時取得極小值，即為最小值，最小值為.
在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在時取得極小值，即為最小值，最小值為.
因為和有相同的最小值，
所以，即.
因為，所以上式等價于.
令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增.
又因為且，所以.
（2）答案：證明見解析
解析：證明：由（1）知，.
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，且；
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，且.
所以曲線，的大致形狀如圖所示.
設(shè)直線與曲線，三個交點的橫坐標分別為，，，
所以，，，且，
，
所以，即.
又，，所以，，①
且，即.②
由①②得，
所以存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.
聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10
混合動力汽車
10
電動汽車
10
40

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