1.命題“，使得”的否定為( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
3.下列命題為真命題的是( )
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，則
4.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積s可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為( )
A. 10B. C. 12D.
5.命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是( )
A. B. C. D.
6.為了豐富學(xué)生的課余生活，某校開設(shè)了籃球社團(tuán)、話劇社團(tuán)、志愿者協(xié)會，高一某班學(xué)生共有28人參加了學(xué)校社團(tuán)，其中有15人參加籃球社團(tuán)，有8人參加話劇社團(tuán)，有14人參加志愿者協(xié)會，同時參加籃球社團(tuán)和話劇社團(tuán)的有3人，同時參加籃球社團(tuán)和志愿者協(xié)會的有3人，同時參加話劇社團(tuán)和志愿者協(xié)會的有4人，只參加志愿者協(xié)會的有人.
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.關(guān)于x的不等式的解集為或，則下列選項正確的是( )
A.
B. 不等式的解集為
C.
D. 不等式的解集為
8.設(shè)，且，則的最小值是( )
A. 4B. 2C. 1D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.設(shè)集合，，，，則下列關(guān)系中正確是( )
A. B. C. D.
10.下列說法正確的是( )
A. “”是“”的充分不必要條件
B. “且”是“”的充要條件
C. 某文具店搞活動，1個筆記本與2支圓珠筆價格之和大于6元，而2個筆記本與1支圓珠筆價格之和小于4元，則3個筆記本的價格比2支圓珠筆的價格低
D. 購買同一種物品，可以用兩種不同的策略．第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定．則用第一種方式購買更實惠
11.已知，，且，則( )
A. 的最小值為3B. 的最大值為
C. 的最大值為0D. 的最小值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知集合，，若，則實數(shù)__________.
13.已知正數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______.
14.已知集合，若集合M有14個非空真子集，則實數(shù)a的取值范圍為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題13分
已知集合，集合
若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；
若，求實數(shù)a的取值范圍.
16.本小題15分
關(guān)于x的不等式
若，求不等式的解集；
當(dāng)時，求不等式的解集.
17.本小題15分
對于二次函數(shù)，若，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動點.
求二次函數(shù)的不動點；
若二次函數(shù)有兩個不相等的不動點，，且，，求的最小值.
18.本小題17分
為了加強“平安校園”建設(shè)，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為20平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米250元，屋頂和地面以及其他報價共計12000元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為x米
當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；
現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求a的取值范圍.
19.本小題17分
若實數(shù)x，y，m滿足，則稱x比y遠(yuǎn)離
若x比y遠(yuǎn)離2且，求實數(shù)x的取值范圍；
對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，證明：比遠(yuǎn)離ab；
若，判斷：x與哪一個更遠(yuǎn)離，并說明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：“，使得”的否定為：，
故選：
存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解．
本題主要考查命題否定的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】B
【解析】解：，，
則
故選：
根據(jù)已知條件，先求出集合A，B，再結(jié)合交集的定義，即可求解．
本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】解：當(dāng)，，滿足，但，故A錯誤；
令，，，，滿足，，但，故B錯誤；
令，，，，滿足，，但，故C錯誤；
，
則，
故，故D正確．
故選：
根據(jù)已知條件，結(jié)合作差法，以及特殊值法，即可求解．
本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】C
【解析】解：由題意可得，
所以三角形的面積
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
故選：
結(jié)合三角形的面積公式以及基本不等式求得三角形面積的最大值．
本題考查三角形的面積公式以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】A
【解析】解：“，”為假命題，
則，，
故，，
所以，
故命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是
故選：
根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為，，求出a的取值范圍，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．
本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】A
【解析】解：設(shè)同時參加籃球社團(tuán)、話劇社團(tuán)和志愿者協(xié)會的有x人，
則，
解得，
所以只參加志愿者協(xié)會的有
故選：
根據(jù)題意先求出同時參加籃球社團(tuán)、話劇社團(tuán)和志愿者協(xié)會的人數(shù)，從而求出結(jié)果．
本題主要考查了集合中的元素個數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】D
【解析】解：因為不等式的解集為或，所以，選項A錯誤；
由題意知2和3是對應(yīng)方程的兩個根，所以，所以，；
所以不等式可化為，即，解得或，
所以不等式的解集為或，選項B錯誤；
由是不等式解集中的元素，所以滿足不等式，
即，選項C錯誤；
不等式可化為，即，解得，
所以不等式的解集為，選項D正確．
故選：
根據(jù)不等式的解集得出，且2和3是對應(yīng)方程的根，由此求出a與b、c的關(guān)系，再判斷選項中的命題是否正確．
本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
8.【答案】B
【解析】解：因為，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即，時等號成立，
所以的最小值是
故選：
由已知結(jié)合基本不等式即可求解．
本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
9.【答案】ACD
【解析】解：，，，，
，，
故選：
可求出集合A，B，D，然后根據(jù)集合的關(guān)系判斷即可．
本題考查了函數(shù)的定義域和值域的定義及求法，集合相等的定義，子集的定義，交集的定義，是基礎(chǔ)題．
10.【答案】AC
【解析】解：A選項，，則，
推出，推不出，所以是的充分不必要條件，A正確．
B選項，且能推出；比如，推不出且，且是的充分不必要條件，B錯誤．
C選項，設(shè)筆記本價格a元，圓珠筆價格b元，，
令，，得，
，，，
，則3個筆記本的價格比2支圓珠筆的價格低，C正確．
D選項，設(shè)第一次價格為，第二次價格為，第三次價格為
第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定，平均價格，
第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定，平均價格，
由調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)，得第二種優(yōu)惠，D錯．
故選：
A解出的范圍，再去判斷，
找一組特例，就可以分析出和且關(guān)系，
C設(shè)筆記本價格為a，圓珠筆價格為b，根據(jù)條件判斷正負(fù)，
D用調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的不等關(guān)系求解，
本題考查不等式的內(nèi)容，屬于中檔題．
11.【答案】AB
【解析】解：因為，即，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，A正確；
因為，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
即的最小值是，
所以的最大值是，B正確；
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
所以，
，C錯誤；
，
令，則，
，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以取得最小值為，所以取得最小值，D錯誤．
故選：
由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論檢驗各選項即可判斷．
本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
12.【答案】2
【解析】【分析】
推導(dǎo)出，從而，或，再利用集合中元素的互異性能求出實數(shù)
本題考查實數(shù)值的求法，考查并集、子集定義、集合中元素的互異性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
【解答】
解：集合，，，
，
，或，
解得，或，，
當(dāng)時，，不成立；
當(dāng)時，，不成立；
當(dāng)時，，，成立．
故實數(shù)
故答案為：
13.【答案】
【解析】解：因為a，b滿足，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
若不等式恒成立，則，
解得，
故答案為：
由已知結(jié)合基本不等式先求的最小值，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．
本題主要考查了基本不等式求解最值，還考查了不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．
14.【答案】
【解析】解：若集合M有15個真子集，則M中含有4個元素，
結(jié)合，可知，即，且區(qū)間中含有4個整數(shù)，
①當(dāng)時，的區(qū)間長度，此時中不可能含有4個整數(shù)；
②當(dāng)時，，其中含有4、5、6、7共4個整數(shù)，符合題意；
③當(dāng)時，的區(qū)間長度大于3，
若的區(qū)間長度，即，
若是整數(shù)，則區(qū)間中含有4個整數(shù)，
根據(jù)，可知，，
此時，其中含有5、6、7、8共4個整數(shù)，符合題意；
若不是整數(shù)，則區(qū)間中含有5、6、7、8這4個整數(shù)，
則必須且，解得；
若時，，其中含有5、6、7、8、9共5個整數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時，的區(qū)間長度，此時中只能含有6、7、8、9這4個整數(shù)，
故，即，
結(jié)合可得，
綜上所述，或或，
即實數(shù)a的取值范圍是
故答案為：
根據(jù)真子集的定義，推斷出集合M含有4個元素，即不等式的解集中有且僅有4個整數(shù)解，由此進(jìn)行分類討論，列式算出實數(shù)a的取值范圍．
本題主要考查了真子集的定義，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
15.【答案】解：，
是的必要不充分條件，
則B是A的真子集，
當(dāng)，即時，，符合題意，
當(dāng)時，
故，解得，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為；
當(dāng)時，
則，解得，
當(dāng)時，
則或，解得或，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為或
【解析】根據(jù)已知條件，先求出集合A，再結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解；
分B是否為空集討論，即可求解．
本題主要考查分式不等式的解法，屬于中檔題．
16.【答案】解：根據(jù)題意，若，不等式為，
變形可得且，
解可得或，
即不等式的解集為或；
根據(jù)題意，，即且，
分5種情況討論：
①當(dāng)時，不等式的解集為或或，
②當(dāng)時，不等式為且，不等式的解集為，
③當(dāng)時，不等式的解集為或或，
④當(dāng)時，不等式為且，不等式的解集為或，
⑤當(dāng)時，不等式的解集為或；
綜合可得：當(dāng)時，不等式的解集為或或，
當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為或或，
當(dāng)時，不等式的解集為或，
當(dāng)時，不等式的解集為或
【解析】根據(jù)題意，若，不等式為，解可得答案；
根據(jù)題意，按a的取值范圍分5種情況討論，求出不等式的解集，綜合可得答案．
本題考查分式不等式的解法，涉及含參數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
17.【答案】解：根據(jù)題意，二次函數(shù)，
若，即，解可得或，
即二次函數(shù)的不動點為1或；
根據(jù)題意，若二次函數(shù)有兩個不相等的不動點，，
則方程，即有兩個不相等的正實數(shù)根，
必有，解可得，
則
，
又由，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即的最小值為
【解析】根據(jù)題意，由不動點的定義解方程，可得答案；
根據(jù)題意，分析可得方程，即有兩個不相等的正實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出a的取值范圍，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，關(guān)鍵是理解“不動點”的定義，屬于中檔題．
18.【答案】解：設(shè)甲工程隊的總造價為y元，
則，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，
即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為24000元；
由題意可得，對任意的恒成立，
即，從而恒成立，
令，，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以，所以a的取值范圍是
【解析】建立函數(shù)模型，利用基本不等式求最小值；
根據(jù)不等式的恒成立問題求參數(shù)的取值范圍．
本題考查了函數(shù)模型應(yīng)用問題，也考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，是中檔題．
19.【答案】解：根據(jù)題意，若x比y遠(yuǎn)離2，即①，
又由，則①式可變形為，
解可得：，即x的取值范圍為；
證明：，則，
，則，
又由，則，
則，
故比遠(yuǎn)離ab；
根據(jù)題意，由于，則，
故，
當(dāng)時，，
此時，
則有，
當(dāng)時，，
此時，
則有，
綜合可得：，故更遠(yuǎn)離
【解析】根據(jù)題意，若x比y遠(yuǎn)離2，即，進(jìn)而可得，解可得答案；
分析可得和，比較可得，即可得結(jié)論；
根據(jù)題意，分2種情況比較和的大小，即可得答案．
本題考查絕對值不等式的解法的應(yīng)用，涉及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．

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