36、浙江省名校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題及參考答案

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考生須知：
1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號、座位號及準(zhǔn)考證號；
3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；
4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷。
選擇題部分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.若，則（ ）
A.B.C.D.
3.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的半焦距為（ ）
A.B.C.D.
4.已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，則“且”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
5.函數(shù)的圖象不可能是（ ）
A.B.C.D.
6.如圖，將正四棱臺(tái)切割成九個(gè)部分，其中一個(gè)部分為長方體，四個(gè)部分為直三棱柱，四個(gè)部分為四棱錐.已知每個(gè)直三棱柱的體積為3，每個(gè)四棱錐的體積為1，則該正四棱臺(tái)的體積為（ ）
A.36B.32C.28D.24
7.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，且圓與軸交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線、直線、直線的斜率分別為，，，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知直線垂直單位圓所在的平面，且直線交單位圓于點(diǎn)，，為單位圓上除外的任意一點(diǎn)，為過點(diǎn)的單位圓的切線，則（ ）
A.有且僅有一點(diǎn)使二面角取得最小值
B.有且僅有兩點(diǎn)使二面角取得最小值
C.有且僅有一點(diǎn)使二面角取得最大值
D.有且僅有兩點(diǎn)使二面角取得最大值
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號為1，2；紅球有兩個(gè)，編號為3，4，從中不放回的依次取出兩個(gè)球，表示事件“取出的兩球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的兩球同色”，則（ ）
A.與相互獨(dú)立B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立D.與相互獨(dú)立
10.已知函數(shù)，的定義域均為，且，.若是的對稱軸，且，則（ ）
A.是奇函數(shù)B.是的對稱中心
C.2是的周期D.
11.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.那么（ ）
A.存在旋轉(zhuǎn)函數(shù)
B.旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是旋轉(zhuǎn)函數(shù)
C.若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則
D.若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則
非選擇題部分
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。
12.的展開式中的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）
13.已知為拋物線：的焦點(diǎn)，直線與交于，，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為.若與的面積之比為4，則________.
14.設(shè)嚴(yán)格遞增的整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，.設(shè)為，，…，這19個(gè)數(shù)中被3整除的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則的最大值為________，使得取到最大值的數(shù)列的個(gè)數(shù)為________.
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
如圖，在三棱錐中，平面，平面平面，，.
（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值.
16.（15分）
記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.
（1）若，求的面積；
（2）若，求.
17.（15分）
設(shè).
（1）若，求；
（2）證明：；
（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.（17分）
設(shè)離散型隨機(jī)變量和有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，，2，…，，.指標(biāo)可用來刻畫和的相似程度，其定義為.
設(shè)，.
（1）若，，求；
（2）若，，，2，3，求的最小值；
（3）對任意與有相同可能取值的隨機(jī)變量，證明：，并指出取等號的充要條件.
19.（17分）
已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，為曲線：上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)不在軸上，直線交于，兩點(diǎn).
（1）證明：曲線為橢圓，并求其離心率；
（2）證明：為線段的中點(diǎn)；
（3）設(shè)過點(diǎn)，且與垂直的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，求面積的取值范圍.
命題：金華一中
2023學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體適應(yīng)性試題
高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案
首命題：金華一中 次命題兼審校：××中學(xué) 審核：××中學(xué)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D
7.如圖，由題意得：，與圓：聯(lián)立，
消整理得，，
，同理可得
，，即
，，設(shè)，
，，即，
.
8.如圖，過作于，連接、.
因?yàn)橹本€垂直單位圓所在的平面，直線在平面內(nèi)，且直線交單位圓于點(diǎn)，所以，，平面，，所以平面，，平面，所以，，所以是二面角的平面角.
設(shè)，，，，則.
由已知得，，，，
令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，.
所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，沒有最小值，即當(dāng)時(shí)取最大值，從而取最大值.由對稱性知當(dāng)時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，所以有且僅有兩點(diǎn)使二面角取得最大值.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.BCD10.BD11.ACD
10.對于A，因?yàn)槭堑膶ΨQ軸，所以，又因?yàn)椋?，故，即為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?lián)立得，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；
對于C，因?yàn)?，，則，即；
因?yàn)?，則，即，則；顯然，所以2不是的周期，故C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)槭堑膶ΨQ軸，所以，又因?yàn)?，即，則，所以，所以，即，所以周期為4，因?yàn)橹芷跒?，對稱中心為，所以，當(dāng)時(shí)，代入，即，所以，所以，又是的對稱軸，所以，所以，故D正確.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。
12.13.214.18 25270
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
[證]（1）依題意，面，又因?yàn)椋颐妫?br>所以，同理可得，
因?yàn)槊婷?，面面，面，且?br>所以面，
因?yàn)槊?，所?
[解]（2）[方法1]取中點(diǎn)，并聯(lián)結(jié)、.
（方法1）
因?yàn)?，所以?br>由勾股定理可知.
因?yàn)椋裕?br>則根據(jù)二面角定義可知是二面角的一個(gè)平面角，且由圖可知為銳角.
又因?yàn)槊妫恚?）可知，
設(shè)，可得，
所以，
即二面角的余弦值為.
[方法2]由（1）可知，、、三者兩兩相互垂直，
故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)?、、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
（方法2）
由勾股定理可知.
設(shè)，則，
則易得平面的一個(gè)法向量可以是，
而，，
故可得平面的一個(gè)法向量可以是.
設(shè)二面角的一個(gè)平面角為，且由圖可知為銳角.
則，
即二面角的余弦值為.
16.（15分）
（1）在中，由正弦定理可知：
可化為：
故可得：，代入可得：
所以，故（*）
在中，由余弦定理可得：
代入數(shù)據(jù)和（*）式可得：
所以三角形面積為：
故三角形的面積為.
（2）因?yàn)榍?，?br>代入可得：
因此
化簡可得：
情況一：當(dāng)時(shí)，
所以可得：，化簡可得：
在中，由正弦定理可得：
情況二：當(dāng)時(shí)，
同理可得：，又因?yàn)?，?br>故的值為.
17.（15分）
（1）
（2）證明：先證當(dāng)時(shí)，.
令，則在時(shí)恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
即當(dāng)時(shí)，.
要證，只需證明，即證
令，，則.
（或）
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，而，
在在上單調(diào)遞增，，即
當(dāng)時(shí)，.
（3）令，，則，，
令，則在上單調(diào)遞減，，，
而，在上遞減，在上遞增
的值域?yàn)?br>（I）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在遞增，
，符合題意；
（II）當(dāng)，即時(shí)，，存在使得
當(dāng)時(shí)，，遞減，此時(shí)，矛盾，舍.
綜上知，.
18.（17分）
（1）不妨設(shè)，則，.
所以
.
（2）當(dāng)時(shí)，，，.
記，
.
設(shè)，，單調(diào)遞增.
而，所以在為負(fù)數(shù)，在為正數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的最小值為.
（3）當(dāng)時(shí)，，所以，即.
故，
當(dāng)且僅當(dāng)對所有的，時(shí)等號成立.
19.（17分）
（1）的離心率；
（2）證明過程略；
（3）面積的取值范圍是.