黑龍江省佳木斯市富錦市某校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

12．/
【分析】將直線的方程可化為，利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】直線的方程可化為，且直線的方程為，
所以，平行直線與之間的距離為.
故答案為：.
13．5
【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱，可得可得對稱點(diǎn)為，即可利用三點(diǎn)共線求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
則，解得，
故，故,
故最小值為：5
14．
【分析】建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合長度可得，
分析可知端點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，即可得結(jié)果.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，
可得，
因?yàn)?，即，可得?br>則，則，整理可得，
可知端點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，
所以端點(diǎn)的軌跡長度為.
故答案為：.
15．(1)，，85，76.5
(2)
【分析】（1）由所有長方形的面積和為1列方程，結(jié)合可求出，然后判斷出分位數(shù)在第4組，從而可求出分位數(shù)；再由平均數(shù)的定義求解即可.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得抽取的4人中成績在內(nèi)的有3人，成績在內(nèi)的有1人，然后利用列舉法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，即，
又，所以，，
前三組的頻率之和為，
前四組的頻率之和為，
則分位數(shù)，且．
測試成績的平均分為：.
（2）成績在和內(nèi)的人數(shù)之比為，
故抽取的4人中成績在內(nèi)的有3人，設(shè)為，，，
成績在內(nèi)的有1人，設(shè)為，
再從這4人中選2人，
這2人的所有可能情況為，，，，，，共6種，
這2人成績均在內(nèi)的情況有，，，共3種，
故這2人成績都在內(nèi)的概率為．
16．(1)或
(2)的最小值為，直線的方程為.
【分析】（1）將直線整理后解方程組可得，分情況討論截距是否為零可得直線的方程；
（2）分別解得兩點(diǎn)坐標(biāo)求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式即可得的最小值以及此時直線的方程．
【詳解】（1）將整理可得，
令，可得，
即可得定點(diǎn)，
若在兩坐標(biāo)軸上截距都為零，可得直線的方程為；
若在兩坐標(biāo)軸上截距不為零且相等，
設(shè)直線的截距式方程為，代入點(diǎn)即可得，解得；
此時直線的方程為；
綜上可知直線的方程為或；
（2）易知，且，可得；
所以三角形的面積為；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
此時的最小值為，此時直線的方程為.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件得到面，從而有，再通過計算得到，從而有，由線面垂直的判斷定理，即可證明結(jié)果.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和的方向向量，利用線面角的向量法，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槭蔷匦?，所以，又，，面?br>所以面，又面，所以，
又，所以，又，所以，
即，又，面，所以平面.
（2）由（1）可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br>所以，又BE垂直于PC，由，得到，
所以，得到，
易知，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
由，得到，取，得到，即，
又，設(shè)與平面所成角為，
則.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）由邊上高線所在的方程及求得直線方程，結(jié)合邊上中線所在直線方程即可求得的坐標(biāo)；設(shè)，則點(diǎn)中點(diǎn)為，代入中線方程即可求解；
（2）分別求得邊的垂直平分線方程，求得外接圓圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求得半徑即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€的方程為，
所以，則直線的方程為，即，
由得，，所以，
設(shè)，則點(diǎn)中點(diǎn)為，
所以，解得，即．
（2）因?yàn)?，?br>所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，
所以線段的垂直平分線方程為，即，
同理可得線段的垂直平分線方程為，
由得，，所以的外接圓圓心為，
所以的外接圓半徑為，
所以的外接圓方程為．
19．(1)證明見解析
(2)存在，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理推導(dǎo)出平面，設(shè)，利用錐體的體積公式求出的值，然后以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法求出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，
、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，
因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，且?br>為棱的中點(diǎn)，則且，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面.
（2）解：假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，如圖，連接、、，
在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，則是四棱錐的高，
設(shè)，則，，
所以，，所以，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
故，，，
設(shè)，
．
設(shè)平面的一個法向量為，則，
取，則，，所以，.
易知平面的一個法向量為，
，
整理可得，解得，合乎題意，
所以，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，平面與平面的夾角的余弦值為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
D
C
C
B
C
AB
ABC
題號
11

答案
BCD