1．滿足的集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．命題“，”的否定為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知冪函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．C．D．
4．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．3D．5
6．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．火箭是能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具．1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出單級(jí)火箭的理想速度公式：．表示氣體相對(duì)于火箭的噴射速度，表示火箭的初始質(zhì)量（火箭殼與推進(jìn)劑的總質(zhì)量），表示推進(jìn)劑用完后火箭的質(zhì)量，目前液氫液氧推進(jìn)劑能達(dá)到的發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度約為．理想情況下，對(duì)于初始質(zhì)量為24噸的單級(jí)火箭，速度要達(dá)到，則需裝載的推進(jìn)劑的噸數(shù)約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)，）
A．22.1B．22.3C．22.5D．22.7
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列不等關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．為偶函數(shù)B．恰有4個(gè)單調(diào)區(qū)間
C．的最小值為D．的圖象與軸有4個(gè)公共點(diǎn)
11．下列說法正確的是（ ）
A．方程的解集為
B．不等式的解集為
C．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為9
D．
12．存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知函數(shù)，則______．
14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______．
15．已知函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是______．
16．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)：______．
①；②
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
記函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的值域?yàn)榧希?br>（1）求
（2）設(shè)集合，若“”是“”的充分且不必要條件，求的取值范圍．
18．（12分）
（1）計(jì)算；
（2）計(jì)算；
（3）已知，求子的值．
19．（12分）
如圖，某小區(qū)有一個(gè)直角梯形休閑廣場(chǎng)，其中，，百米，百米．規(guī)劃修建兩條直道，將廣場(chǎng)分割為3個(gè)區(qū)域：Ⅰ、Ⅱ?yàn)榫G化區(qū)域（圖中陰影部分），面積分別記為、：Ⅲ為休閑區(qū)域，面積記為．其中，區(qū)域Ⅲ是以為底的梯形，點(diǎn)，分別在，上．（道路寬度忽略不計(jì)）
（1）試確定道路修建方案，使得；
（2）記休閑區(qū)域面積與綠化區(qū)域面積的比值為“效能比”，求此規(guī)劃下該廣場(chǎng)效能比的最大值．
20．（12分）
已知函數(shù)
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
21．（12分）
設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求的值；
（2）判斷并證明的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍．
22．（12分）
已知函數(shù)，，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域與值域：
（2）設(shè)集合，證明：；
（3）已知矩形的頂點(diǎn)，在的圖象上，頂點(diǎn)，在的圖象上軸，若，且該矩形的中心為點(diǎn)，求的值．
2023—2024學(xué)年（上）高一期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)
參考答案
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的．
1．答案：C
解析：用列舉法可得：集合可以為，，，，共4個(gè)．
2．答案：B
解析：任意量詞命題的否定：條件不變，任意“”改為存在“”，結(jié)論否定．
3．答案：C
解析：由圖可知：冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，冪函數(shù)為偶函數(shù)，選項(xiàng)A的定義域?yàn)椋瑸榧炔黄嬉膊慌己瘮?shù)，排除A；圖像中函數(shù)在時(shí)，，排除B，選項(xiàng)B定義域?yàn)椋辉诘谝幌笙拗?，冪函?shù)圖像的增長(zhǎng)速度平緩，可判斷冪函數(shù)中，選擇C．
4．答案：D
解析：選項(xiàng)A兩邊同乘，可化簡(jiǎn)為，當(dāng)時(shí)，可得，A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B兩邊同乘，可化簡(jiǎn)為，B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：，化簡(jiǎn)得，兩邊同除，
可得，由題意無法判斷對(duì)錯(cuò)，C錯(cuò)誤；
另法：取特殊值，可以取，，，，C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D中，左邊可化簡(jiǎn)為，即為，成立，右邊可化簡(jiǎn)為，，成立，D選項(xiàng)正確．
5．答案：B
解析：整體思想：代入解析式可得，，
則，選擇B．
6．答案：A
解析：函數(shù)分為外函數(shù)：，內(nèi)函數(shù)：；
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減法則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且外函數(shù)單調(diào)遞減，
則內(nèi)函數(shù)在也單調(diào)遞減；
為二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為，所以，所以，選擇A．
7．答案：C
解析：為奇函數(shù)，且函數(shù)在軸兩側(cè)單調(diào)性相反
在區(qū)間上單調(diào)遞增
在區(qū)間上單調(diào)遞減
則對(duì)于求解集，使用分類討論思想：
（1）當(dāng)，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增
（2）當(dāng)，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述：，選擇C．
8．答案：C
解析：由題意可得，
代入題目公式，可得：，
，，
代入值可得：，
需裝載的推進(jìn)劑的噸數(shù)約為
結(jié)合選項(xiàng)，選擇C．
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．答案：ABD
解析：選項(xiàng)A：為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以，A正確；
選項(xiàng)B：為單調(diào)遞增函數(shù)，，所以，B正確；
選項(xiàng)C：為單調(diào)遞減函數(shù)，，所以，C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：，，所以，D正確．
10．答案：AB
解析：，，為偶函數(shù)，A正確；
中含有絕對(duì)值，分類討論去絕對(duì)值，得分段函數(shù)：
畫出對(duì)應(yīng)圖像：
由圖可知：恰有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，B正確；
由圖可知：分別在，時(shí)取得最小值，C錯(cuò)誤；
由圖可知：的圖象與軸有3個(gè)公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤；
11．答案：BC
解析：選項(xiàng)A：
且（真數(shù)大于0），A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：，換元，設(shè)，
，，，
，解集為，B正確；
選項(xiàng)C：
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以C正確；
選項(xiàng)D：
，，
時(shí)取“＝”，或者，
時(shí)取“＝”，D錯(cuò)誤．
12．答案：BC
解析：選項(xiàng)A：設(shè)，，，
則取，，
一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：設(shè)，，
，，符合函數(shù)定義，B正確；
選項(xiàng)C：，由復(fù)合函數(shù)可知；
外函數(shù)：，內(nèi)函數(shù)：
為單調(diào)函數(shù)，一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)
又（）（飄帶函數(shù)）為單調(diào)函數(shù)，一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)
與一一對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)定義，C正確；
選項(xiàng)D：設(shè)，，，
一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值，不符合函數(shù)定義，D錯(cuò)誤．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：函數(shù)是偶函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
15．答案：
解析：，函數(shù)中含有絕對(duì)值，去絕對(duì)值，
可得分段函數(shù)，
畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像：
由圖可知在，
的值域?yàn)椋缘闹的苁沟萌〉茫?br>由圖可知：
16．答案：（答案不唯一，形如，）
解析：由性質(zhì)①，可得單調(diào)遞增函數(shù)；
由性質(zhì)②，可聯(lián)想到指數(shù)運(yùn)算性：，
自變量相加時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值相乘，可以設(shè)，
代入性質(zhì)②可得：，
，，
單調(diào)遞增函數(shù)
，，的形式均可．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
解析：（1）由，得
，
又，，，
，
（2）由于（1）可得
“”是“”的充分且不必要條件
，或
所以的取值范圍為．
18．（12分）
解析：（1）
（2）
又
（3），，
且
，
19．（12分）
解析：（1）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)．
，，
，
又
，設(shè)，
，
由圖可知，
，，
所以當(dāng)?shù)缆访讜r(shí)，
（2）
廣場(chǎng)效能比為：
設(shè)，二次函數(shù)，開口向上，當(dāng)時(shí)取得
此規(guī)劃下該廣場(chǎng)效能比的最大值為3．
20．（12分）
解析：（1）
要求，對(duì)于進(jìn)行分類討論
①當(dāng)時(shí)，，可得：；
②當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，開口向下，可得：；
③當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，開口向上，
可得：，此時(shí)的兩根為，，
針對(duì)兩根大小關(guān)系再次分類討論，
?。r(shí)，，此時(shí)．
ⅱ）時(shí)，，此時(shí)或
ⅲ）時(shí)，，此時(shí)或
綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不恒成立
不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，為二次函數(shù)，二次函數(shù)開口必須向上
所以
由（1）可得：，解得：
21．（12分）
解析：（1）由題意可得：定義域?yàn)?br>是奇函數(shù)，，代入得；
代入特殊值時(shí)，需要檢驗(yàn)：
當(dāng)時(shí)，；
為奇函數(shù)，
（2）函數(shù)是上的減函數(shù)．
由定義法證明單調(diào)性：
在上任取，，不妨設(shè)，作差得：
經(jīng)化簡(jiǎn)可得
因?yàn)?，所以?br>，，即為
函數(shù)是上的減函數(shù)．
（3）在上有解，
由（1）、（2）可知為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，
，
為奇函數(shù)，，
，又是上的單調(diào)函數(shù)，
在上有解，
在上有解，
根據(jù)一元二次方程根的分布：
①當(dāng)時(shí)，，即為，
若此時(shí)方程的解為，不符合題意，舍去；
若此時(shí)方程的解為，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，即為，
或者；
?。┊?dāng)時(shí)，在上有解，
可轉(zhuǎn)化為在與軸有交點(diǎn)，
二次函數(shù)，對(duì)稱軸，，所以，
對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，此時(shí)
此時(shí)在與軸沒有交點(diǎn)，不合題意，舍去；
ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
對(duì)稱軸在區(qū)間上，此時(shí)
此時(shí)在與軸有2個(gè)交點(diǎn)；
綜上所述：
22．（12分）
解析：（1）由題意可得：，得，
定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
，，
值域?yàn)椋?br>（2）
又因?yàn)?，所以可?br>要證明：即證明在上有解
存在，使得成立
，即為
當(dāng)時(shí)，不等式兩邊同除，
，設(shè)
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”
當(dāng)時(shí)，，
，
由題意可得：，所以當(dāng)時(shí)滿足題意；
在上有解
即可證明：
（3）與關(guān)于軸對(duì)稱
由題意可知，矩形關(guān)于軸對(duì)稱，所以，．
所以設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)（）
因?yàn)榫匦吻逸S，軸
點(diǎn)坐標(biāo)
又矩形關(guān)于軸對(duì)稱
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)
，且該矩形的中心為點(diǎn)
所以可得：，消去
得：
所以，展開可得：
因式分解可得：
所以．

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