一、選擇題
1．已知集合,,則中元素的個(gè)數(shù)為( )
A.4B.3C.6D.5
2．已知命題,,則是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．函數(shù)的定義域?yàn)? )
A.B.C.D.
4．已知集合,且是M中的一個(gè)元素,則( )
A.B.或3C.3D.或
5．“,”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是( )
A.B.C.D.
6．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A.B.C.D.
7．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),分別是定義在R上的奇函數(shù)與偶函數(shù),且,若對(duì)任意,都有,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題正確的有( )
A.若,則B.若,,則
C.若,則D.若,則
10．下列各對(duì)函數(shù)中,圖像完全相同的是( )
A.與B.與
C.與D.與
11．如圖,某小區(qū)擬建造一個(gè)矩形綠地,如果在AB中點(diǎn)M正北方向25米處立起一根旗桿E,在BC中點(diǎn)N正東方向40米處立起一根旗桿F,且E,B,F三點(diǎn)在同一直線上,那么該矩形綠地的周長可能為( )
A.米B.米C.米D.米
12．定義（其中表示不小于x的最小整數(shù)）為“向上取整函數(shù)”,例如,,.以下描述正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.是定義在上的奇函數(shù)D.若,則
三、填空題
13．已知函數(shù)則_______.
14．已知,.當(dāng)_______時(shí),的值最小.
15．已知定義在R上的函數(shù)（為常數(shù)）,若,則_______.
16．函數(shù)集合,如果集合M有六個(gè)元素,那么m的取值范圍是_______.
四、解答題
17．已知集合,.
（1）當(dāng)時(shí),求,;
（2）從①“”是“”的充分不必要條件;②;③,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并進(jìn)行解答.
問題:若_______,求實(shí)數(shù)的取值范圍,
18．已知,求的最大值;
（2）已知,求的最大值.
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào),求的取值范圍;
（2）若的解集為,求關(guān)于x的不等式的解集.
20．研究表明,過量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等問題,減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義.為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召,2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年投入周定成本2500萬元,每生產(chǎn)x（單位:百輛）新能源汽車需另投入成本（單位:萬元）,且如果每輛車的售價(jià)為5萬元,且假設(shè)全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（注:）
（1）求2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式;
（2）當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí),企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
21．設(shè)是定義在上的減函數(shù),且滿足,.
（1）求,,的值;
（2）若,求x的取值范圍.
22．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),判斷的單調(diào)性;
（2）若在區(qū)間上的最大值為.
（i）求實(shí)數(shù)a的值;
（ii）若函數(shù),是否存在正實(shí)數(shù)b,對(duì)區(qū)間上任意三個(gè)實(shí)數(shù)r,s,t,都存在以,,為邊長的三角形?若存在,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案
1．答案：A
解析：,,則,中元素的個(gè)數(shù)為4.故選A.
2．答案：B
解析：因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題,命題,,所以命題p的否定形式是,.故選B.
3．答案：D
解析：要使原函數(shù)有意義,則解得,且.函數(shù)的定義域?yàn)?故選D.
4．答案：A
解析：集合,且.
①當(dāng)時(shí),,,此時(shí)集合,不滿足集合元素的互異性,故不符合題意,舍去.
②當(dāng)時(shí),或.若,則,此時(shí)集合,不滿足集合元素的互異性,故不符合題意,舍去;若,則.此時(shí)集合,符合題意,綜上所述,.故選A.
5．答案：B
解析：“,”為假命題,則“,”為真命題,只需在上的最大值小于等于即可,而函數(shù)的最大值,故,解得.因?yàn)?但推不出,所以是“,”為真命題的一個(gè)充分不必要條件,故B正確,其他三個(gè)選項(xiàng)均不符合題意,故選B.
6．答案：C
解析：的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則上遞增,而,,,,,可得,滿足零點(diǎn)存在性定理,故零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選C.
7．答案：B
解析：函數(shù)當(dāng)時(shí),函數(shù),圖象開口向下,關(guān)于對(duì)稱,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù),圖象開口向上,關(guān)于對(duì)稱,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則有解得.故選B.
8．答案：B
解析：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),是偶函數(shù),所以,.
又①,則②.兩式相加得.若對(duì)任意,都有,即成立.令,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,符合題意.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),圖象關(guān)于對(duì)稱,因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減,所以或解得或.綜上,的取值范圍是.故選B.
9．答案：BD
解析：對(duì)于A,如果,則,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,,.故B正確;
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),有,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.故D正確,故選BD.
10．答案：AC
解析：對(duì)于A.兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù).故圖象完全相同.A正確;對(duì)于B,,兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,.兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù),故圖象完全相同.C正確;對(duì)于D,的定義域?yàn)?的定義域?yàn)?二者定義域不同,不是同一函數(shù),故D錯(cuò)誤,
綜上.故選AC.
11．答案：CD
解析：如圖,設(shè),,
由題意知,即.而,,,,
所以,化簡得.
因此矩形綠地的周長,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故矩形菜地的周長可能為米,米.故選CD.
12．答案：ABD
解析：由表示不小于x的最小整數(shù),則有且,即,A項(xiàng),,則,,即,則,故A正確,B項(xiàng),令,則,解得,又為整數(shù),則,或,當(dāng)時(shí),即,則;當(dāng)時(shí),即,則,故,則,故B正確.C項(xiàng),,則,,則不是上的奇函數(shù),故C錯(cuò)誤;D項(xiàng),,若,則,即,則,又,由不等式的性質(zhì),得,則,故D正確,故選ABD.
13．答案：5
解析：根據(jù)題意知,則,故答案為5.
14．答案：1
解析：因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),故答案為1.
15．答案：2023
解析：設(shè),易證,且定義域?yàn)?是奇函數(shù),
所以,,兩式相加得,
所以.故答案為2023.
16．答案：
解析：由題意,令,設(shè),
畫出的圖象如圖,
則在上有兩個(gè)相異零點(diǎn),即有即解得,故答案為.
17．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí),集合,
所以,
,
,
（2）若選擇①“”是“”的充分不必要條件,則.
因?yàn)?所以,所以解得,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
若選擇②,,則.因?yàn)?所以,
所以解得,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
若選擇③,則,
因?yàn)?所以,
所以解得,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
18．答案：（1）1
（2）
解析：（1）
因?yàn)?所以,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,
所以,
所以的最大值是1.
（2）法一:,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
即時(shí),函數(shù)的最大值是.
法二:,
當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí),的對(duì)稱軸為直線,
由于函數(shù)在上單調(diào),所以或.
解得或.
所以b的取值范圍是.
（2）由于的解集為,
所以所以
所以不等式,即,
所以,,解得或,
所以不等式的解集為.
20．答案：（1）見解析
（2）當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí),該企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤為1800萬元
解析：（1）
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),.
故
（2）由（1）得
當(dāng)時(shí),,
;
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故.
,故當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí),該企業(yè)所獲利潤最大,最大利潤為1800萬元
21．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）令,則,所以.
.
令,,則,
所以,
故.
（2）因?yàn)?所以.
由是定義在上的減函數(shù),
得解得即.
故x的取值范圍為.
22．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）由題意得,
當(dāng)時(shí),可得到在和上單調(diào)遞增.
（2）（i）若在區(qū)間上的最大值為.
①當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
,解得（舍去）;
②當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
,解得.
綜上,.
（ii）由（i）知,,且在區(qū)間上單調(diào)遞增.
,即,在區(qū)間上的值域?yàn)?
函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
在上為減函數(shù),
在上為增函數(shù).
令,則,.
在區(qū)間上任意三個(gè)實(shí)數(shù)r,s,t都存在以,,為邊長的三角形,等價(jià)于,.
①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,
,,由,得,
;
②當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
,,由,得,
;
③當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
,,由,得,
;
④當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,
,,由,得,
.
綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍為.

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