1．（3分）下列代數(shù)式，，33，，中，二次根式有
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
2．（3分）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列說法正確的是
A．的根為B．是的根
C．方程的根為D．沒有實(shí)數(shù)根
4．（3分）能說明命題“若為無理數(shù)，則也是無理數(shù)”是假命題的反例是
A．B．C．D．
5．（3分）下列等式中，一定成立的是
A．B．C．D．
6．（3分）命題：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；
②三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角和；
③兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；
④在三角形中，如果一邊上的中線等于這一邊長(zhǎng)的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角；
⑤兩點(diǎn)之間線段最短；
其中真命題的個(gè)數(shù)有
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
二、填空題（本大題共7小題，每題2分，共24分）
7．（2分）寫出二次根式的一個(gè)有理化因式是 ．
8．（2分）化簡(jiǎn)： ．
9．（2分）方程的根是 ．
10．（2分）命題：“同角的余角相等”的逆命題是 ．
11．（2分）等式成立的條件是 ．
12．（2分）方程的常數(shù)項(xiàng)是1，的值為 ．
13．（2分）已知關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 ．
14．（2分）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)廣泛應(yīng)用，催生快遞行業(yè)的高速發(fā)展，上海某家小型快遞公司，去年十月份與十二月份完成投送的快遞件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件．則該公司每月投送的快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率為為 ．
15．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： ．
16．（2分）最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為 ．
17．（2分）如圖，中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，如果，，，那么 ．
18．（2分）已知等腰△，，，如果將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)正好落在直線上的點(diǎn)處，那么 度．
三、解答題（本大題共9小題，共58.0分）
19．（5分）計(jì)算：．
20．（5分）計(jì)算：
21．（5分）解方程：．
22．（5分）解方程：
23．（5分）解方程：．
24．（5分）已知關(guān)于的一元二次方程為常數(shù)）．如果方程根的判別式為1，求的值及該方程的根．
25．（8分）如圖，要建一個(gè)面積為130平方米的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，現(xiàn)有32米長(zhǎng)的木板，倉(cāng)庫(kù)的一邊靠墻，并在與墻垂直的一邊開一道1米寬的小門．
（1）如果墻長(zhǎng)16米，求倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)和寬（垂直于墻的邊為寬）；
（2）如果墻長(zhǎng)米，在離開墻9米開外倉(cāng)庫(kù)一側(cè)修條小路，直接寫出墻長(zhǎng)至少要 米？
26．（10分）已知一元二次方程、、為常數(shù)，的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，則有，．這個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)槭欠▏?guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，人們又稱它為“韋達(dá)定理”．
（1）請(qǐng)你證明這個(gè)定理．
（2）若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，直接寫出的值（用表示）．
（3）一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，求的值．
27．（10分）如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．
求證：（1）；
（2）．
參考答案
一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，共18分）
1．（3分）下列代數(shù)式，，33，，中，二次根式有
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
解：形如的式子叫做二次根式．
在，，33，，中，
33不含根號(hào)，被開方數(shù)小于0，不符合要求，不是二次根式，其余3個(gè)是二次根式，
所以，二次根式有3個(gè)．
故選：．
2．（3分）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
解：因?yàn)椋骸ⅲ?br>、；
、；
所以這三項(xiàng)都可化簡(jiǎn)，不是最簡(jiǎn)二次根式．
故選：．
3．（3分）下列說法正確的是
A．的根為B．是的根
C．方程的根為D．沒有實(shí)數(shù)根
解：、的根為，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、時(shí)，，所以是的根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、△，方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、△，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
4．（3分）能說明命題“若為無理數(shù)，則也是無理數(shù)”是假命題的反例是
A．B．C．D．
解：，是無理數(shù)，不符合題意；
，是無理數(shù)，不符合題意；
，是有理數(shù)，符合題意；
，是無理數(shù)，不符合題意；
故選：．
5．（3分）下列等式中，一定成立的是
A．B．C．D．
解：、一定成立，故符合題意；
、當(dāng)時(shí)，，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
故選：．
6．（3分）命題：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；
②三角形的一個(gè)外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角和；
③兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；
④在三角形中，如果一邊上的中線等于這一邊長(zhǎng)的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角；
⑤兩點(diǎn)之間線段最短；
其中真命題的個(gè)數(shù)有
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
解：①鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，正確，是真命題，符合題意；
②三角形的一個(gè)外角等于它的不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；
③兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，不正確，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
反例：如圖，在△、△中，，，高，但兩個(gè)三角形不全等，
；
④在三角形中，如果一邊上的中線等于這一邊長(zhǎng)的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角，正確，是真命題，符合題意；
⑤兩點(diǎn)之間線段最短，正確，是真命題，符合題意；
真命題有3個(gè)，
故選：．
二、填空題（本大題共7小題，每題2分，共24分）
7．（2分）寫出二次根式的一個(gè)有理化因式是 ．
解：，
的一個(gè)有理化因式是；
故答案為：．
8．（2分）化簡(jiǎn)： ． ．
解：原式
，
故答案為：．
9．（2分）方程的根是 或 ．
解：，
，
或，
解得：或，
故答案為：或．
10．（2分）命題：“同角的余角相等”的逆命題是 如果兩個(gè)角相等，那么它們是同一個(gè)角的余角 ．
解：“同角的余角相等”的逆命題為“如果兩個(gè)角相等，那么它們是同一個(gè)角的余角”．
故答案為：如果兩個(gè)角相等，那么它們是同一個(gè)角的余角．
11．（2分）等式成立的條件是 ．
解：由題意可得，
解得：，
故答案為：．
12．（2分）方程的常數(shù)項(xiàng)是1，的值為 ． ．
解：，
，
由題意得：且，
解得：且，
，
故答案為：．
13．（2分）已知關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 ．
解：關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，
，
解得，
故答案為：．
14．（2分）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)廣泛應(yīng)用，催生快遞行業(yè)的高速發(fā)展，上海某家小型快遞公司，去年十月份與十二月份完成投送的快遞件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件．則該公司每月投送的快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率為為 ．
解：由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
故答案為：．
15．（2分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： ．
解：根據(jù)，其中、是一元二次方程的兩個(gè)根，
的兩個(gè)根為，，
，
故答案為：．
16．（2分）最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為 ．
解：由題意得：，
整理得：，
解得：或2，
當(dāng)時(shí)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意，
故答案為：．
17．（2分）如圖，中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)，如果，，，那么 4 ．
解：，，
，
，，
，
在與中，
，
，，
，，
，
，
故答案為：4．
18．（2分）已知等腰△，，，如果將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)正好落在直線上的點(diǎn)處，那么 37.5或52.5 度．
解：，，
，
當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，落在的位置，
，
，
，
；
當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，落在的位置，
，
則．
故答案為：37.5或52.5．
三、解答題（本大題共9小題，共58.0分）
19．（5分）計(jì)算：．
解：原式
．
20．（5分）計(jì)算：
解：原式
．
21．（5分）解方程：．
解：方程變形為：，
，
或，
，．
22．（5分）解方程：
解：，
，
則，即，
，
則，．
23．（5分）解方程：．
解：，
，
，，，
△，
，
，，
即：．
24．（5分）已知關(guān)于的一元二次方程為常數(shù)）．如果方程根的判別式為1，求的值及該方程的根．
解：原方程化為，
關(guān)于的一元二次方程根的判別式為1，
，△，
解得：（不符合題意，舍去），，
原方程化為：，
，．
25．（8分）如圖，要建一個(gè)面積為130平方米的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，現(xiàn)有32米長(zhǎng)的木板，倉(cāng)庫(kù)的一邊靠墻，并在與墻垂直的一邊開一道1米寬的小門．
（1）如果墻長(zhǎng)16米，求倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)和寬（垂直于墻的邊為寬）；
（2）如果墻長(zhǎng)米，在離開墻9米開外倉(cāng)庫(kù)一側(cè)修條小路，直接寫出墻長(zhǎng)至少要 20 米？
解：（1）設(shè)倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)為米，則寬為米，
由題意得：，
解得：，，
，
，不符合題意，舍去，
，
，
答：倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)為13米，寬為10米；
（2）寬為10米米，
此時(shí)不符合題意．
當(dāng)長(zhǎng)為20米時(shí)，寬為6.5米米，
米，
故答案為：20．
26．（10分）已知一元二次方程、、為常數(shù)，的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，則有，．這個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)槭欠▏?guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，人們又稱它為“韋達(dá)定理”．
（1）請(qǐng)你證明這個(gè)定理．
（2）若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，直接寫出的值（用表示）．
（3）一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，求的值．
【解答】（1）證明：一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，
，
，，
，
；
（2）解：關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，
，，
；
（3）解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為，，
，，
，
．
27．（10分）如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．
求證：（1）；
（2）．
【解答】證明：（1）平分，
，
交的延長(zhǎng)線于，
，
在和中，
，
，
．
（2）作交于點(diǎn)，則，，
，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
．

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