1．（4分）已知數(shù)列{an}中，an+1＝3an，a1＝2，則a4等于（ ）
A．18B．54C．36D．72
2．（4分）甲、乙兩人下棋，和棋的概率為50%．甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則乙不輸?shù)母怕蕿椋? ）
A．60%B．50%C．40%D．30%
3．（4分）已知空間向量＝（1，﹣1，0），＝（3，﹣2，1），則||＝（ ）
A．B．C．5D．
4．（4分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a5是a2，a14的等比中項，則數(shù)列{an}前7項和S7＝（ ）
A．13B．49C．26D．27﹣1
6．（4分）已知向量，若，則x+y＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．D．﹣8
7．（4分）已知，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2022的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨立的，則燈滅的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）數(shù)列{an}滿足，若．則a2022等于（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，，且a1a2+a2a3+…+anan+1＜k，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）
11．（5分）已知向量，若，則k的值為 ．
12．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝7，a4＝3，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則Sn的最大值為 ．
13．（5分）天氣預(yù)報說，在今后的三天中每一天下雨的概率均為40%，用隨機模擬的方法進行試驗，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用計算器中的隨機函數(shù)產(chǎn)生0?9之間隨機整數(shù)的20組如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通過以上隨機模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為 ．
14．（5分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知，則a8＝ ．
15．（5分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，，C1B1＝1，點P為線段B1C上一點，則的最小值為 ．
16．（5分）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折n（n∈N*）次，那么S1+S2+?+Sn＝ dm2．
三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（13分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知csinB＝bcsC．
（1）求C；
（2）若，，求△ABC的面積．
18．（13分）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，q＝3，n∈N*．
（1）求{an}的通項公式及前n項和Sn；
（2）已知{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a2，b3＝a1+a2+a3，Tn為其前n項和，求{bn}的公差d和T20．
19．（13分）2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運動會開幕式在北京國家體育場隆重舉行，本屆北京冬奧會的主題口號——“一起向未來”，某興趣小組制作了寫有“一”，“起”，“向”，“未”，“來”的五張卡片．（1）若采用不放回簡單隨機抽樣從中逐一抽取兩張卡片，寫出試驗的樣本空間；
（2）該興趣小組舉辦抽卡片送紀(jì)念品活動，有如下兩種方案：
方案一：活動參與者采用簡單隨機抽樣從五張卡片中任意抽取一張，若抽到“向”或“未”或“來”，則可獲得紀(jì)念品；
方案二：活動參與者采用不放回簡單隨機抽樣從五張卡片中逐一抽取兩張，若抽到“未”或“來”，則可獲得紀(jì)念品．
選擇哪種方案可以有更大機會獲得紀(jì)念品？說明理由．
20．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：PB⊥平面EFD．
21．（14分）某單位規(guī)定每位員工每年至少參加兩項專業(yè)技能測試，測試通過可獲得相應(yīng)學(xué)分，每年獲得的總學(xué)分不低于10分，該年度考核為合格．該單位員工甲今年可參加的專業(yè)技能測試有A、B、C、D四項，已知這四項專業(yè)技能測試的學(xué)分及員工甲通過各項專業(yè)技能測試的概率如表所示，且員工甲各項專業(yè)技能測試是否通過相互獨立．
（1）若員工甲參加A、B、C三項測試，求他本年度考核合格的概率：
（2）員工甲欲從A、B，C、D中選擇三項參加測試，若要使他本年度考核合格的概率不低于，應(yīng)如何選擇？請求出所有滿足條件的方案．
22．（13分）對于數(shù)列{an}，定義an*＝，設(shè){an*}的前n項和為Sn*．
（Ⅰ）設(shè)an＝，寫出a1*，a2*，a3*，a4*；
（Ⅱ）證明：“對任意n∈N*，有Sn*＝an+1﹣a1”的充要條件是“對任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝1”；
（Ⅲ）已知首項為0，項數(shù)為m+1（m≥2）的數(shù)列{an}滿足：
①對任意1≤n≤m且n∈N*，有an+1﹣an∈{﹣1，0，1}；
②Sm*＝am．
求所有滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)．
2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．（4分）已知數(shù)列{an}中，an+1＝3an，a1＝2，則a4等于（ ）
A．18B．54C．36D．72
【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
【解答】解：數(shù)列{an}中，an+1＝3an，a1＝2，
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q＝3．
則a4＝2×33＝54．
故選：B．
【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（4分）甲、乙兩人下棋，和棋的概率為50%．甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則乙不輸?shù)母怕蕿椋? ）
A．60%B．50%C．40%D．30%
【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式即可直接求解．
【解答】解：設(shè)A＝{甲獲勝}，B＝{甲不輸}，C＝{甲乙和棋}，則甲乙互斥且B＝A+C，
P（B）＝P（A+C）＝P（A）+P（C），
所以P（A）＝P（B）﹣P（C）＝90%﹣50%＝40%．
則乙不輸?shù)母怕蕿?﹣40%＝60%．
故選：A．
【點評】本題主要考查互斥事件的概率公式的求解，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）已知空間向量＝（1，﹣1，0），＝（3，﹣2，1），則||＝（ ）
A．B．C．5D．
【分析】利用向量坐標(biāo)運算法則先求出，由此能求出||．
【解答】解：∵空間向量＝（1，﹣1，0），＝（3，﹣2，1），
∴＝（4，﹣3，1），
∴||＝＝．
故選：D．
【點評】本題考查向量的模的求法，考查向量坐標(biāo)運算法則、向量的模等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
4．（4分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．
【解答】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1為平行四面體，
∴﹣＝＝＝＝．
故選：B．
【點評】本題主要考查向量的加減法法則，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a5是a2，a14的等比中項，則數(shù)列{an}前7項和S7＝（ ）
A．13B．49C．26D．27﹣1
【分析】先由a5是a2，a14的等比中項求出公差，再求S7．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d≠0，∵a1＝1，a5是a2，a14的等比中項，
∴a52＝a2a14，即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），解得：d＝2．∴S7＝7a1+＝49．
故選：B．
【點評】本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知向量，若，則x+y＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．D．﹣8
【分析】根據(jù)平行可設(shè)，進而得到方程組，求出x，y，得到答案．
【解答】解：，
因為，所以可設(shè)，
即（3，y，﹣2）＝m（x+1，1，4），
故，解得，
故．
故選：C．
【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）已知，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2022的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】先得到，利用裂項相消法求和．
【解答】解：，
故．
故選：D．
【點評】本題考查數(shù)列的裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．（4分）在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨立的，則燈滅的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】燈滅的對立事件是開關(guān)a閉合，且開關(guān)b，c至少有一個閉合，由此能求出燈滅的概率．
【解答】解：∵在如圖所示的電路圖中，開關(guān)a，b，c閉合與斷開的概率都是，且是相互獨立的，
∴燈滅的對立事件是開關(guān)a閉合，且開關(guān)b，c至少有一個閉合，
∴燈滅的概率是：
P＝1﹣（1﹣）＝．
故選：C．
【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．
9．（4分）數(shù)列{an}滿足，若．則a2022等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】本題根據(jù)及遞推公式逐項代入即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是以4為最小正周期的周期數(shù)列，再根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)即可計算出a2022的值．
【解答】解：由題意，，
則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，…
∴數(shù)列{an}是以4為最小正周期的周期數(shù)列，
∵2022＝4×505+2，
∴．
故選：D．
【點評】本題主要考查周期數(shù)列的判定及性質(zhì)運用，考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，迭代法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題．
10．（4分）已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，，且a1a2+a2a3+…+anan+1＜k，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝1，，可得q3＝，解得q．可得an．可得anan+1＝2×．利用等比數(shù)列的求和公式及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1＝1，，
∴q3＝，解得q＝．
∵an＝＝．
∴anan+1＝＝＝2×．
∴a1a2+a2a3+…+anan+1＝2＝2×＝．
∵a1a2+a2a3+…+anan+1＜k，
k≥．
∴k的取值范圍是：．
故選：D．
【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）
11．（5分）已知向量，若，則k的值為 ﹣5 ．
【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出k＝﹣5．
【解答】解：因為，
所以，
解得k＝﹣5．
故答案為：﹣5．
【點評】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝7，a4＝3，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則Sn的最大值為 25 ．
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列{an}的公差并判斷單調(diào)性，確定出所有非負(fù)數(shù)項求解作答．
【解答】解：依題意，等差數(shù)列{an}的公差，
所以an＝a2+（n﹣2）d＝﹣2n+11，
顯然數(shù)列{an}是遞減等差數(shù)列，由an≥0，得，
即數(shù)列{an}前5項均為正，從第6項起為負(fù)，
所以當(dāng)n＝5時，．
故答案為：25．
【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）天氣預(yù)報說，在今后的三天中每一天下雨的概率均為40%，用隨機模擬的方法進行試驗，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用計算器中的隨機函數(shù)產(chǎn)生0?9之間隨機整數(shù)的20組如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通過以上隨機模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為 0.25 ．
【分析】由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有可以通過列舉得到共5組隨機數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果．
【解答】解：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，
在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191、271、932、812、393，共5組隨機數(shù)，
∴所求概率為＝0.25．
故答案為：0.25
【點評】本題考查模擬方法估計概率，解題的關(guān)鍵是利用等可能事件的概率，注意列舉法在本題的應(yīng)用．
14．（5分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知，則a8＝ 64 ．
【分析】先將n＝1代入題干表達式計算出a1的值，再利用公式進行推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列，從而計算出等比數(shù)列{an}的通項公式，再將n＝8代入即可得答案．
【解答】解：由題意，當(dāng)n＝1時，2a1＝2S1＝4a1﹣1，
解得，
當(dāng)n≥2時，由2Sn＝4an﹣1，
可得2Sn﹣1＝4an﹣1﹣1，
兩式相減，可得2an＝4an﹣4an﹣1，
整理，得an＝2an﹣1，
∴數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
∴，n∈N*，
∴．
故答案為：64．
【點評】本題主要考查根據(jù)數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)出通項公式，考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，公式法，等比數(shù)列的通項公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題．
15．（5分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，，C1B1＝1，點P為線段B1C上一點，則的最小值為 ．
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)，0≤m≤1，求出，求出最小值．
【解答】解：以C1為坐標(biāo)原點，分別以C1D1，C1B1，C1C為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0≤m≤1，
則
＝，
當(dāng)時，的最小值為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運算，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 5 ；如果對折n（n∈N*）次，那么S1+S2+?+Sn＝ dm2．
【分析】依次對折，找到規(guī)律，對折n次可以得到（n+1）種規(guī)格的圖形，且每個面積為dm2，利用錯位相加法求和．
【解答】解：對折3次可以得到2.5dm×12dm，5dm×6dm，10dm×3dm，20dm×1.5dm四種規(guī)格的圖形，
它們的面積之和S3＝4×30＝120dm2，
對折4次可以得到1.25dm×12dm，2.5dm×6dm，5dm×3dm，10dm×1.5dm，20dm×0.75dm五種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S4＝5×15＝75dm2，
依次類推，
對折n次可以得到（n+1）種規(guī)格的圖形，且每個面積為dm2，
它們的面積之和dm2，
故，
設(shè)①，
則②，
兩式相減得，
＝，
解得，
故．
故答案為：5，．
【點評】本題考查數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，主要是等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．
三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（13分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知csinB＝bcsC．
（1）求C；
（2）若，，求△ABC的面積．
【分析】（1）利用已知條件，結(jié)合正弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）利用余弦定理求出a，然后通過三角形的面積公式求解即可．
【解答】解：（1）因為csinB＝bcsC，根據(jù)正弦定理得sinCsinB＝sinBcsC，
又sinB≠0，從而tanC＝1，
由于0＜C＜π，所以．
（2）根據(jù)余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcsC，而，，，
代入整理得a2﹣4a﹣5＝0，解得a＝5或a＝﹣1（舍去）．
故△ABC的面積為．
【點評】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計算能力．
18．（13分）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，q＝3，n∈N*．
（1）求{an}的通項公式及前n項和Sn；
（2）已知{bn}是等差數(shù)列，且b1＝a2，b3＝a1+a2+a3，Tn為其前n項和，求{bn}的公差d和T20．
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，即可得解；
（2）結(jié)合（1）中所得，先寫出b1和b3的值，再求出公差d，然后由等差數(shù)列的前n項和公式，得解．
【解答】解：（1）由題意知，{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
所以，．
（2）因為b1＝a2＝3，b3＝a1+a2+a3＝1+3+9＝13，
所以2d＝b3﹣b1＝10，解得d＝5，
故T20＝20b1+×d＝20×3+×5＝1010．
【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
19．（13分）2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運動會開幕式在北京國家體育場隆重舉行，本屆北京冬奧會的主題口號——“一起向未來”，某興趣小組制作了寫有“一”，“起”，“向”，“未”，“來”的五張卡片．（1）若采用不放回簡單隨機抽樣從中逐一抽取兩張卡片，寫出試驗的樣本空間；
（2）該興趣小組舉辦抽卡片送紀(jì)念品活動，有如下兩種方案：
方案一：活動參與者采用簡單隨機抽樣從五張卡片中任意抽取一張，若抽到“向”或“未”或“來”，則可獲得紀(jì)念品；
方案二：活動參與者采用不放回簡單隨機抽樣從五張卡片中逐一抽取兩張，若抽到“未”或“來”，則可獲得紀(jì)念品．
選擇哪種方案可以有更大機會獲得紀(jì)念品？說明理由．
【分析】（1）由列舉法即可求解；（2）根據(jù)列舉法即可根據(jù)古典概型的計算公式求解概率大小，進而可做出選擇．
【解答】解：（1）用1，2，3，4，5，分別表示“一”，“起”，“向”，“未”，“來”五張卡片，
x1，x2∈{1，2，3，4，5}，數(shù)組（x1，x2）表示這個試驗的一個樣本點，則該試驗的樣本空間
Ω＝{（1，2），（1.3），（1.4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}．
（2）采用方案一時，從五張卡片中采用簡單隨機抽樣從中任意抽取一張的樣本空間為1，2，3，4，5，且每個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型，
事件A＝“抽到向或未或來”，A＝{3，4，5}，則P（A）＝，．
采用方案二時，由（1）可得從五張卡片中采用不放回簡單隨機抽樣從中任意抽取兩張共有20個樣本點，且每個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型，
事件B＝“抽到未或來”，
B＝{（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5.4）}，則 P（B）＝＝．
因為P（A）＜P（B），所以選擇方案二可以有更大機會獲得紀(jì)念品．
【點評】本題考查簡單的隨機抽樣和古典概型，屬于中檔題．
20．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：PB⊥平面EFD．
【分析】（1）連接AC，交BD于點O，連接OE，則OE∥PA，由此能證明PA∥平面EDB．
（2）推導(dǎo)出PD⊥BC，CD⊥BC，DE⊥PC，從而BC⊥平面PDC，BC⊥DE，DE⊥平面PBC，DE⊥PB，EF⊥PB，由此能證明PB⊥平面EFD．
【解答】證明：（1）連接AC，交BD于點O，連接OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中點，
∵E是PC的中點，∴OE∥PA，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，∴PA∥平面EDB．
（2）∵底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，
∴PD⊥BC，CD⊥BC，DE⊥PC，
∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE，
∵BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB，
∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD．
【點評】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
21．（14分）某單位規(guī)定每位員工每年至少參加兩項專業(yè)技能測試，測試通過可獲得相應(yīng)學(xué)分，每年獲得的總學(xué)分不低于10分，該年度考核為合格．該單位員工甲今年可參加的專業(yè)技能測試有A、B、C、D四項，已知這四項專業(yè)技能測試的學(xué)分及員工甲通過各項專業(yè)技能測試的概率如表所示，且員工甲各項專業(yè)技能測試是否通過相互獨立．
（1）若員工甲參加A、B、C三項測試，求他本年度考核合格的概率：
（2）員工甲欲從A、B，C、D中選擇三項參加測試，若要使他本年度考核合格的概率不低于，應(yīng)如何選擇？請求出所有滿足條件的方案．
【分析】（1）由題知，員工甲本年度考核合格必須通過B測試，且A、C測試中至少有一項通過，再結(jié)合獨立事件的概率乘法公式，即可求解．
（2）分別求出選擇A、C、D三項測試，選擇A、B、D三項測試，選擇B、C、D三項測試的概率，并與作比較，以及結(jié)合（1）中知，滿足條件的方案為A、B、D和B、C、D，即可求解．
【解答】（1）由題知，員工甲本年度考核合格必須通過B測試，且A、C測試中至少有一項通過，故其考核合格的概率為．
（2）①若選擇A、C、D三項測試，則必須通過D測試，且A、C測試中至少有一項通過，故員工甲考核合格的概率為；
②若選擇A、B、D三項測試，則需任意兩項測試通過或三項測試均通過，故員工甲考核合格的概率為；
③若選擇B、C、D三項測試，則需任意兩項測試通過或三項測試均通過，故員工甲考核合格的概率為；
結(jié)合（1）中知，滿足條件的方案為A、B、D和B、C、D．
【點評】本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
22．（13分）對于數(shù)列{an}，定義an*＝，設(shè){an*}的前n項和為Sn*．
（Ⅰ）設(shè)an＝，寫出a1*，a2*，a3*，a4*；
（Ⅱ）證明：“對任意n∈N*，有Sn*＝an+1﹣a1”的充要條件是“對任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝1”；
（Ⅲ）已知首項為0，項數(shù)為m+1（m≥2）的數(shù)列{an}滿足：
①對任意1≤n≤m且n∈N*，有an+1﹣an∈{﹣1，0，1}；
②Sm*＝am．
求所有滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)．
【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)新定義寫出即可；
（Ⅱ）利用定義給出的信息，分別從充分性和必要性進行證明即可；
（Ⅲ）構(gòu)造{bn}：b1＝0，，結(jié)合（Ⅱ）以及題中條件，推出bm+1＝am，設(shè)a2﹣a1，a3﹣a2，…，am+1﹣am中有k項為0，從而確定k的值，分別分析求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因為，，，，，
根據(jù)題意可得，，，．
（Ⅱ）證明：必要性：對n＝1，有，
因此．
對任意n∈N*且n≥2，有，，
兩式作差，得，即，
因此 ，
綜上，對任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝1．
充分性：若對任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝1，則，
所以 ．
綜上，“對任意n∈N*，”的充要條件是“對任意n∈N*，|an+1﹣an|＝1”．
（Ⅲ）構(gòu)造數(shù)列{bn}：b1＝0，，
則對任意1≤n≤m且n∈N*，有bn*＝an*，|bn+1﹣bn|＝1．
結(jié)合（Ⅱ）可知，Sm*＝a1*+a2*+…+am*＝b1*+b2*+…+bm*＝bm+1﹣b1＝bm+1，
又Sm*＝am，因此bm+1＝am．
設(shè)a2﹣a1，a3﹣a2，…，am+1﹣am中有k項為0，
則am+1＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（am+1﹣am）
＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bm+1﹣bm）﹣k
＝bm+1﹣k＝am﹣k，即am+1﹣am＝﹣k．
因為am+1﹣am∈{﹣1，0，1}，所以k＝0或1．
若k＝0，則am+1﹣am＝0與a2﹣a1，a3﹣a2，…，am+1﹣am中有0項為0，即k＝0矛盾，不符題意．
若k＝1，則am+1﹣am＝﹣1，所以當(dāng)am+1﹣am＝﹣1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，am﹣am﹣1中有一項為0，
其余m﹣2項為±1時，數(shù)列{an}滿足條件．
a2﹣a1，a3﹣a2，…，am﹣am﹣1中有一項為0，共m﹣1種取法；
其余m﹣2項每項有1或﹣1兩種取法，
所以滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)為（m﹣1）?2m﹣2．
【點評】本題考查了新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答即可．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/23 9:46:19；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號：56380052培訓(xùn)項目
A
B
C
D
學(xué)分
5分
6分
4分
8分
員工甲通過測試的概率
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