總分：150分 時(shí)量：120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是( )
A.B.
C.D.
2.如圖，直線和圓，當(dāng)從開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò))時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積是時(shí)間的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖象大致是( )
A.B.
C. D.
3.展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A.B.C.D.
4.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)支點(diǎn)按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的概率都是，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)次后位于點(diǎn)的概率為( )
A.B.
C.D.
5.袋子中有大小形狀完全相同的個(gè)黑球，個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球次，取到白球記分，黑球記分，記次取球的總分?jǐn)?shù)為，則( )
A.B.C.D.
6.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
7.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的斜率為，則的面積為( )
A.B.C.D.
8.已知，，，則( )
A.B.
C.D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的有( )
A.展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為
B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為
C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為第五項(xiàng)
D.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為
10.已知曲線( )
A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上
B.若，則是圓，其半徑為
C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為
D.若，，則是兩條直線
11.如圖，四邊形為正方形，平面，，.記三棱錐，，的體積分別為，，，則( )
A.
B.
C.
D.
12.信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，，…，，且，，定義的信息熵( )
A.若，則
B.若，則隨著的增大而增大
C.若，則隨著的增大而增大
D.若，隨機(jī)變量所有可能的取值為，，…，，且，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_(kāi)_______.
14.如圖，用種不同顏色給圖中的、、、四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有________種.
15.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn).若，則的離心率為_(kāi)_______.
16.在一次珠寶展覽會(huì)上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是顆珠寶，第二件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，第三件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，第四件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，第五件首飾是由顆珠寶構(gòu)成如圖所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷第件首飾上應(yīng)有________顆珠寶；則第件首飾所用珠寶總數(shù)為_(kāi)_______顆.(結(jié)果用表示)
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到).
18.已知圓與直線相切于點(diǎn)，圓心在軸上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線：與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的最短長(zhǎng)度.
19.已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列，其中，，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)令，抽去數(shù)列的第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第項(xiàng)、…，余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.求數(shù)列的前項(xiàng)和.
20.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面.設(shè)平面與平面的交線為.
(1)證明：平面；
(2)已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.
21.汽車前照燈主要由光源、反射鏡、配光片三部分組成，其中經(jīng)過(guò)光源和反射鏡頂點(diǎn)的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均可沿與拋物線對(duì)稱軸平行的方向射出.某汽車前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線，已知的焦點(diǎn)為，焦距為，對(duì)稱軸為.
(1)證明：當(dāng)光源位于時(shí)，此時(shí)發(fā)出的一束不與重合的光線經(jīng)反射后與平行；
(2)設(shè)，當(dāng)光源位于上由向的開(kāi)口方向平移個(gè)焦距長(zhǎng)度的點(diǎn)時(shí)，此時(shí)發(fā)出的一束不與重合的光線經(jīng)上點(diǎn)反射后又經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)，若，求.
22.已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則.

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