一、單選題
1．（23-24七年級上·江蘇揚州·期中）有一列按規(guī)律排列的數(shù)：，從左邊第1個數(shù)開始將各位數(shù)字相加，加到第______個數(shù)字時，所得的和等于．（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年級下·江蘇泰州·期中）發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題是常見解題策略之一．已知數(shù)，則這個數(shù)的個位數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（23-24七年級上·江蘇徐州·期中）正方形在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、B對應的數(shù)分別為和，若正方形繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點C所對應的數(shù)為0；則翻轉(zhuǎn)2022次后，點C所對應的數(shù)是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
4．（23-24七年級上·江蘇連云港·期中）有依次排列的兩個不為零的整式，用后一個整式與前一個整式求和后得到新的整式，用整式與前一個整式作差后得到新的整式，用整式與前一個整式求和后得到新的整式，依次進行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列說法：①當時，；②；③；④．其中，正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題
5．（23-24七年級下·江蘇鹽城·期中）探索下列式子的規(guī)律：，，，…，請計算： ．
6．（23-24七年級上·江蘇無錫·期中）對于任意正整數(shù)，若為偶數(shù)則除以2，若為奇數(shù)則乘3再加1，在這樣一次變化下，我們得到一個新的自然數(shù)，在1937年LtharCllatz提出了一個問題：如此反復這種變換，是否對于所有的正整數(shù)，最終都能變換到1呢？這就是數(shù)學中著名的“考拉茲猜想”．如果某個正整數(shù)通過上述變換能變成1，我們就把第一次變成1時所經(jīng)過的變換次數(shù)稱為它的路徑長，例如5經(jīng)過5次變成1，則路徑長．若輸入數(shù)，變換次數(shù)，當時，則的最小值為 ．
7．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）已知，在多項式中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算；稱此為“絕對操作”．例如：，，…下列說法：
① 不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；
② 存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；
③ 若只添加1個絕對值符號，“絕對操作”共有4種不同運算結(jié)果：
④ 所有的“絕對操作”共有5種不同運算結(jié)果．
其中正確的是 ． （填序號）
8．（23-24七年級上·江蘇無錫·期中）把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：……，現(xiàn)用等式表示正奇數(shù)M是第i組第j個數(shù)（從左往右數(shù)），如，則 ．
9．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）桌子上若有5只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過至少3次翻轉(zhuǎn)可使所有杯子的杯口全部朝下；若有6只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過至少2次翻轉(zhuǎn)可使所有杯子的杯口全部朝下；若有7只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過至少3次翻轉(zhuǎn)可使所有杯子的杯 口全部朝下； ……；若有2023只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過至少 次翻轉(zhuǎn)可使所有杯子的杯口朝下．
10．（23-24七年級上·江蘇徐州·期中）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若用整數(shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)，如表示整數(shù)9，則表示整數(shù)是 ．

三、解答題
11．（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）[觀察下列等式]
，，，
將以上三個等式兩邊分別相加得：
[嘗試計算]：
（1） ；
（2） ；
[運用說明]：
（3）設…試判斷S值是大于1，還是小于1．請說明理由．
12．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，已知數(shù)軸上有、、三個點，它們表示的數(shù)分別是：，，．

(1)填空：______，______；
(2)若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動．試探索：的值是否隨著時間t的變化而改變?請說明理由；
(3)現(xiàn)有動點、都從點出發(fā)，點以每秒個單位長度的速度向終點移動；當點移動到點時，點才從點出發(fā)，并以每秒個單位長度的速度向右移動，且當點到達點時，點就停止移動．設點移動的時間為秒，試用含的代數(shù)式表示、兩點間的距離．
13．（23-24七年級上·江蘇南通·期中）關(guān)于x的整式，當x取任意一組相反數(shù)m與時，若整式的值相等，則該整式叫做“偶整式”；若整式的值互為相反數(shù)，則該整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”．
(1)若整式A是關(guān)于x的“奇整式”，當x取1與時，對應的整式值分別為，，則___________；
(2)判斷式子是“偶整式”還是“奇整式”，并說明理由；
(3)對于整式，可以看作一個“偶整式”與“奇整式”的和．
①這個“偶整式”是___________，“奇整式”是___________；
②當x分別取，，，0，1，2，3時，這七個整式的值之和是___________．
14．（23-24七年級上·江蘇無錫·期中）我們把按一定規(guī)律排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列，若對于一個數(shù)列中依次排列的相鄰的三個數(shù)m、n、p，總滿足，則稱這個數(shù)列為理想數(shù)列．
(1)若數(shù)列2，，a，，b，…，是理想數(shù)列，則 ， ；
(2)若數(shù)列x，，4，…，是理想數(shù)列，求代數(shù)式的值．
(3)若數(shù)列…，m，n，p，q…，是理想數(shù)列，且，求代數(shù)式的值．
15．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）操作發(fā)現(xiàn)．
操作一：如圖1，已知點A、M所表示的數(shù)分別為、1，將點A繞點M旋轉(zhuǎn)得到點B，此時點B所表示的數(shù)為4，我們稱點B是點A關(guān)于點M的映射點；
記作：或；
操作二：如圖2，已知點M和線段，將點A、M繞同一點旋轉(zhuǎn)，使點A和點B重合，此時點M所對應的點用N表示，我們稱點N是點M關(guān)于線段的映射點；
記作：；如：；
(1)利用圖3、圖4，直接填空：______；______；
(2)若A、B兩點所表示的數(shù)分別是、，；求點C所表示的數(shù)；（用含a、b的代數(shù)式表示）
(3)點A表示的數(shù)為a，點B與點A的距離為4，點C是數(shù)軸上一動點，且，；
①點A在運動過程中，D、E兩點之間的距離是否為定值，如果是，請直接寫出這個值，如果不是，請求出它的取值范圍；
②當點C表示的數(shù)是時，B、D兩點之間距離剛好為1，若點B在點A右側(cè)，求a的值．
16．（23-24七年級上·江蘇常州·期中）【操作觀察】任意一張三角形紙片有3個頂點，在三角形內(nèi)部依次增畫點（所畫的點不在三角形的邊上且互相不重合）．
第1次在它的內(nèi)部增畫1個點，此時三角形紙片內(nèi)部共有1個點；
第2次在它的內(nèi)部繼續(xù)增畫2個點，此時三角形紙片內(nèi)部共有個點；
第3次在它的內(nèi)部繼續(xù)增畫3個點，此時三角形紙片內(nèi)部共有個點；
…，
第n次在它的內(nèi)部繼續(xù)增畫n個點．此時三角形紙片內(nèi)部共有m個點．
【動手實踐】第n次繼續(xù)增畫點后在三角形紙片內(nèi)部共有m個點，以三角形紙片上個點為頂點，把三角形紙片剪成若干個小三角形紙片，設最多可以剪得個小三角形．
【思考解答】
(1)第4次繼續(xù)增畫點后，______；第n次繼續(xù)增畫點后，______（用含有n的代數(shù)式表示）；
(2)第1次增畫點后，如圖①，以4個點為頂點，將原三角形紙片剪成小三角形，最多可以剪得3個小三角形，所以；第2次繼續(xù)增畫點后，如圖②，以6個點為頂點，最多可以剪得7個小三角形，所以；第3次繼續(xù)增畫點后，以9個點為頂點，可得______；第n次繼續(xù)增畫點后，可得______（用含有n的代數(shù)式表示）；
(3)第n次繼續(xù)增畫點后，可得個小三角形，第次繼續(xù)增畫點后，可得個小三角形，則______（用含有n的代數(shù)式表示）．
17．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）【課本探究】小明在學習《蘇科版七上·數(shù)學》課本第31頁“數(shù)學實驗室”中碰到如下問題：
如圖2-14，把筆尖放在數(shù)軸的原點，沿數(shù)軸先向左移動5個單位長度，再向右移動3個單位長度，這時筆尖停在“”的位置上．用算式可以將結(jié)果表示為：．

【深度思考】小明運用“由特殊到一般”的數(shù)學思想方法，得出結(jié)論：若表示數(shù)m的點向左平移個單位長度，得到的點表示的數(shù)為；向右平移個單位長度，得到的點表示的數(shù)為 ．
【實際應用】數(shù)軸上A、B、C、D 四點表示的數(shù)分別為a，b，c，d，且點A向右移動1個單位長度到點B位置，點B向右移動個單位長度到點C位置，點C向右移動個單位長度到點D位置，
(1)當時，則 ； ； ；
(2)在（1）的條件下，若A、B兩點分別以2個單位長度每秒的速度向右運動，同時C、D兩點分別以1個單位長度每秒的速度向左運動，設運動時間為t秒，當A、B兩點中至少有一個點落在C、D之間時（不包含C、D兩點），求運動時間t的取值范圍是多少?
(3)若a，b，c，d這四個數(shù)的和與其中的三個數(shù)的和相等，，求出a可能的值．
(4)若a，b，c，d這四個數(shù)的積為正數(shù)，且這四個數(shù)的和與其中的兩個數(shù)的和相等．當n為任意正整數(shù)時，a始終為整數(shù)．求此時a與n之間的數(shù)量關(guān)系式 ．
18．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）[閱讀材料]
數(shù)軸是非常重要的數(shù)學工具，它可以使問題更加直觀．數(shù)軸上兩點間的距離，可以看作數(shù)軸上這兩點所對應的數(shù)差的絕對值．如圖1，數(shù)軸上有A、B、C三個點，表示的數(shù)分別為：、2、4，A、B兩點之間的距離為．
[初步感知]
（1）如圖1，A、C兩點之間的距離為_____；
（2）數(shù)軸上表示x和3兩點之間的距離為_____；
[拓展研究]
（1）數(shù)軸上有個動點表示的數(shù)是x，則的最小值是_____；
（2）已知，則的最大值是_____；
[實際應用]
某縣城可近似看作為一個正方形，如圖2，正方形的四個頂點處有四家快遞公司A、B、C、 D，它們分別有快遞車24輛、12輛、6輛、18輛．為迎接“雙十一”活動，使得各快遞公司的車輛數(shù)相同，允許一些快遞公司向相鄰公司調(diào)動車輛：那么一共調(diào)動的車輛數(shù)最小值為_____輛．（不考慮其他因素）
19．（23-24七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把某些式子或圖形看成一個整體，進行整體處理．它作為一種思想方法在數(shù)學學習中有廣泛的應用，因為一些問題按常規(guī)不容易求某一個（或多個）未知量時，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把某一組數(shù)或某一個代數(shù)式看作一個整體，找出整體與局部的聯(lián)系，從而找到解決問題的新途徑．例如，求的值，我們將作為一個整體代入，則原式．
【嘗試應用】
仿照上面的解題方法，完成下面的問題：
（1）如果，求的值；
（2）當時，代數(shù)式的值為，當時，求代數(shù)式的值；（用含的代數(shù)式表示）
【拓展應用】
（3）周末爸爸媽媽帶著小明和妹妹在小區(qū)的休閑區(qū)運動．爸爸和小明在休閑區(qū)的環(huán)形跑道上跑步，兩人相距20米，同時反向運動，小明的速度是，爸爸的速度是，經(jīng)過兩人第一次相遇．媽媽帶著妹妹做追逐游戲，妹妹在媽媽前面，兩人同時同向起跑，妹妹的速度是，媽媽的速度也是，經(jīng)過，媽媽追上妹妹．
①休閑區(qū)的環(huán)形跑道周長是_____________m；（用含的代數(shù)式表示）
②起跑時，妹妹站在媽媽前面_____________m；（用含的代數(shù)式表示）
③若休閑區(qū)的環(huán)形跑道周長是，起跑時妹妹站在媽媽前面，綜合上述信息求代數(shù)式的值．
20．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸上表示-3和5的位置，沿數(shù)軸做移動游戲，每次移動游戲規(guī)則：兩人先進行“石頭、剪刀、布”，而后根據(jù)輸贏結(jié)果進行移動．①若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度；
②若甲贏，則甲向東移動2個單位長度，同時乙向東移動1個單位長度；
③若乙贏，則甲向西移動1個單位長度，同時乙向西移動2個單位長度．
(1)從如圖的位置開始，若完成了1次移動游戲，甲、乙“石頭、剪刀、布”的結(jié)果為平局，則移動后甲、乙兩人相距 個單位長度；
(2)從如圖的位置開始，若完成了8次移動游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次都有輸有贏．設乙贏了n次，且他最終停留的位置對應的數(shù)為m．
①用含n的代數(shù)式表示m；
②求該位置距離原點O最近時n的值；
(3)從如圖的位置開始，當甲乙相遇時游戲結(jié)束，若進行了k次移動游戲后，甲與乙的位置相距3個單位長度，直接寫出k的值
參考答案：
1．B
【詳解】解：由題意可得：
該列數(shù)是以，個為一循環(huán)，
，
而，，
以個數(shù)為一組，加到第組的第個數(shù)時，和為，
即加到第個數(shù)時，所得的和等于，
故選B．
2．C
【詳解】解：∵的個位數(shù)是1，的個位數(shù)是2，的個位數(shù)是3，的個位數(shù)是4，的個位數(shù)是5，的個位數(shù)是6，的個位數(shù)是7，個位數(shù)是8，個位數(shù)是9，的個位數(shù)是0，
由此可發(fā)現(xiàn)：的個位數(shù)與n的個位數(shù)相同．
所以a的個位數(shù)應是：的結(jié)果的個位數(shù)，且該結(jié)果的個位數(shù)是5．
故選：C．
3．A
【詳解】解：翻轉(zhuǎn)1次后，點C所對應的數(shù)為0；
翻轉(zhuǎn)2次后，點C所對應的數(shù)為0；
翻轉(zhuǎn)3次后，點C所對應的數(shù)為1；
翻轉(zhuǎn)4次后，點C所對應的數(shù)為3；
翻轉(zhuǎn)5次后，點C所對應的數(shù)為4；
翻轉(zhuǎn)6次后，點C所對應的數(shù)為4；
翻轉(zhuǎn)7次后，點C所對應的數(shù)為5；
翻轉(zhuǎn)8次后，點C所對應的數(shù)為7；
翻轉(zhuǎn)9次后，點C所對應的數(shù)為8；
……
翻轉(zhuǎn)次后，點C所對應的數(shù)為；
翻轉(zhuǎn)次后，點C所對應的數(shù)為；
翻轉(zhuǎn)次后，點C所對應的數(shù)為；
翻轉(zhuǎn)次后，點C所對應的數(shù)為；
余2，
令，
，
翻轉(zhuǎn)2022次后，點C所對應的數(shù)為2020；
故選：A．
4．D
【詳解】解：由題意依次計算可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當時，，即①正確；
由，則②正確；
由變形過程中，不會出現(xiàn)整式為負的情況，故③錯誤；
觀察發(fā)現(xiàn)：，以此類推可得：，即，故④正確．
故選：D．
5．
【詳解】解：∵，，，
∴可推導一般性規(guī)律為：，
∴，
，
，
……
，
，
將等式左右同時相加得，，
∴，
解得，，
故答案為：．
6．3
【詳解】解：由輸出結(jié)果是1，倒推得到：
，
，
，
，
∴則n的可能值有4個，最小值為3，
故答案為：3．
7．③④/④③
【詳解】①當前兩項添加絕對值時：，運算結(jié)果與原多項式相等；故①錯誤；
②∵不可能變成，故不存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；故②錯誤；
③若只添加1個絕對值符號：；；
；
“絕對操作”共有4種不同運算結(jié)果；故③正確；
④由③知：只添加1個絕對值符號，“絕對操作”共有4種不同運算結(jié)果；
當添加個絕對值時：
∵，
∴當添加的兩個絕對值有一個是 時，最終結(jié)果跟只加一個絕對值的結(jié)果相同，
當添加的兩個絕對值不包含時，
；
綜上：所有的“絕對操作”共有5種不同運算結(jié)果．故④正確；
故答案為：③④．
8．
【詳解】由題意可知：第一組有1個奇數(shù)，第二組有3個奇數(shù)，第三組有5個奇數(shù)，…，則第n組有個奇數(shù)，
∴前n組共有個奇數(shù)．
∵2019是第個奇數(shù)，
∴可令，
∴，
∴2019在第32組，即；
∵前31組共有個奇數(shù)，
∴2019是第32組第個數(shù)，即．
∴故．
9．
【詳解】解：∵每次只翻轉(zhuǎn)3個杯子，且翻轉(zhuǎn)的次數(shù)要最小，
∴在杯子足夠的情況下，每次盡可能的需要把杯口朝上的杯子進行翻轉(zhuǎn)，
當杯子數(shù)n滿足（k為正整數(shù)），則翻轉(zhuǎn)次數(shù)最少為k次，
當杯子數(shù)n滿足（k為正整數(shù)），則前面每次翻轉(zhuǎn)3個杯口朝上的杯子，一共翻轉(zhuǎn)次，再翻轉(zhuǎn)一個杯口朝下，兩個杯口朝上的杯子，共1次，則剩下3個杯口朝上的杯子，最后再把3個杯口朝上的杯子翻轉(zhuǎn)一次即可，即此時翻轉(zhuǎn)次數(shù)最少為次，
當杯子數(shù)n滿足（k為正整數(shù)），則前面每次翻轉(zhuǎn)3個杯口朝上的杯子，一共翻轉(zhuǎn)次，則還剩下5個杯子的杯口朝上，最少需要翻轉(zhuǎn)3次，即此時翻轉(zhuǎn)次數(shù)最少為次，
∵，
∴有2023只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過至少 次翻轉(zhuǎn)可使所有杯子的杯口朝下，
故答案為：．
10．198
【詳解】解：若用整數(shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)，如表示整數(shù)9，表示的數(shù)是5，
，，
，
對所有數(shù)對有：，
，
故答案為：198．
11．（1）；（2）；（3）．
【詳解】解：（1）
；
故答案為：；
（2）
；
（3），理由如下，
∵，，，，，
又∵，，，，，
∴，，，，，
∴，
即，
∴．
12．(1)，；
(2)不變，理由見解析；
(3)當時，，當時，；當時，．
【詳解】（1），，
故答案為：，；
（2）不變，理由：
∵經(jīng)過秒后，、、三點所對應的數(shù)分別是，，，
∴，，
∴，
∴的值不會隨著時間的變化而改變；
（3）經(jīng)過秒后，、兩點所對應的數(shù)分別是，，
由解得，
當時，點還在點處，
∴，
當時，點在點的右邊，
∴，
當時，點在點的右邊，
∴．
13．(1)0
(2)奇整式；理由見解析
(3)①；②35
【詳解】（1）由定義可知，整式的值互為相反數(shù)，
故答案為：0；
（2）奇整式
理由：將代入中可得；
∵與互為相反數(shù)，
∴該式為奇整式；
（3）①，
∵，，
∴是偶整式，是奇整式．
②由于是偶整式，是奇整式，
∴當x分別取，，，0，1，2，3時，
的值分別為10,5,2,1,2，5,10；當x取互為相反數(shù)的值時的值也互為相反數(shù)，即和為0；
∴這七個整式的值之和是；
故答案為：35．
14．(1)5，；
(2)；
(3)．
【詳解】（1）解：，
，
，
故答案為：5，；
（2）由題意可知：
，
即，
；
（3）m，n，p，q，…，是理想數(shù)列，
，
，
，
，
，
，
，
即或，
．
15．(1)；
(2)
(3)①是；；②或4
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：；
根據(jù)題意得：．
故答案為：；
（2）解：∵，
∴為的中點，
∵A、B兩點所表示的數(shù)分別是、，
點表示的數(shù)為：
；
（3）解：①點A在運動過程中，D、E兩點之間的距離是定值；理由如下：
∵點A表示的數(shù)為a，點B與點A的距離為4，
∴點B表示的數(shù)為或，
設點C表示的數(shù)為x，點D表示的數(shù)為d，點E表示的數(shù)為e，
當點B表示的數(shù)為時，點B在點A的右側(cè)，
∵，
∴為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴的中點與的中點是同一個點，
∴，
∴，
∴
；
當點B表示的數(shù)為時，點B在點A的左側(cè)，
∵，
∴為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴的中點與的中點是同一個點，
∴，
∴，
∴
；
點A在運動過程中，D、E兩點之間的距離是定值4．
②∵點A表示的數(shù)為a，點B與點A的距離為4，點B在點A右側(cè)，
∴點B表示的數(shù)為，
設點D表示的數(shù)為d，
∵點C表示的數(shù)是，，
∴，
∴，
∵B、D兩點之間距離剛好為1，
∴，
即，
解得：或．
16．(1)10，
(2)13，
(3)
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：第4次在它的內(nèi)部繼續(xù)增畫4個點，此時三角形紙片內(nèi)部共有個點；
第n次繼續(xù)增畫點后，，
也可以寫成，
∴(共有n個這樣的數(shù))
∴
故答案為：10，；
（2）解：第3次畫點后，在原基礎上增加了3個點，就增加了個小三角形，，
第4次畫點后，在原基礎上增加了4個點，就增加了個小三角形，，
根據(jù)，，，，
∵，，，
∴
故答案為：13，；
（3）解：
故答案為：．
17．(1)，，
(2)當時，A、B兩點中至少有一個點落在C、D之間；
(3)或；
(4)．
【詳解】（1）解：∵，，，
而，
∴，，，
故答案為：，，；
（2）解：∵，，，，
∴，，
∴，則點B比點A先進入之間，
當點B比點C重合時，，，
∴；
當點A比點C重合時，，，
∴；
再移動后，點B比點D重合，再后點A比點D重合，最后均離開，
當點A比點D重合時，，，
∴；
∴當時，A、B兩點中至少有一個點落在C、D之間；
（3）解：若a，b，c，d這四個數(shù)的和與其中的三個數(shù)的和相等，則剩下的那個數(shù)就是0，
①當時，成立；
②當時，
∵，
∴，，則當時成立；
③當時，
∵，
∴，
∵，
∴，而，此情況不成立；
④當時，
∵，，，
∴，而，此情況不成立；
綜上，或；
（4）解：∵a，b，c，d這四個數(shù)的積為正數(shù)，且這四個數(shù)的和與其中的兩個數(shù)的和相等．
∴a，b，c，d是兩正兩負或四個都是正數(shù)（舍去），
又，，，，則，
當兩正兩負時，
①，則，
∴，不恒為整數(shù)，不成立；
②，則，
∴，不恒為整數(shù)，不成立；
③，則，
∴，成立；
④，則，
∴，不是整數(shù)，不成立；
綜上，．
18．[初步感知]：（1）5（2）[拓展研究]：（1）4（2）5[實際應用]：18
【詳解】解：[初步感知]：（1）A、C兩點之間的距離為；
故答案為：5；
（2）數(shù)軸上表示x和3兩點之間的距離為；
故答案為：；
[拓展研究]（1）表示數(shù)軸上到1的距離與到4的距離之和，
∴當在到之間時，有最小值為：；
故答案為：3；
（2）∵表示數(shù)軸上到1的距離與到的距離之和，
∴當在到1之間時，有最小值為；
同理：當在到2之間時，有最小值為；
∵；
∴，，
∴，
∴當，時，有最大值為；
故答案為：5；
[實際應用]∵，
∴每個站點最終都應該有15輛車，
∵只能從相鄰的公司調(diào)動，且一共調(diào)動的車輛數(shù)最小，
∴需要在調(diào)動車輛時，經(jīng)過的站點數(shù)量最小，且每個站點調(diào)入的車輛比調(diào)出的數(shù)量多，
∴先從站調(diào)動9輛車到站，從站調(diào)動3輛到站，
此時，站，站都是15輛車，站21輛，站9輛，
再從站調(diào)動6輛到站，此時站，站也都是15輛車，
共調(diào)動：輛；
故答案為：．
19．（1）；（2）；（3）①；②，③
【詳解】解：（1）∵，
∴
；
（2）當時，代數(shù)式的值為，
∴，
∴，
∴當時，

；
（3）①根據(jù)題意，得跑道周長為；
②根據(jù)題意，得妹妹站在媽媽前面；
③根據(jù)題意，得，，
∴，，
∴
．
20．(1)6
(2)①；②該位置距離原點O最近時n的值是4
(3)k的值為3或4或5
【詳解】（1）解：完成了1次移動游戲，結(jié)果為平局，則甲向東移動1個單位長度到，乙向西移動1個單位長度到4，
移動后甲、乙兩人相距個單位，
故答案為：6；
（2）解：①乙贏了次，
乙輸了次．
乙贏，則甲向西移動1個單位長度，同時乙向西移動2個單位長度，
乙贏了次后，乙停留的數(shù)字為：．
若甲贏，則甲向東移動2個單位長度，同時乙向東移動1個單位長度；
乙輸了次后，乙停留的數(shù)字為：，
根據(jù)題意得：，
．
②為正整數(shù)，
當時，該位置距離原點最近；
（3）解：由題意可得剛開始兩人的距離為8，
若平局，則甲向東移動1個單位長度，同時乙向西移動1個單位長度，
若平局，移動后甲乙的距離縮小2個單位．
若甲贏，則甲向東移動2個單位長度，同時乙向東移動1個單位長度，
若甲贏，移動后甲乙的距離縮小1個單位．
若乙贏，則甲向西移動1個單位長度，同時乙向西移動2個單位長度．
若乙贏，移動后甲乙的距離縮小1個單位．
甲乙每移動一次甲乙的距離縮小2個單位或1個單位．
甲與乙的位置相距3個單位，共需縮小個5單位．
當沒有平局的情況，需要移5次，即；
當有一次平局的情況，還需要移3次，即；
當有兩次平局的情況，還需要移1次，即；
的值為3或4或5

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