命題人：周健 審核人：蔣亞紅
2023.11
說明：
1.請將答案填寫在答卷上.
2.本卷總分為150分，考試時間為120分鐘.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若，則是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
3. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則滿足的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5. 設(shè)，且，從到的兩個函數(shù)分別為，若對于中的任意一個，都有，則集合的個數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 無窮多
6. 已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)，若非空集合，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解的一個充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
10. 若正實數(shù)，滿足則下列說法正確的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值
C. 有最小值4D. 有最大值
11. 已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 在上單調(diào)遞增
B. 值域為
C. 當(dāng)時，恒有成立
D. 若，且，則
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 由命題“存在，使”是假命題，求得m的取值范圍是，則實數(shù)a的值是______.
14. 已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的值是__________.
15. 某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，第三天售出14種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有5種，則該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有__________種.
16. 已知一塊直角梯形狀鐵皮，其中，現(xiàn)欲截取一塊以為一底的梯形鐵皮，點分別在上，記梯形的面積為，剩余部分的面積為，則的最小值是__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知二次函數(shù)的最小值為.
（1）若，求的值；
（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個根分別為，求的值.
18 已知全集，集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
19. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）①用定義證明函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；
②判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，請直接寫出結(jié)果；
根據(jù)你對該函數(shù)理解，在坐標(biāo)系中直接作出函數(shù)的圖象.
20. 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系；，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理?施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價為20元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）
（1）求解析式；
（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
21. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域和值域：
（2）若為非零實數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為.
①求；
②確定滿足的實數(shù)，直接寫出所有的值組成的集合.
22. 已知函數(shù).
（1）求關(guān)于的不等式的解集，
（2）若對任意正實數(shù)，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.
江蘇省常州高級中學(xué)
2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢查高一年級數(shù)學(xué)試卷
命題人：周健 審核人：蔣亞紅
2023.11
說明：
1.請將答案填寫在答卷上.
2.本卷總分為150分，考試時間為120分鐘.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若，則是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件求出，再求即可得解.
【詳解】因，，則，
而，所以.
故選：A.
2. 下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性的判斷與值域的求法，逐一分析判斷各選項即可.
【詳解】對于A，因為的定義域為，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)，故A錯誤；
對于B，因為，即的值域為，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，顯然值域不為，故C錯誤；
對于D，因為的定義域為，且，
又，所以是值域為的偶函數(shù)，故D正確.
故選：D.
3. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】先化簡“”和“”，再利用充分必要條件的定義分析判斷即可得解.
【詳解】因為等價于或，
等價于或，
而或?或，
所以，
故“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B.
4. 已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則滿足的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用的奇偶性可得，，再結(jié)合的單調(diào)性得到，從而得解．
【詳解】因為函數(shù)為上的奇函數(shù)， ，則，，
所以可化，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.
故選：B．
5. 設(shè)，且，從到的兩個函數(shù)分別為，若對于中的任意一個，都有，則集合的個數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 無窮多
【答案】C
【解析】
【分析】令．解得或，進(jìn)而可列舉出滿足條件的集合，從而得解．
【詳解】因為，
令，解得或，
故由題意可知，且，
則當(dāng)，，時，滿足條件.
故選：C.
6. 已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】易知二次函數(shù)的對稱軸為，
因為函數(shù)是R上的減函數(shù)，
所以，解得.
故選：D.
7. 若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差比較法及不等式的性質(zhì)逐項判斷即可求解.
【詳解】對于A，，因為，所以，
所以，即，于是有故A錯誤；
對于B，因為，
因為，所以，但與的大小不確定，故不一定成立，故B錯誤；
對于C，因為，因為，所以，所以，即，于是有，故C正確；
對于D，因為，因為，所以，所以，即，于是有，故D錯誤.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若非空集合，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不妨設(shè)的解集為，從而得，進(jìn)而得到且，又，為方程的兩個根，可得，由此得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.．
【詳解】因為，
不妨設(shè)的解集為，則由得，
所以，
又，，所以且，
因為的解集為，所以是，即的兩個根，
故，即，
此時由，得，則，
因為，顯然，且開口向上，對稱軸為，
所以，則，
又，解得，即.
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于假設(shè)的解集為，進(jìn)而得到且，從而得解.
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解的一個充分條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用二次方程的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為有兩個實數(shù)解，
當(dāng)時，，顯然不滿足題意；
當(dāng)時，，得；
綜上，且，
即有兩個實數(shù)解等價于且，即或，
要使得選項中的范圍是題設(shè)條件的充分條件，
則選項中的范圍對應(yīng)的集合是或的子集，
經(jīng)檢驗，AB滿足要求，CD不滿足要求.
故選：AB.
10. 若正實數(shù)，滿足則下列說法正確的是（ ）
A. 有最大值B. 有最大值
C. 有最小值4D. 有最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知結(jié)合基本不等式一一判斷計算可得．
【詳解】解：因為正實數(shù)，滿足，
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的最大值為，故B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即有最小值4，故正確；
，由A可知，所以
即有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D錯誤；
故選：ABC．
11. 已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用因式分解求三次方程的根化簡集合，再利用集合關(guān)系即可判斷.
【詳解】對于A，方程，因式分解得，
解得或，所以，滿足，故A正確；
對于B，方程，因式分解得，
解得，所以，滿足，故B正確；
對于C，方程，因式分解得，
解得或，所以，不滿足，故C錯誤；
對于D，方程，因式分解得，
解得，所以，滿足，故D正確；
故選：ABD.
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 在上單調(diào)遞增
B. 值域為
C. 當(dāng)時，恒有成立
D. 若，且，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】先判斷的奇偶性，再在上，令研究其單調(diào)性和值域，再判斷的區(qū)間單調(diào)性和值域判斷AB；利用解析式推出，根據(jù)已知得到，再應(yīng)用基本不等式判斷C；特殊值法，將代入判斷D.
【詳解】對于AB，因為，則由解析式知的定義域為，
又，所以為奇函數(shù)，
當(dāng)時，由對勾函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且值域為，
而在上遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
由奇函數(shù)的對稱性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
所以值域為，故A正確，B錯誤；
對于C，當(dāng)時， 恒成立，
所以恒有成立，故C正確；
對于D，由，
因為，且，
所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
而時，，故等號不成立，所以，故D正確；
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于D 選項，根據(jù)解析式推導(dǎo)出，進(jìn)而得到為關(guān)鍵.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 由命題“存在，使”是假命題，求得m的取值范圍是，則實數(shù)a的值是______.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定為真，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立 ，利用判別式求解.
【詳解】因為命題“存在，使”是假命題，
所以命題“，”是真命題，
故，即，故.
故答案為：1
14. 已知函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先由反比例函數(shù)的性質(zhì)分析得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍，從而結(jié)合函數(shù)圖像即可得解.
【詳解】因為，
當(dāng)時，當(dāng)時，，不合題意；
當(dāng)時，當(dāng)時，，不合題意；
所以，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，開口向下，對稱軸為，
當(dāng)時，，
令，即，解得或（舍去），
令，即，解得或，
作出的大致圖象，如圖，
因為的值域為，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意.
故答案為：.
15. 某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，第三天售出14種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有5種，則該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有__________種.
【答案】
【解析】
【分析】先分析得前兩天共售出的商品種類，再考慮第三天售出商品種類的情況，根據(jù)題意即可得解.
【詳解】由題意，第一天售出17種商品，第二天售出13種商品，前兩天都售出的商品有3種，
所以第一天售出但第二天未售出的商品有種，
第二天售出但第一天未售出的商品有種，
所以前兩天共售出的商品有種，
第三天售出14種商品，后兩天都售出的商品有5種，
所以第三天售出但第二天未售出的商品有種，
因為，
所以這種商品都是第一天售出但第二天未售出的商品時，該網(wǎng)店這三天售出的商品種類最少，其最小值為.
故答案為：.
16. 已知一塊直角梯形狀鐵皮，其中，現(xiàn)欲截取一塊以為一底的梯形鐵皮，點分別在上，記梯形的面積為，剩余部分的面積為，則的最小值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用直角梯形的幾何性質(zhì)，求出，從而可得的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.
【詳解】依題意，作于G，

則，則，
由題意知，則，而，；
故，設(shè)，則，故，
作于H，則，
故，
則，
故，
令，則，因為，故，
則，而在上單調(diào)遞減，
故的最小值為，即的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合梯形的幾何性質(zhì)表示出相關(guān)線段長，求出梯形的面積表達(dá)式，即可求解答案.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知二次函數(shù)的最小值為.
（1）若，求的值；
（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個根分別為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，結(jié)合得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；
（2）利用韋達(dá)定理，結(jié)合（1）中結(jié)論與完全平方公式即可得解.
【小問1詳解】
因為二次函數(shù)的最小值為，
所以，則開口向上，對稱軸為，
所以，即，則，
因為，即，則，
將代入，得，解得或（舍去），
所以.
【小問2詳解】
因為，即的兩個根分別為，
所以，
所以，
由（1）可知，即，
所以，故.
18. 已知全集，集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分別解出集合與集合，然后求得，進(jìn)而求得的值；
（2）由題意得是的真子集，由此列不等式組，解不等式組可求得的取值范圍.
【小問1詳解】
因，
當(dāng)時, ，
則或，
所以.
【小問2詳解】
因為，
又，所以 ，
由得 ，
所以 ，
因為是的必要不充分條件，所以?,
所以，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為.
19. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）①用定義證明函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；
②判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，請直接寫出結(jié)果；
（3）根據(jù)你對該函數(shù)的理解，在坐標(biāo)系中直接作出函數(shù)的圖象.
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②上單調(diào)遞增
（3）圖像見解析
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性，結(jié)合題設(shè)條件即可求得的解析式；
（2）①利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；②在①的基本上繼續(xù)判斷即可；
（3）利用（1）與（2）中的結(jié)論，結(jié)合的單調(diào)性與奇偶性即可作圖.
【小問1詳解】
因為當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，則，
又是定義在上的奇函數(shù)，所以，且，
所以.
【小問2詳解】
①設(shè)，則，，
所以，
因為，所以，
且，則，
所以，即，故在上是單調(diào)遞減函數(shù)．
②在上單調(diào)遞增，理由如下：
當(dāng)時，，，則，
所以在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
又是定義在上的奇函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以的圖象如圖，
.
20. 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系；，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理?施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價為20元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）
（1）求的解析式；
（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）
（2）當(dāng)施用肥料為千克時，該水果單株最大利潤，最大利潤為元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用銷售額減去成本投入可得出利潤解析式；
（2）利用分段函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式計算最值即可得解.
【小問1詳解】
依題意，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
所以；
小問2詳解】
當(dāng)時，，
此時由二次函數(shù)性質(zhì)可知；
當(dāng)時，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；
綜上，當(dāng)施用肥料為千克時，該水果單株最大利潤，最大利潤為元.
21. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域和值域：
（2）若為非零實數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為.
①求；
②確定滿足的實數(shù)，直接寫出所有的值組成的集合.
【答案】（1）定義域為；值域為
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)根式的概念可得定義域，再計算，結(jié)合二次函數(shù)值域求解可得值域；
（2）①令，設(shè)函數(shù)，，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論求解即可；②分類討論的取值范圍，結(jié)合的解析式即可得解.
小問1詳解】
因為，所以，則，
又，
當(dāng)時，，
所以，又，
所以；
【小問2詳解】
依題意，得，
令，則，
令，，
當(dāng)時，
此時二次函數(shù)對稱軸，開口向上，則.
當(dāng)時，此時對稱軸，
當(dāng)，即時，開口向下，則；
當(dāng)，即，對稱軸，開口向下，
則，
當(dāng)，即時，開口向下，；
綜上，.
②當(dāng)時，，則，解得或（舍去）；
當(dāng)時，，則，解得（舍去）；
當(dāng)時，，則，解得（舍去）；
當(dāng)時，，則；
當(dāng)時，，則，解得（舍去）；
當(dāng)時，，則，解得（舍去）；
綜上，或，即.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握分類討論的方法，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合軸動區(qū)間定即可得解.
22. 已知函數(shù).
（1）求關(guān)于的不等式的解集，
（2）若對任意的正實數(shù)，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意化簡不等式得，從而分類討論即可得解；
（2）由題意可得，然后分，和三種情況討論的最大值，從而可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為，
所以由，得，
化簡得，即，即，
當(dāng)時，該不等式無解，
當(dāng)時，不等式化為，解得或，
當(dāng)時，不等式化為，解得或，
綜上，當(dāng)時，的解集為，
當(dāng)時，的解集為，
當(dāng)時，的解集為.
【小問2詳解】
因為對任意的正實數(shù)，存在，使得，
所以，
易知當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以時，，且，
因為，所以，
當(dāng)，即時，，
因為，所以，所以；
當(dāng)，即時，令，得，
所以，故；
當(dāng)，即時，所以，
因為，所以，所以；
綜上，，所以的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第2小題的解決關(guān)鍵在于分類討論的正負(fù)情況，從而確定，由此得解.

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