第I卷（選擇題）
一、選擇題
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
故，
故選：D
2. 已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】D
【解析】若，，則可能平行，異面或者相交，故A錯(cuò)誤；
若，，則與可能平行，可能相交，也可能，故B錯(cuò)誤；
若，，則與可能平行，也可能，故C錯(cuò)誤；
若，，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故D正確；
故選：D
3. 已知函數(shù)，其中，，其中，則圖象如圖所示的函數(shù)可能是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】易知是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的是奇函數(shù)，
A. ，定義域?yàn)镽，
又，所以是奇函數(shù)，符合題意，故正確；
B. ，，不符合圖象，故錯(cuò)誤；
C. ，定義域?yàn)镽，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；
D. ，定義域?yàn)镽，
但，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，
故選：A
4. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則數(shù)列的公比為（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題設(shè)得
，
解得．
故選：C．
5. 若的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為10，則的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為
，
解得或（舍），
故選：B.
6. 已知復(fù)數(shù)滿足，，則（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，，且，
由已知得，，得，
又，
故，，
同時(shí)平方得，，
相加并化簡(jiǎn)得，
而，
.故選：D.
7. 已知正數(shù)，，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，即，所以，
令，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
所以，所以，
則有，所以；
由得，即，
所以，
因?yàn)?，所以，即，故?br>故選：A.
8. 已知函數(shù)在上單調(diào)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值個(gè)數(shù)是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由題意得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，
故，則，
即，
由函數(shù)在上單調(diào)，
得，即，即，
解得，而，故或1，或2，
當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，
則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，
則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，由于在上不單調(diào)，
故在上不單調(diào)，此時(shí)不合題意；
當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，
則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，滿足題意；
綜上，或.
故選：B
二、選擇題
9. 美國(guó)數(shù)學(xué)史家、穆倫堡學(xué)院名譽(yù)數(shù)學(xué)教授威廉?鄧納姆在1994年出版TheMathematical
Universe一書中寫道：“相比之下，數(shù)學(xué)家達(dá)到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個(gè)極好的令人信服的圖示就傳達(dá)了證明，甚至不需要任何解釋．很難比它更優(yōu)雅了．”如圖所示正是數(shù)學(xué)家所達(dá)到的“終極優(yōu)雅”，該圖（為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導(dǎo)出的正確選項(xiàng)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】如圖，
對(duì)于A，在中，，，又，
則，，
在中，可求得，
所以，故A正確；
對(duì)于B， ，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在中，因?yàn)?，，則，故C正確；
對(duì)于D，，
，
所以，故D正確.故選：ACD.
10. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，分別以線段，為直徑作圓，圓，線段與圓相交于點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A.
B.
C. 點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)
D. 圓與圓有一條公切線的傾斜角為
【答案】BCD
【解析】的方程可化為，可得，，．
由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，A錯(cuò)誤．
由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，
則，B正確．
設(shè)點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)，連接，由軸，
可得，為的中位線，則直線平分線段，
則點(diǎn)必在軸上，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，C正確．
如圖，若為圓與圓的一條公切線，，為切點(diǎn)，
連接，，過點(diǎn)作，垂足為．
由，，
得，
可得，由軸，且，可得公切線的傾斜角為，D正確．
故選：BCD
11. 在正四面體中，，分別為棱和（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，直線與平面，平面所成角分別為，，則（ ）
A. 的正負(fù)與點(diǎn)，位置都有關(guān)系
B. 的正負(fù)由點(diǎn)位置確定，與點(diǎn)位置無關(guān)
C. 的最大值為
D. 的最小值為
【答案】BD
【解析】取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)分別作，
垂足分別為，如圖所示，
在正四面體中，均為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
又因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)?，，平面，所以平?
所以直線與平面所成的角為，即，
同理可得，所以的正負(fù)只由點(diǎn)位置確定，與點(diǎn)位置無關(guān)，
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
設(shè)，則，且,
在中，，
由余弦定理可得：，
所以，
所以，
則，
將正四面體補(bǔ)成正方體，如圖所示：
連接，在線段上取點(diǎn)，使得，
因?yàn)榍遥?br>所以四邊形為平行四邊形，所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>所以平行四邊形為矩形，則，
因?yàn)榍遥运倪呅螢榫匦危?br>則，且.
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?br>所以，且，
則，
所以，
則，
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.
故選：BD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題
12. 設(shè)為平面向量.若為單位向量，與的夾角為，則與的數(shù)量積為___________.
【答案】
【解析】,,,
,
故答案：
13. 從中任意選1個(gè)數(shù)字，從中任意選2個(gè)數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).在所組成的三位數(shù)中任選一個(gè)，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為__________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知：若從中任意選1個(gè)不為0的數(shù)字有種選法，
從中任意選2個(gè)數(shù)字有種選法，
由選出的3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有！種組法，共種方法，
其中偶數(shù)有個(gè)；
若從中選0，再?gòu)闹腥我膺x2個(gè)數(shù)字有種選法，
由選出的3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有種組法，共種方法，
其中偶數(shù)有個(gè)；
所以該數(shù)為偶數(shù)的概率為.
故答案為：
14. 已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，取得最大值，則的值為_________.
【答案】21
【解析】不妨設(shè)數(shù)列的公差大于零，
由于，得，且時(shí)，，時(shí)，，
不妨取，則，
設(shè)，
若，則，此時(shí)式子取不了最大值；
若，則， 又時(shí)，，
因?yàn)?，此時(shí)式子取不了最大值；
因此這就說明必成立.
若，則，
這也就說明不成立，因此，
所以.
故答案為：.
四、解答題
15. 在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，的外接圓半徑為.
（1）求的面積；
（2）求邊上的高.
解：（1）在中，由正弦定理可得，，則，
根據(jù)余弦定理，得，
所以，所以，
所以
（2），所以.
16. 如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面與平面的交線為，在圓上.

（1）在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；
（2）若點(diǎn)滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
解：（1）過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，（ ，分別為，的中點(diǎn)，所以,又，所以,故為平面與平面的交線）
因?yàn)槭菆A的直徑，所以，，
所以，所以四邊形為矩形，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)槠矫妫瑸榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，
所以
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，
所以，，，
，
設(shè)平面的法向量為，則
即，不妨取，得
因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，
所以
所以，所以或
17. 已知橢圓：的離心率為，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，，且當(dāng)軸時(shí)，.
（1）求的方程
（2）記的左焦點(diǎn)為，若過，，三點(diǎn)的圓的圓心恰好在軸上，求直線的斜率.
解：（1）當(dāng)軸時(shí)，，
所以點(diǎn)在上，
依題意，解得，，，
所以的方程為.
（2）設(shè)圓心，，，，
顯然直線的斜率存在，設(shè)：，
由，得，
又，代入得到，
同理可得，
則，分別是方程的兩根，
由韋達(dá)定理可得.
又聯(lián)立：與，
得，，
所以，
所以
故，解得，故直線的斜率為.
18. 將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號(hào)，統(tǒng)計(jì)抽取到的每個(gè)區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量，得到數(shù)組.已知，，.
（1）求樣本的樣本相關(guān)系數(shù)；
（2）假設(shè)該植物的壽命為隨機(jī)變量（可取任意正整數(shù)），研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均為0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.
（i）求表達(dá)式；
（ii）推導(dǎo)該植物壽命期望的值（用表示，取遍），并求當(dāng)足夠大時(shí)，的值.
附：樣本相關(guān)系數(shù)；當(dāng)足夠大時(shí)，.
解：（1）由，，.
得樣本相關(guān)系數(shù)，.
（2）（i）依題意，，
又，
則，
當(dāng)時(shí)，把換成，
則，
兩式相減得，
即，
又，
所以對(duì)任意都成立，
從而是首項(xiàng)為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，所以.
（ii）由定義知，，
而，，
顯然，
于是，
兩式相減得
，
因此，
當(dāng)足夠大時(shí)，，
則，可認(rèn)為，
所以該植物壽命期望的值是10.
19. 帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到
（2）在（1）的條件下：
①求證：；
②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（1）解：由題可知函數(shù)在處的階帕德近似，
則，，，
由得，所以，
則，又由得，所以，
由得，所以，
所以.
（2）①證明：令，，
因?yàn)椋?br>所以在及上均單調(diào)遞減.
當(dāng)，，即，
而，所以，即，
當(dāng)，，即，
而，所以，即，
所以不等式恒成立；
②解：由得在上恒成立，
令，且，所以是的極大值點(diǎn)，
又，故，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，，則，故在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，
所以，又因?yàn)樵谏希?br>故當(dāng)時(shí)，，
綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立.

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