一、選擇題
1．已知全集，集合，則( )
A.B.C.D.
2．已知，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3．對(duì)變量x，y由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u，v由觀測(cè)數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖2.表示變量x，y之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量u，v之間的線性相關(guān)系數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且B.變量x與y呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
C.變量u與v呈現(xiàn)正相關(guān)，且D.變量u與v呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且
4．函數(shù)的部分圖象大致為( )
A.B.
C.D.
5．已知,,，則( )
A.B.C.D.
6．已知，則( )
A.B.C.D.5
7．已知等差數(shù)列中,,,設(shè),則( )
A.245B.263C.281D.290
8．嘉興河流眾多，許多河邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，護(hù)欄與護(hù)欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條均勻?柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱(chēng)為懸鏈線（Catenary）.已知函數(shù)的部分圖象與懸鏈線類(lèi)似，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.為奇函數(shù)B.的最大值是a
C.在上單調(diào)遞增D.方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解
9．巳知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列不正確的個(gè)數(shù)有( )
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
③函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
④函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
二、填空題
10．記是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則________.
11．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.
12．已知函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
三、雙空題
13．已知，，，________，在上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_______.
14．為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開(kāi)展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為_(kāi)_______；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率為_(kāi)_______.
15．已知中，，，記，則________；若，當(dāng)最大時(shí)，________.
四、解答題
16．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，的面積為.
(1)求；
(2)若，求；
(3)求的值.
17．如圖，垂直于梯形所在平面，，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，,，四邊形為矩形.
(1)若F是的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)若點(diǎn)F到平面的距離為，求的長(zhǎng).
18．已知數(shù)列，，.
(1)證明：數(shù)列，為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
19．已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)若數(shù)列滿足：，求.
20．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，直線（k為常數(shù)）與曲線相切，求k的值；
(2)若,恒成立，求a的取值范圍；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn),，求證：.
參考答案
1．答案：B
解析：，
，
故選：B.
2．答案：D
解析：因?yàn)樵赗單調(diào)遞增，且,
所以，即
因?yàn)椋?即,
所以存在兩種情況：且，且，
因此推不出,
同樣推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
3．答案：A
解析：觀察散點(diǎn)圖，得變量x與y呈現(xiàn)正相關(guān)，變量u與v呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，BC錯(cuò)誤；
圖1中各點(diǎn)比圖2中各點(diǎn)更加集中，相關(guān)性更好，因此，A正確，D錯(cuò)誤.
故選：A
4．答案：A
解析：由定義域?yàn)椋士膳懦鼵；
又，
故為奇函數(shù)，故可排除D；
由，故可排除B；
故選：A.
5．答案：D
解析：易知,，則，
又定義域上單調(diào)遞增，則，
所以，
綜上.
故選：D
6．答案：B
解析：因?yàn)椋?br>所以且，
即，且，解得或（舍去），
所以.
故選：B.
7．答案：C
解析：等差數(shù)列中,由,,得公差,
則,顯然當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以
.
故選:C.
8．答案：D
解析：對(duì)A，，則為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；
對(duì)BC，又，根據(jù)，，在R上均單調(diào)遞增，
則在在R上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；
則，即的最小值為a，B錯(cuò)誤；
對(duì)D，法一：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且最小值為a，，
并且根據(jù)C中的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，且時(shí)，，
所以有2個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.
法二：令，，，，
再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.，
故選：D
9．答案：B
解析：，
由圖象知函數(shù)的最小正周期為，因此，即，，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，①正確；
由得，，②正確；
，因此把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖象，③正確；
由題意，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，
因此t的范圍是或，④錯(cuò).
故選：B.
10．答案：-i
解析：依題意，，所以.
故答案為：-i
11．答案：
解析：的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，得，
其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：
12．答案：
解析：（1）時(shí)，，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
（2）時(shí)，，，在R上單調(diào)遞增，
所以，不可能有3個(gè)解，也不合題意.
（3）時(shí)，，得
畫(huà)出函數(shù)：，的圖象，如圖：
當(dāng)時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，其中有唯一的零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即在有兩個(gè)零點(diǎn).
，＝0，得x=
x在遞減，在遞增，
＜0，解得：
13．答案：1；.
解析：因?yàn)?，所以，解得?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以在上的投影向量坐標(biāo)為.
故答案為：1；.
14．答案：/0.875；
解析：根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件A，乙回答正確為事件B，丙回答正確為事件C，
則，，，
所以，，
若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，
則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，
若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，
則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率.
故答案為：；.
15．答案：/；
解析：
因?yàn)?，所以?br>，
所以，，；
因?yàn)?，所以，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，則，，則，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，，最小，最大，
所以當(dāng)最大時(shí)，.
故答案為：，.
16．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）由余弦定理知：
在中，，，即
又，.即
；
（2）由（1）知，則角B為銳角，
，，
由正弦定理知：，則，，
又，，，
；
（3）由（2）知，，
所以，.
所以.
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3)
解析：(1)設(shè)，連接,四邊形為矩形，G為中點(diǎn)，又F為中點(diǎn)，
，又平面，平面，平面.
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，,,正方向?yàn)閤,y,z軸，
可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則,,,,
,，
設(shè)平面的法向量，
，令，解得：,,；
設(shè)直線與平面所成角為,.
則直線與平面所成角正弦值為.
(3)，設(shè),
由平面的法向量，
點(diǎn)F到平面的距離.
解得，
所以.
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3)
解析：（1）因?yàn)椋?br>所以，.
而，，所以，，
，.
所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列.
數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.
（2）由（1）知：，.
（3）因?yàn)椋?br>所以
.
19．答案：(1)，；
(2)；
(3)
解析：（1）設(shè)公差為d，公比為q，
，，，解得或，
，，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
，，
，，解得，，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）根據(jù)題意，，
則，①
，②
①-②：
，
所以；
（3）根據(jù)題意，，
則
.
20．答案：(1)；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析
解析：（1）當(dāng)時(shí)，.
設(shè)切點(diǎn)，則
消k得，解得，代入得.
（2）方法一：因?yàn)椋?br>所以，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.
所以.
又，故恒成立，所以成立.
②當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.
故，解得，又，所以，
綜上所述，a的取值范圍為.
方法二：因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>又，所以上式等價(jià)于恒成立.
記，則，
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增.
所以.
所以當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增.
所以.
故a的取值范圍為.
方法三：因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>又，所以上式等價(jià)于恒成立.
記，則，
所以當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增.所以.
令，則，則恒成立.
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.
故a的取值范圍為.
（3）方法一：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn),，不妨設(shè)，
則，
即，即，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.
所以.
令，則,單調(diào)遞增，
又，所以，即.
由的單調(diào)性可知.
思路一：構(gòu)造函數(shù),.
則，
故在上單調(diào)遞減，
又，所以，則，即，
又，所以，
又,,在上單調(diào)遞增，所以.
故.
思路二：要證，即證，即證.
令，即證.
構(gòu)造函數(shù),.
則，
故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即.
故.
思路三：因?yàn)?，即?br>令，則
即
要證，即證，
即證，即證，
下同思路一，略.
方法二：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn),，不妨設(shè)，
則，
即.
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.
所以.
令，則,單調(diào)遞增，
又，所以，即
由的單調(diào)性可知.
思路一：構(gòu)造函數(shù)，.
則
，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，則，所以，
故在上單調(diào)遞減，又，所以，則，即，
又，所以，
又,,在上單調(diào)遞增，所以.
故.
思路二：因?yàn)?，所以?br>即，
令，要證，即證，
即證.
構(gòu)造函數(shù),.
則，
故在上單調(diào)遞減，則.
故.
注：要證明，即證，構(gòu)造函數(shù),.
則，
故在上單調(diào)遞減，則.故.
思路三：令，則即.
要證，即證，即證.
下同思路二，略.
思路四：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，下面同方法一.

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