江蘇省無(wú)錫市丁蜀區(qū)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九上開學(xué)經(jīng)典試題【含答案】

這是一份江蘇省無(wú)錫市丁蜀區(qū)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)九上開學(xué)經(jīng)典試題【含答案】，共23頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1、（4分）四邊形的四條邊長(zhǎng)依次為a、b、c、d，其中a，c為對(duì)邊且滿足，那么這個(gè)四邊形一定是（ ）
A．任意四邊形B．對(duì)角線相等的四邊形
C．平行四邊形D．對(duì)角線垂直的四邊形
2、（4分）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是二項(xiàng)方程B．是二元二次方程
C．是分式方程D．是無(wú)理方程
3、（4分） 如圖，在周長(zhǎng)為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
4、（4分）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（ ）
A．∠A=∠BB．∠A=∠CC．AC=BDD．AB⊥BC
5、（4分）如圖，每個(gè)圖案都由若干個(gè)“●”組成，其中第①個(gè)圖案中有7個(gè)“●”，第②個(gè)圖案中有13個(gè)“●”，…，則第⑨個(gè)圖案中“●”的個(gè)數(shù)為( )
A．87B．91C．103D．111
6、（4分）有一組數(shù)據(jù)如下：3，a，4，6，7，它們的平均數(shù)是5，那么這組數(shù)據(jù)的方差是（ ）
A．10B．C．D．2
7、（4分）已知直線（m，n為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-4）和（3，0），則關(guān)于x的方程的解為
A．B．C．D．
8、（4分）如圖,Rt△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,DE⊥AD交AB于點(diǎn)E,M為AE的中點(diǎn),BF⊥BC交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,BD=4,CD=3.下列結(jié)論：①∠AED=∠ADC;② ;③ACBE=12;④3BF=4AC;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( )
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
9、（4分）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是則這組數(shù)據(jù)的方差為__________.
10、（4分）如圖，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，連接CE．若AE＝2，∠DCE＝30°，則菱形的邊長(zhǎng)為________．
11、（4分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處（不與B、D重合），折痕為EF，若BC＝4，BG＝3，則GE的長(zhǎng)為________．
12、（4分）如圖，在矩形中，，點(diǎn)和點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓鼐匦蔚倪呥\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)和點(diǎn)的速度分別為和，當(dāng)四邊形初次為矩形時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為__________．
13、（4分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5 cm，是邊上一點(diǎn)，cm.動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為2 cm/s ，的垂直平分線交于，交于.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，的值為______.
三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）
14、（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，CD＝1，延長(zhǎng)AC到E，使AE＝AB，連接DE，BE．
(1)求BD的長(zhǎng)；
(2)求證：DA＝DE．
15、（8分）（1）計(jì)算：（-1）2019-|-4|+（3.14-π）0+（）-1
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（1-）÷，再?gòu)?1，0，1和2中選一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為x的值代入求值．
16、（8分）某學(xué)校為了改善辦學(xué)條件，計(jì)劃購(gòu)置一批電子白板和一批筆記本電腦，經(jīng)投標(biāo)，購(gòu)買1塊電子白板比買3臺(tái)筆記本電腦多3000元，購(gòu)買4塊電子白板和5臺(tái)筆記本電腦共需80000元．
（1）求購(gòu)買1塊電子白板和一臺(tái)筆記本電腦各需多少元？
（2）根據(jù)該校實(shí)際情況，需購(gòu)買電子白板和筆記本電腦的總數(shù)為396，要求購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)2700000元，并購(gòu)買筆記本電腦的臺(tái)數(shù)不超過(guò)購(gòu)買電子白板數(shù)量的3倍，該校有哪幾種購(gòu)買方案？
（3）上面的哪種購(gòu)買方案最省錢？按最省錢方案購(gòu)買需要多少錢？
17、（10分）如圖，⊿是直角三角形，且,四邊形是平行四邊形,為的中點(diǎn)，平分,點(diǎn)在上，且.
求證：
18、（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AB上的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=2DE，連接CE、AF
（1）證明：AF=CE；
（2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，試判斷四邊形ACEF的形狀并說(shuō)明理由．
B卷（50分）
一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
19、（4分）在一個(gè)矩形中，若一個(gè)角的平分線把一條邊分成長(zhǎng)為3cm和4cm的兩條線段，則該矩形周長(zhǎng)為_________
20、（4分）已知分式方程+=，設(shè)，那么原方程可以變形為__________
21、（4分）如圖，在中，是的角平分線，，垂足為E，，則的周長(zhǎng)為________．
22、（4分）若分式方程有增根x＝2，則a＝___．
23、（4分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)F，若菱形ABCD的周長(zhǎng)是24，則EF=______.
二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）
24、（8分）如圖所示，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由．
25、（10分）如圖，四邊形ABCD中， BA=BC， DA=DC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”， 其對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)M，請(qǐng)你猜想關(guān)于箏形的對(duì)角線的一條性質(zhì)，并加以證明.
猜想：
證明：
26、（12分）已知點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE.
(1)如圖1，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，四邊形的面積為.
①證明:;
②求線段的長(zhǎng).
(2)如圖2，若，，，求線段，的長(zhǎng).
參考答案與詳細(xì)解析
一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1、C
【解析】
題中給出的式子我們不能直觀的知道四邊形的形狀，則我們可以先首先把
變形整理，先去括號(hào)，再移項(xiàng)之后，可利用完全平方差的公式得到邊之間的關(guān)系.從而判斷四邊形的形狀.
【詳解】
兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加得零，只有0+0=0這種情況
故
所以
故得到兩組對(duì)邊相等，則四邊形為平行四邊形
故答案為C
本題通過(guò)式與形的結(jié)合，考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的判定.需要了解的知識(shí)點(diǎn)有：兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加得零，只有0+0=0這種情況；兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.
2、A
【解析】
根據(jù)整式方程、分式方程和無(wú)理方程的概念逐一判斷即可得．
【詳解】
A．方程是一般式，且方程的左邊只有2項(xiàng)，此方程是二項(xiàng)方程，此選項(xiàng)正確；
B．x2y?y＝2是二元三次方程，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．是一元一次方程，屬于整式方程，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．是一元二次方程，屬于整式方程；
故選A．
本題主要考查無(wú)理方程，解題的關(guān)鍵是掌握整式方程、分式方程和無(wú)理方程的定義．
3、C
【解析】
試題分析：作F點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F′，則PF=PF′，連接EF′交BD于點(diǎn)P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F′在一條直線上時(shí)，EP+FP的值最小，此時(shí)EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四邊形ABCD為菱形，周長(zhǎng)為12，
∴AB=BC=CD=DA=1，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四邊形AEF′D是平行四邊形，
∴EF′=AD=1．
∴EP+FP的最小值為1．
故選C．
考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題
4、B
【解析】
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【詳解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確；
B、∠A=∠C不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，錯(cuò)誤；
C、AC=BD，對(duì)角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”是解題的關(guān)鍵.
5、D
【解析】
根據(jù)第①個(gè)圖案中“●”有：1+3×（0+2）個(gè)，第②個(gè)圖案中“●”有：1+4×（1+2）個(gè)，第③個(gè)圖案中“●”有：1+5×（2+2）個(gè)，第④個(gè)圖案中“●”有：1+6×（3+2）個(gè)，據(jù)此可得第⑨個(gè)圖案中“●”的個(gè)數(shù)．
【詳解】
解：∵第①個(gè)圖案中“●”有：1+3×（0+2）=7個(gè)，
第②個(gè)圖案中“●”有：1+4×（1+2）=13個(gè)，
第③個(gè)圖案中“●”有：1+5×（2+2）=21個(gè)，
第④個(gè)圖案中“●”有：1+6×（3+2）=31個(gè)，
…
∴第9個(gè)圖案中“●”有：1+11×（8+2）=111個(gè)，
故選：D．
本題考查規(guī)律型：圖形的變化，解題的關(guān)鍵是將原圖形中的點(diǎn)進(jìn)行無(wú)重疊的劃分來(lái)計(jì)數(shù)．
6、D
【解析】
∵3、a、4、6、7，它們的平均數(shù)是5，
∴（3+a+4+6+7）=5，
解得，a=5
S2=[（3-5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）2]
=2，
故選D．
7、C
【解析】
將點(diǎn)（0，?4）和（1，0）代入y＝mx＋n，求出m，n的值，再解方程mx?n＝0即可．
【詳解】
解：∵直線y＝mx＋n（m，n為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，?4）和（1，0），
∴n＝?4，1m＋n＝0，解得：m＝，n＝?4，
∴方程mx?n＝0即為：x＋4＝0，解得x＝?1．
故選：C．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解一元一次方程．求出m，n的值是解題的關(guān)鍵．
8、C
【解析】
選項(xiàng)①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC；
②易證△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于6；
③根據(jù)相似三角形的判定定理得出△BED∽△BDA，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
④連接DM，可證DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解．
【詳解】
∠AED=90°?∠EAD,∠ADC=90°?∠DAC，
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC.
故①選項(xiàng)正確；
∵∠EAD=∠DAC,∠ADE=∠ACD=90°,
∴△ADE∽△ACD，得DE:DA=DC:AC=3:AC，但AC的值未知，
故②不一定正確；
由①知∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE:DA=BE:BD，由②知DE:DA=DC:AC，
∴BE:BD=DC:AC，
∴AC?BE=BD?DC=12.
故③選項(xiàng)正確；
連接DM，則DM=MA.
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM:MC=BD:DC=4:3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF:AC=FM:MC=4:3，
∴3BF=4AC.
故④選項(xiàng)正確.
綜上所述，①③④正確，共有3個(gè).
故選C.
此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線.
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
9、8
【解析】
根據(jù)平均數(shù)的公式計(jì)算出x后，再運(yùn)用方差的公式即可解出本題．
【詳解】
x=6×5?2?6?10?8=4，
S=[(2?6) +(6?6) +(4?6) +(10?6) +(8?6) ]=×40=8，
故答案為：8.
此題考查算術(shù)平均數(shù)，方差，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則
10、
【解析】
由四邊形ABCD為菱形性質(zhì)得DC∥AB，則同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得∠CDE+∠DEB=180°，
結(jié)合DE⊥AB，則DE⊥DC，已知∠DCE=30°，設(shè)DE=x, 用勾股定理把DC、AD、和DE用含x的代數(shù)式表示，在Rt△AED中，利用勾股列關(guān)系式求得x=， 則.
【詳解】
解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴DC∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∵∠DCE=30°，
設(shè)DE=x, 則EC=2x，
，
∴AD=DC=，
在Rt△AED中，有AD2=DE2+AE2 ，
解得x=，
，
故答案為：.
本題考查菱形的基本性質(zhì)，能夠靈活運(yùn)用勾股定理是本題關(guān)鍵.
11、.
【解析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，以及∠ABC=120°，可以得到△ABD△BCD都是等邊三角形，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的意義，可以找出△BGE∽△DFG，對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)AF=x、AE=y，由比例式列出方程，解出y即可．
【詳解】
解：∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=60°，
∴AB=BC=CD=DA=BD=3+1=4，
∴∠ADB=∠ABD=60°，
由折疊得：AF=FG，AE=EG，∠EGF=∠A=60°，
∵∠DFG+∠DGF=180°-60°=120°，∠BGE+∠DGF=180°-60°=120°，
∴∠DFG=∠BGE，
∴△BGE∽△DFG，
∴ ，
設(shè)AF=x=FG，AE=y=EG，則：DF=4-x，BE=4-y，
即： ，
當(dāng) 時(shí)，即：x＝ ，
當(dāng) 時(shí)，即：x＝ ，
∴ ，
解得：y1=0舍去，y2=，
故答案為：．
本題考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及分式方程等知識(shí)，根據(jù)折疊和菱形等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到關(guān)于EG的關(guān)系式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
12、1
【解析】
根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得BC與AD的關(guān)系，根據(jù)矩形的判定定理，可得BP＝AQ，構(gòu)建一元一次方程，可得答案．
【詳解】
解；設(shè)最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，由BP＝AQ得
3x＝20?2x．
解得x＝1，
故答案為：1．
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，能根據(jù)矩形的性質(zhì)得出方程是解此題的關(guān)鍵．
13、2
【解析】
連接ME，根據(jù)MN垂直平分PE，可得MP=ME，當(dāng)時(shí)，BC=MP=5，所以可得EM=5，AE=3，可得AM=DP=4，即可計(jì)算出t 的值.
【詳解】
連接ME
根據(jù)MN垂直平分PE
可得為等腰三角形，即ME=PM





故答案為2.
本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，這類題目是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的常考點(diǎn)，必須掌握方法.
三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）
14、 (1)BD＝1；(1)證明見解析.
【解析】
（1）根據(jù)題意可知∠CAB=60°，想辦法證明DA=DB=1CD即可；
（1）由題意可知三角形ABE是等邊三角形，然后在證明Rt△DCA≌Rt△DCE，即可求證．
【詳解】
(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝60°＝1×∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°；，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°，
∴BD＝DA＝1CD＝1．
(1)∵AE＝AB，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠EAB＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∵BC⊥AE，
∴AC＝CE，
∵∠ACD＝∠DCE＝90°，CD＝CD，
∴Rt△DCA≌Rt△DCE(SAS)，
∴DA＝DE．
本題主要考查了含30°角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，此題難度不大．
15、（1）-1；（2）x=-1時(shí)，原式=．
【解析】
（1）根據(jù)絕對(duì)值．零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪可以解答本題；
（2）根據(jù)分式的減法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后從-1，0，1和2中選一個(gè)使得原分式有意義的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．
【詳解】
解：（1）（-1）2019-|-4|+（3.14-π）0+（）-1
=（-1）-4+1+3
=-1；
（2）（1-）÷
=
=
=，
當(dāng)x=-1時(shí)，原式=．
本題考查分式的化簡(jiǎn)求值．零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法．
16、（1）購(gòu)買1塊電子白板需要15000元，一臺(tái)筆記本電腦需要4000元（2）有三種購(gòu)買方案：方案一：購(gòu)買筆記本電腦295臺(tái)，則購(gòu)買電子白板101塊；方案二：購(gòu)買筆記本電腦296臺(tái)，則購(gòu)買電子白板100塊；方案三：購(gòu)買筆記本電腦297臺(tái)，則購(gòu)買電子白板99塊.（3）當(dāng)購(gòu)買筆記本電腦297臺(tái)、購(gòu)買電子白板99塊時(shí)，最省錢，共需費(fèi)用2673000元
【解析】
（1）設(shè)購(gòu)買1塊電子白板需要x元，一臺(tái)筆記本電腦需要y元，由題意得等量關(guān)系：①買1塊電子白板的錢=買3臺(tái)筆記本電腦的錢+3000元，②購(gòu)買4塊電子白板的費(fèi)用+5臺(tái)筆記本電腦的費(fèi)用=80000元，由等量關(guān)系可得方程組，解方程組可得答案.
（2）設(shè)購(gòu)買購(gòu)買電子白板a塊，則購(gòu)買筆記本電腦（396﹣a）臺(tái)，由題意得不等關(guān)系：①購(gòu)買筆記本電腦的臺(tái)數(shù)≤購(gòu)買電子白板數(shù)量的3倍；②電子白板和筆記本電腦總費(fèi)用≤2700000元，根據(jù)不等關(guān)系可得不等式組，解不等式組，求出整數(shù)解即可.
（3）由于電子白板貴，故少買電子白板，多買電腦，根據(jù)（2）中的方案確定買的電腦數(shù)與電子白板數(shù)，再算出總費(fèi)用.
【詳解】
（1）設(shè)購(gòu)買1塊電子白板需要x元，一臺(tái)筆記本電腦需要y元，由題意得：
，解得：.
答：購(gòu)買1塊電子白板需要15000元，一臺(tái)筆記本電腦需要4000元.
（2）設(shè)購(gòu)買購(gòu)買電子白板a塊，則購(gòu)買筆記本電腦（396﹣a）臺(tái)，由題意得：
，解得：.
∵a為整數(shù)，∴a=99，100，101，則電腦依次買：297，296，295.
∴該校有三種購(gòu)買方案：
方案一：購(gòu)買筆記本電腦295臺(tái)，則購(gòu)買電子白板101塊；
方案二：購(gòu)買筆記本電腦296臺(tái)，則購(gòu)買電子白板100塊；
方案三：購(gòu)買筆記本電腦297臺(tái)，則購(gòu)買電子白板99塊.
（3）設(shè)購(gòu)買筆記本電腦數(shù)為z臺(tái)，購(gòu)買筆記本電腦和電子白板的總費(fèi)用為W元，
則W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000，
∵W隨z的增大而減小，∴當(dāng)z=297時(shí)，W有最小值=2673000（元）
∴當(dāng)購(gòu)買筆記本電腦297臺(tái)、購(gòu)買電子白板99塊時(shí)，最省錢，共需費(fèi)用2673000元.
17、證明見解析.
【解析】
分析：延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接AD．構(gòu)建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），則由該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論.
詳解：證明：延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接AD．
∵四邊形BCDE是平行四邊形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED與△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE.
點(diǎn)睛：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
18、（1）證明見解析；（2）四邊形ACEF是菱形，理由見解析.
【解析】
（1）由三角形中位線定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四邊形ACEF是平行四邊形，即可得出AF=CE；
（2）由直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，證出△AEC是等邊三角形，得出AC=CE，即可得出結(jié)論．
【詳解】
試題解析：（1）∵點(diǎn)D，E分別是邊BC，AB上的中點(diǎn)，∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴AF=CE；
（2）當(dāng)∠B=30°時(shí)，四邊形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等邊三角形，∴AC=CE，
又∵四邊形ACEF是平行四邊形，∴四邊形ACEF是菱形．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等，結(jié)合圖形，根據(jù)圖形選擇恰當(dāng)?shù)闹R(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．
一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
19、20或22
【解析】
根據(jù)題意矩形的長(zhǎng)為7，寬為3或4，因此計(jì)算矩形的周長(zhǎng)即可.
【詳解】
根據(jù)題意可得矩形的長(zhǎng)為7
當(dāng)形成的直角等腰三角形的直角邊為3時(shí)，則矩形的寬為3
當(dāng)形成的直角等腰三角形的直角邊為4時(shí)，則矩形的寬為4
矩形的寬為3或4
周長(zhǎng)為或
故答案為20或22
本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于確定寬的長(zhǎng).
20、=
【解析】
【分析】運(yùn)用整體換元法可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則分式方程+=，可以變形為=
故答案為：=
【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：分式方程.解題關(guān)鍵點(diǎn)：掌握整體換元方法.
21、；
【解析】
在△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形，利用邊之間的關(guān)系，得出各邊長(zhǎng)，從而得出△ABC的周長(zhǎng)．
【詳解】
∵∠C=90°，∠B=30°，DE=1
∴在Rt△DEB中，DB=2，EB=
∵AD是∠CAB的角平分線
∴CD=DE=1，∠CAD=∠DAE=30°
∴在Rt△ACD中，AD=2，
同理，在Rt△ADE中，AD=2，AE=
∴△ABC的周長(zhǎng)=AE+EB+BD+DC+CA=3+3
故答案為：3+3．
本題考查含30°角的直角三角形、角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是得出△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形．
22、﹣2.
【解析】
先化簡(jiǎn)分式方程，再根據(jù)分式方程有增根的條件代入方程，最后求出方程的解即可．
【詳解】
去分母得：x+2+ax＝3x﹣6，
把x＝2代入得：4+2a＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案為：﹣2.
此題考查分式方程的解，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則
23、3
【解析】
由菱形的周長(zhǎng)為24，可求菱形的邊長(zhǎng)為6，則可以求EF.
【詳解】
解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是24，∴AB=AB=BC=DC=24÷4=6，∵F為對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)，∴F為DB的中點(diǎn)，又∵E為AD的中點(diǎn)，∴EF=AB=3，故答案為3.
本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.
二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）
24、△ABC和△DEF相似，理由詳見解析
【解析】
首先根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)，求出△ABC和△DEF的三邊長(zhǎng)，然后判斷它們是否對(duì)應(yīng)成比例即可．
【詳解】
△ABC和△DEF相似，理由如下：
由勾股定理，得：AC＝，AB＝2，BC＝5，
DF＝2，DE＝4， EF＝2，
，
所以，△ABC∽△DEF.
本題考查相似三角形的判定，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊成比例即可.
25、箏形有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，即BD平分∠ABC且BD平分∠ADC；證明見解析
【解析】
利用SSS定理證明△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB，從而可寫出關(guān)于箏形的對(duì)角線的一條性質(zhì)，箏形有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
【詳解】
解：箏形有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，即BD平分∠ABC且BD平分∠ADC
證明：∵在△ABD和△CBD中
BA=BC，DA=DC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SSS)
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB
即BD平分∠ABC，且BD平分∠ADC.
本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握SSS定理及全等三角形對(duì)應(yīng)角相等是本題的解題關(guān)鍵.
26、（1）①證明見解析；②AE=；（2）,.
【解析】
（1）①由正方形性質(zhì)可得：AB＝BC，∠ABC＝90°，再證明△ABF≌△BCE（AAS）即可；②設(shè)AF＝BE＝m，由四邊形ABCE的面積＝△ABE面積＋△BCE面積，可列方程求出AF，然后利用勾股定理可得AE的長(zhǎng)；
（2）過(guò)A作AF⊥CE于F，連接AC，由，可得，再由△AEF、△ABC均為等腰直角三角形及勾股定理即可求得AE和CE的長(zhǎng)．
【詳解】
解：（1）①證明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°
∴∠ABF＋∠CBE＝90°
∵AF⊥BE
∴∠AFB＝∠BEC＝90°
∴∠ABF＋∠BAF＝90°
∴∠BAF＝∠CBE
∴△ABF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE；
②∵△ABF≌△BCE（AAS）
∴BF＝CE＝2，設(shè)AF＝BE＝m，
∵四邊形ABCE的面積為．
∴S△BCE＋S△ABE＝，即×2m＋m2＝，
解得：m1＝5，m2＝?7（舍），
∴AF＝BE＝5，EF＝3
∴AE＝；
（2）如圖2，過(guò)A作AF⊥CE于F，連接AC，則∠F＝90°，
∵∠AEC＝135°
∴∠AEF＝180°?∠AEC＝45°＝∠EAF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝AE，
∵，即：，
∴EF＋CE＝，即CF＝，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝4
∴AC＝，
∴，
∴AE＝AF＝4，EF＝AF＝，
∴CE＝CF?EF＝．
本題考查了正方形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解．
題號(hào)
一
二
三
四
五
總分
得分