學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題(共40分)
1．(5分)已知二次函數(shù)滿足，，且的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為( )
A.B.
C.D.
2．(5分)已知a,b為正數(shù),若,有函數(shù),則的最小值為( )
A.B.C.9D.
3．(5分)已知函數(shù)的定義域為R,且對任意,滿足,,且,則( )
A.651B.676C.1226D.1275
4．(5分)已知函數(shù)，若，則( )
A.B.C.0D.1
5．(5分)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，有，則( )
A.0B.1C.D.
6．(5分)設(shè)函數(shù),,當(dāng)時,曲線與恰有一個交點,則( )
A.-1B.C.1D.2
7．(5分)若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是( )
A.2B.C.4D.
8．(5分)已知函數(shù)的定義域為R,有下面三個命題,命題p：存在且,對任意的,均有恒成立,命題：在R上是嚴(yán)格減函數(shù),且恒成立；命題：在R上是嚴(yán)格增函數(shù),且存在使得,則下列說法正確的是( )
A.、都是p的充分條件B.只有是p的充分條件
C.只有是p的充分條件D.、都不是p的充分條件
二、多項選擇題(共18分)
9．(6分)下列命題中,是全稱量詞命題且是真命題的是( )
A.任何一個實數(shù)乘以0都等于0B.自然數(shù)都是正整數(shù)
C.實數(shù)都可以寫成小數(shù)形式D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù)
10．(6分)已知,,下列結(jié)論正確的是( )
A.B.的最小值是
C.的最小值是8D.的最小值是
11．(6分)已知,則( )
A.B.
C.D.
三、填空題(共10分)
12．(5分)某班有學(xué)生56人,同時參加了數(shù)學(xué)小組和英語小組的學(xué)生有32人,同時參加了英語小組和語文小組的學(xué)生有22人,同時參加了數(shù)學(xué)小組和語文小組的學(xué)生有25人.已知該班學(xué)生每人至少參加了1個小組,則該班學(xué)生中只參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數(shù)最多______.
13．(5分)已知實數(shù),,且滿足,則的最小值為_______________.
四、雙空題(共5分)
14．(5分)已知命題,,則p的否定是_________,命題p是_________（填入“真”或“假”）命題.
五、解答題(共77分)
15．(13分)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求m，n的值：
(2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(3)求使成立的實數(shù)a的取值范圍.
16．(15分)（1）設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:;
（2）解關(guān)于x的不等式:.
17．(15分)若實數(shù)x,y,m滿足,則稱x比y遠離m.
（1）若比1遠離t,求實數(shù)t的取值范圍;
（2）若,,試問:與哪一個更遠離2?并說明理由.
18．(17分)某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場,其總面積為3000平方米,其中場地四周（陰影部分）為通道,通道寬度均為2米,中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同）,塑膠運動場地占地面積為S平方米.
(1)分別寫出用x表示y和用x表示S的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）;
(2)怎樣設(shè)計能使S取得最大值,最大值為多少？
19．(17分)已知,.
（1）若不等式對于一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
（2）求不等式的解集.
參考答案
1．答案：A
解析：根據(jù)題意，由得：圖象的對稱軸為直線，
設(shè)二次函數(shù)為，
因的最大值是8，所以，當(dāng)時，，
即二次函數(shù)，
由得：，解得：，
則二次函數(shù)，
故選：A.
2．答案：B
解析：由題意可得,又因為,
當(dāng)時,可得,即;
當(dāng)時,顯然成立;
當(dāng)時,可得,即;
綜上可得,即,
因為a,b為正數(shù),
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故B正確.
故選：B.
3．答案：A
解析：由
,
所以,
即,
所以.
故選:A.
4．答案：C
解析：，，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，即（舍去），.
5．答案：C
解析：由題意，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，所以，
又，所以，所以，因此函數(shù)為周期函數(shù)，周期，所以.
6．答案：D
解析：解法一：令,即,可得,
令,,
原題意等價于當(dāng)時,曲線與恰有一個交點,
注意到,均為偶函數(shù),可知該交點只能在y軸上,
可得,即,解得,
若,令,可得
因為,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,
可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,
則方程有且僅有一個實根0,即曲線與恰有一個交點,
所以符合題意;
綜上所述：.
解法二：令,
原題意等價于有且僅有一個零點,
因為,
則為偶函數(shù),
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0,
即,解得,
若,則,,
又因為,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,
可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,
即有且僅有一個零點0,所以符合題意;
故選：D.
7．答案：C
解析：因為正數(shù)x，y滿足，所以，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故選：C.
8．答案：A
解析：若成立,當(dāng),有.
因為單調(diào)遞減,且恒成立,所以,
所以,
故存在(且),對任意的,均有恒成立,
所以是p的充分條件；
若成立時,當(dāng)時,,.
因為單調(diào)遞增,所以恒成立,
故存在(且),對任意的,均有恒成立,
所以也是p的充分條件.
故選：A.
9．答案：AC
解析：A選項中,“任何”是全稱量詞,它是全稱量詞命題,且為真命題;
B選項中,“都”是全稱量詞,它是全稱量詞命題,由于0是自然數(shù),不是正整數(shù),故該命題是假命題;
C選項中,“都”是全稱量詞,它是全稱量詞命題,且為真命題;
D選項中,“存在”是存在量詞,它是存在量詞命題.
故選：AC.
10．答案：ACD
解析：,由,解得,A正確;
,
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,而此時不存在a,b,B錯誤;
由,得,所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,C正確.
由,得,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,D正確.
故選:ACD.
11．答案：ABD
解析：因為,所以,故A正確;
因為,所以,故B正確;
因為,不妨令,,得,,此時,故C錯誤;
因為,所以,故D正確.
故選：ABD.
12．答案：21
解析：如圖,設(shè)該班學(xué)生中同時參加三個小組的人數(shù)為x,只參加其中一個小組的人數(shù)為y,
則,即.
因為,所以.
所以只參加其中一個小組的人數(shù)最多為21.
故答案為：21.
13．答案：
解析：,,,
,,
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時等號成立,
所以的最小值為.
故答案為：.
14．答案：,;假
解析：命題p的否定是：,
當(dāng),且不為0時,有,所以命題p是假命題.
故答案為：,;假.
15．答案：(1)，；
(2)在上為增函數(shù).證明見解析；
(3)
解析：（1）由題意，
在中，函數(shù)是奇函數(shù)，
且，可得即；
又，則，
，；經(jīng)驗證滿足題意.
（2）由題意及（1）得，
在上為增函數(shù).證明如下：
在中，
設(shè)，則，
，
，，
，即，
在上為增函數(shù)；
（3）由題意，（1）及（2）得，
在中，為奇函數(shù)，
，即，
，
解得，
a的取值范圍是
16．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明:因為a,b,c為正數(shù),
由基本不等式可得,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,
,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,
,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,
以上三式相加有,
即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
（2）,
即,
即.
①當(dāng)時,,,的解集為,
②當(dāng)時,,
等價于,即;
③當(dāng)時,等價于,
即或.
綜上可得:時,原不等式的解集為;當(dāng)時,原不等式的解集為;當(dāng)時,原不等式的解集為.
17．答案：（1）
（2）比遠離2,理由見解析
解析：（1）由題意,,
即,
兩邊平方,得,解得.
（2）因為,所以.
,
當(dāng)時,,
當(dāng)且僅當(dāng),即,或時等號成立,所以.
此時比遠離2;
當(dāng)時,,
當(dāng)且僅當(dāng),即,或時等號成立,所以.
此時比遠離2.
綜上,比遠離2.
18．答案：(1),
(2)矩形場地,時,運動場的面積最大,最大面積是
解析：(1)由已知,,,,故,
由,解得, .
,
根據(jù),得,
,.
(2),
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,此時.
所以,矩形場地,時,運動場的面積最大,最大面積是.
19．答案：（1）
（2）答案見解析
解析：（1）因為,
則不等式,可化為,
即對于任意的實數(shù)x恒成立,
當(dāng)時,即時,不等式為,解得,不符合題意;
當(dāng)時,則滿足,解得,
綜上可得,實數(shù)a的取值范圍為.
（2）由不等式,可得,即,
①當(dāng)時,不等式可化為,解得
當(dāng)時,方程的解,或,
②當(dāng)時,,或;
③當(dāng)時,
（i）當(dāng)時,即,;
（ii）當(dāng)時不等式的解集為,
（iii）當(dāng)時,,,
綜上可得:
當(dāng)時,原不等式的解集為;
當(dāng),原不等式的解集為,
當(dāng)時,原不等式的解集為;
當(dāng)時,原不等式的解集為;
當(dāng)時,原不等式的解集為.

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