1．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）下列長度（單位的線段不能組成三角形的是
A．3，3，3B．3，5，5C．3，4，5D．3，5，8
3．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
4．（3分）如果等腰三角形的兩邊長分別3和6，則它的周長為
A．9B．12C．15D．12或15
5．（3分）在聯(lián)歡晚會上，有、、三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢迷诘?
A．三邊中線的交點B．三條角平分線的交點
C．三邊上高的交點D．三邊中垂線的交點
6．（3分）不等式的解集在數(shù)軸上表示為
A．B．
C．D．
7．（3分）如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形，其作法錯誤的是
A．B．
C．D．
8．（3分）在中，，，邊上的高，則另一邊等于
A．10B．8C．6或10D．8或10
9．（3分）如圖，，點，分別在，上運動（不與點重合），平分，的反向延長線與的平分線交于點，在，的運動過程中，的度數(shù)
A．變大B．變小C．等于D．等于
10．（3分）如圖，，，，四個點順次在直線上，，．以為底向下作等腰直角三角形，以為底向上作等腰三角形，且．連結(jié)，，當?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變，則與需滿足
A．B．C．D．
二、填空題。（6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）已知：△的三個內(nèi)角滿足，則△是 三角形．（填“銳角”、“直角”、“鈍角”
12．（4分）請用不等式表示“的4倍與3的和不大于2”： ．
13．（4分）如圖，，要使，還需添加一個條件是 （只需寫出一種情況）
14．（4分）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是 ．
15．（4分）已知關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是 ．
16．（4分）等邊中，射線上有一點，連結(jié)，以為邊向上作等邊，連結(jié)和，下列結(jié)論：①；②與直線夾的銳角為；③當在射線上時，總有；④當時，，正確的結(jié)論序號有 ．
三、解答題。（8小題，共66分）
17．（6分）小英解不等式的過程如下，其中有一個步驟出現(xiàn)錯誤，請指出這個錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程．
解：去分母得：①，
去括號得：②，
移項得：③，
合并同類項得：④，
兩邊都除以得：⑤．
18．（8分）如圖，已知，，．
（1）用直尺和圓規(guī)作出的角平分線交于點，作出點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若，求的度數(shù)．
19．（8分）解不等式，并把解集表示在數(shù)軸上．
（1）；
（2）．
20．（10分）如圖，已知△的三個頂點的坐標分別為，，．
（1）將△向下平移6個單位得△，畫出圖形，并直接寫出點的坐標；
（2）作△關(guān)于軸的軸對稱圖形，得△，畫出圖形，并直接寫出點的坐標．
21．（10分）如圖，中，是邊上的中線，，為直線上的點，連接，，且．
（1）求證：；
（2）若，，試求的長．
22．（12分）如圖，已知在△中，，，，若動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒2個單位長度，設(shè)出發(fā)的時間為秒．
（1）出發(fā)2秒后，求的長．
（2）出發(fā)幾秒鐘后，恰好平分△的周長．
（3）當為何值時，△為等腰三角形？
23．（12分）已知：和都是等腰直角三角形，．
（1）如圖1，擺放和時（點、、在同一條直線上，點在上），連接、．求線段與的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．（直接寫出答案）
（2）如圖2，擺放和時，連接、，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；
（3）如圖3，擺放和時，連接、．若有，試求的度數(shù)．
2023-2024學(xué)年浙江省杭州市上城區(qū)景芳中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題。（10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下列圖形中是軸對稱圖形的是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：，，選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）下列長度（單位的線段不能組成三角形的是
A．3，3，3B．3，5，5C．3，4，5D．3，5，8
【分析】判斷三角形能否構(gòu)成，關(guān)鍵是看三條線段是否滿足：任意兩邊之和是否大于第三邊，但通常不需一一驗證，其簡便方法是將較短兩邊之和與較長邊比較．
【解答】解：，能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；
，能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；
，能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意；
，不能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意．
故選：．
【點評】本題主要考查對三角形三邊關(guān)系的理解應(yīng)用．判斷是否可以構(gòu)成三角形，只要判斷兩個較小的數(shù)的和小于最大的數(shù)就可以．
3．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則的度數(shù)是
A．B．C．D．
【分析】要根據(jù)已知的對應(yīng)邊去找對應(yīng)角，并運用“全等三角形對應(yīng)角相等”即可得答案．
【解答】解：圖中的兩個三角形全等，
與，與分別是對應(yīng)邊，那么它們的夾角就是對應(yīng)角，
．
故選：．
【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如果等腰三角形的兩邊長分別3和6，則它的周長為
A．9B．12C．15D．12或15
【分析】由于等腰三角形的兩邊長分別是3和6，沒有直接告訴哪一條是腰，哪一條是底邊，所以有兩種情況，分別利用三角形的周長的定義計算即可求解．
【解答】解：等腰三角形的兩邊長分別是3和6，
①當腰為6時，三角形的周長為：；
②當腰為3時，，三角形不成立；
此等腰三角形的周長是15．
故選：．
【點評】此題主要考查了三角形的周長的計算，也利用了等腰三角形的性質(zhì)，同時也利用了分類討論的思想．
5．（3分）在聯(lián)歡晚會上，有、、三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢迷诘?
A．三邊中線的交點B．三條角平分線的交點
C．三邊上高的交點D．三邊中垂線的交點
【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．
【解答】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點上．
故選：．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．
6．（3分）不等式的解集在數(shù)軸上表示為
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．
【解答】解：去括號得，，
移項得，，
系數(shù)化為1得，．
在數(shù)軸上表示為：
．
故選：．
【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形，其作法錯誤的是
A．B．
C．D．
【分析】．由作法知，可判斷；．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，可判斷；由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，可判斷；．由作法知是的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到，可判斷．
【解答】解：．由作法知，
是等腰三角形，故選項不符合題意；
．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，
不能推出和是等腰三角形，故選項符合題意；
．由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，
，
是等腰三角形，故選項不符合題意；
．，，
，
由作法知是的平分線，
，
，
是等腰三角形，故選項不符合題意；
故選：．
【點評】本題主要考查了尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的五個基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．
8．（3分）在中，，，邊上的高，則另一邊等于
A．10B．8C．6或10D．8或10
【分析】分兩種情況考慮，如圖所示，垂足在線段上或在線段的延長線上兩種情況，利用勾股定理求出與的長，即可求出的長．
【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，
如圖1所示，，，，
在和中，
根據(jù)勾股定理得：，，
此時；
如圖2所示，，，，
在和中，
根據(jù)勾股定理得：，，此時，
則的長為6或10．
故選：．
【點評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，，點，分別在，上運動（不與點重合），平分，的反向延長線與的平分線交于點，在，的運動過程中，的度數(shù)
A．變大B．變小C．等于D．等于
【分析】根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理進行計算即可．
【解答】解：平分，平分，
，，
又是的外角，
，
即，
，
又是的外角，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查角平分線，三角形的內(nèi)角和，理解角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理及推論是解決問題的前提．
10．（3分）如圖，，，，四個點順次在直線上，，．以為底向下作等腰直角三角形，以為底向上作等腰三角形，且．連結(jié)，，當?shù)拈L度變化時，與的面積之差保持不變，則與需滿足
A．B．C．D．
【分析】過點作于點．過點作于，分別利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，然后設(shè)，分別表示出與的面積，再將二者相減得到關(guān)于的代數(shù)式，因為變化時，不變，所以的系數(shù)為0，則可得到與的關(guān)系式．
【解答】解：過點作于點，過點作于，
是等腰直角三角形，，
，
，，，
，
在中，
，
設(shè)，
則，
，
，
當?shù)拈L度變化時，始終保持不變，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積計算，熟練掌握等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題。（6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）已知：△的三個內(nèi)角滿足，則△是 銳角 三角形．（填“銳角”、“直角”、“鈍角”
【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理列方程求解即可．
【解答】解：已知在△中，，
設(shè)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得：
，
解得，
，，，
△是銳角三角形．
故答案為：銳角．
【點評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解答本題的關(guān)鍵．
12．（4分）請用不等式表示“的4倍與3的和不大于2”： ．
【分析】根據(jù)“的4倍與3的和不大于2”，可得出關(guān)于的一元一次不等式，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：．
故答案為：．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）如圖，，要使，還需添加一個條件是 或或或 （只需寫出一種情況）
【分析】由于，加上公共邊，則根據(jù)全等三角形的判定方法可添加條件．
【解答】解：，，
當添加時，可根據(jù)“”判斷；
當添加時，可根據(jù)“”判斷；
當添加時，可根據(jù)“”判斷；
當添加時，則或，可根據(jù)“”或“”判斷．
故答案為：或或或．
【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．選用哪一種判定方法，取決于題目中的已知條件．
14．（4分）命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是 兩個角相等三角形是等腰三角形 ．
【分析】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，再將題設(shè)和結(jié)論互換，即可而得到原命題的逆命題．
【解答】解：因為原命題的題設(shè)是：“一個三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個三角形兩底角相等”，
所以命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“兩個角相等三角形是等腰三角形”．
【點評】根據(jù)逆命題的概念來回答：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另外一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題．
15．（4分）已知關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是 ．
【分析】由不等式的性質(zhì)得出，則可得出答案．
【解答】解：的解集是，
不等號的方向已改變，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)．含有字母系數(shù)的不等式是近年來中考的熱點問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)原不等式和給出的解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，為此需熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，它是正確解一元一次不等式的基礎(chǔ)．
16．（4分）等邊中，射線上有一點，連結(jié)，以為邊向上作等邊，連結(jié)和，下列結(jié)論：①；②與直線夾的銳角為；③當在射線上時，總有；④當時，，正確的結(jié)論序號有 ①②④ ．
【分析】利用，可以證明①②正確，③錯誤，當時，易知，根據(jù)即可判斷④正確．
【解答】解：如圖，設(shè)交于．
，都是等邊三角形，
，，，
，
，
，，故①正確，
，
，
與的夾角為，故②正確，
，，
，故③錯誤，
當時，易證，
，
故④正確，
故答案為：①②④．
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題。（8小題，共66分）
17．（6分）小英解不等式的過程如下，其中有一個步驟出現(xiàn)錯誤，請指出這個錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程．
解：去分母得：①，
去括號得：②，
移項得：③，
合并同類項得：④，
兩邊都除以得：⑤．
【分析】先根據(jù)題目中的解答過程，可以發(fā)現(xiàn)第①步出錯了，然后根據(jù)解一元一次不等式的方法解答即可．
【解答】解：由題目中的解答過程可知，第①步出錯了，
去分母，得：，
去括號，得：，
移項及合并同類項，得：，
系數(shù)化為1，得：．
【點評】本題考查解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．
18．（8分）如圖，已知，，．
（1）用直尺和圓規(guī)作出的角平分線交于點，作出點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若，求的度數(shù)．
【分析】（1）以點為圓心，以合適長度為半徑畫弧交、于點、，再以、為圓心，以大于一半的長度為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，交于點，即可；
（2）先求出，再根據(jù)平分，可得，問題得解．
【解答】解：（1）作圖如下，
點即為所求；
（2）在中，，，
，
平分，
．
【點評】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，直角三角形中兩銳角互余等知識，掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．
19．（8分）解不等式，并把解集表示在數(shù)軸上．
（1）；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．
（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．
【解答】解：（1），
，
，
，
則，
將解集表示在數(shù)軸上如下：
（2），
，
，
，
，
則，
將解集表示在數(shù)軸上如下：
【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．
20．（10分）如圖，已知△的三個頂點的坐標分別為，，．
（1）將△向下平移6個單位得△，畫出圖形，并直接寫出點的坐標；
（2）作△關(guān)于軸的軸對稱圖形，得△，畫出圖形，并直接寫出點的坐標．
【分析】（1）分別作出、、的對應(yīng)點、、即可；
（2）分別作出、、的對應(yīng)點、、即可；
【解答】解：（1）將△向下平移6個單位得△，如圖所示，點的坐標；
（2）作△關(guān)于軸的軸對稱圖形，得△，如圖所示，點的坐標；
【點評】本題考查作圖平移變換，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
21．（10分）如圖，中，是邊上的中線，，為直線上的點，連接，，且．
（1）求證：；
（2）若，，試求的長．
【分析】（1）利用中點性質(zhì)可得，由平行線性質(zhì)可得，再由對頂角相等可得，即可證得結(jié)論；
（2）由題意可得，再由全等三角形性質(zhì)可得，即可求得答案．
【解答】（1）證明：是邊上的中線，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較小，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
22．（12分）如圖，已知在△中，，，，若動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒2個單位長度，設(shè)出發(fā)的時間為秒．
（1）出發(fā)2秒后，求的長．
（2）出發(fā)幾秒鐘后，恰好平分△的周長．
（3）當為何值時，△為等腰三角形？
【分析】（1）根據(jù)題意求出，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案；
（2）根據(jù)題意用表示出、，根據(jù)三角形的周長公式列出方程，解方程得到答案；
（3）分在上、時、在上、、在上，時、在上，時四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．
【解答】解：（1）從點開始，按，且速度為2，
出發(fā)2秒后，，
由勾股定理得：；
（2）設(shè)秒后，恰好平分△的周長，
此時，，，
由題意可知，點不可能位于線段和上，點一定在線段上，
則，
解得：；
（3）①當在上、時，，
解得：；
②當在上、時，，
則，
解得：；
③當在上，時，
如圖1，過點作交于，則，
，，
，
，
，
，
解得：；
④當在上，時，
如圖2，過點作于，則，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
綜上可得：或6或6.5或5.4時，△為等腰三角形．
【點評】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的概念和性質(zhì)，掌握等腰三角形的概念、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）已知：和都是等腰直角三角形，．
（1）如圖1，擺放和時（點、、在同一條直線上，點在上），連接、．求線段與的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．（直接寫出答案）
（2）如圖2，擺放和時，連接、，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；
（3）如圖3，擺放和時，連接、．若有，試求的度數(shù)．
【分析】（1）延長交于，根據(jù)，即可得出，，進而得到，即；
（2）根據(jù)和是等腰直角三角形，判定，即可得到，，再延長交于點，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出，即可得到；
（3）連接，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】解：（1）如圖1，延長交于，
根據(jù)等腰直角三角形和等腰直角三角形，
可得，，，
在與中
，
，，
又，，
，
，即，
故線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．
故答案為：，．
（2）結(jié)論，仍然成立．
和是等腰直角三角形，，
，，
又，，
，
在和中，
，
，
，，
延長交于點，交于點，如圖2，
在和中，
，，
，
即；
（3）連接，如圖3，
和是等腰直角三角形，，
，，
又，，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形以及全等三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于以及全等三角形的對應(yīng)邊相等進行推導(dǎo)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/28 1:06:44；用戶：佩服還小飛飛；郵箱：rFmNt06nLZ6sDiSU3_grzcMSxM@；學(xué)號：26025303

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