（滿分120分，時(shí)間120分鐘）
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑．）
1．下列式子為最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程中一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．B．C．D．
3．若，則下列等式錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
4．若和最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則m的值為（ ）
A．B．C．D．
5．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由b的值確定B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根
6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問闊及長(zhǎng)各幾步．”意思是，一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長(zhǎng)共60步，問它的寬和長(zhǎng)各多少步？設(shè)它的寬為x步，則可列方程為（ ）
A．B．C．D．
7．根據(jù)下面表格中的對(duì)應(yīng)值判斷方程（為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是．（ ）
A．B．C．D．
8．已知一元二次方程的一個(gè)根為m，則的值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2025
9．已知方程的解是，則另一個(gè)方程的解是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：
1 第1行
2 第2行
3 第3行
4 第4行
根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且）行從左向右數(shù)第個(gè)數(shù)是．（用含n的代數(shù)式表示） （ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分．）
11．請(qǐng)寫出一個(gè)大于3小于4的最簡(jiǎn)二次根式_______
12．邊長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形如圖所示，若它的周長(zhǎng)為，面積為，則的值為_______．
13．如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)的矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為的住房墻，另外三邊用長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)寬的門，設(shè)垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)度為，則根據(jù)題意列方程為_______．
14．如圖，樂器上的二根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，（即），則支撐點(diǎn)C到端點(diǎn)B的距離是_______．
15．已知，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得．若，則_______．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
16．計(jì)算（本題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分）：
（1）（2）；
17．解方程：（本題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分）：
（1）（2）
18．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求m的取值范圍．
19．（7分）高空拋物是一種不文明的危險(xiǎn)行為，據(jù)研究，從高處墜落的物品，其下落的時(shí)間和高度近似滿足公式（不考慮阻力的影響）
（1）求物體從的高空落到地面的時(shí)間．
（2）己知從高空墜落的物體所帶能量（單位：J），某質(zhì)量為的雞蛋經(jīng)過落在地上，這個(gè)雞蛋在下落過程中所帶能量有多大？你能得到什么啟示？（注：殺傷無防護(hù)人體只需要的能量）
20．（10分）山西是時(shí)間的朋友，這片土地處處散發(fā)著時(shí)光的奇跡……”，2024年6月，董宇輝在直播電商平臺(tái)的山西專場(chǎng)中展開了主題為“尋華夏之根，溯文明之源”的直播，直播剛開始時(shí)有2.56萬人觀看，2小時(shí)后人數(shù)達(dá)到4萬人次，現(xiàn)場(chǎng)講解山西的美食產(chǎn)品，深度介紹山西的文化古跡，傳播三晉文化，實(shí)現(xiàn)了社會(huì)效應(yīng)和經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的雙豐收．其中山西老陳醋以色、香、醇、濃、酸五大特征，引得廣大網(wǎng)友爭(zhēng)相購買品嘗．某商家抓住商機(jī)，以20元/壺的進(jìn)價(jià)購入了一批山西老陳醋，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為35元/桶時(shí)，一周可售出4000壺、且該商品的單價(jià)每降低1元，其銷量可增加100壺．
（1）求每小時(shí)觀看直播人數(shù)的平均增長(zhǎng)率
（2）若商家銷售該商品每周想要獲利54600元，則該商品應(yīng)降價(jià)多少元？
21．（8分）閱讀與思考
下面是小文撰寫的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
任務(wù)：
（1）已知是兩個(gè)常數(shù)，一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則二次三項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是_______；
（2）分解因式：_______；
（3）請(qǐng)用閱讀內(nèi)容中的方法，因式分解：；
（4）通過閱讀上述代數(shù)推理過程，請(qǐng)直接寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的與一元二次方程的根相關(guān)的結(jié)論．
22．綜合與實(shí)踐（11分）
九年級(jí)課外小組計(jì)劃用兩塊長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形硬紙板做個(gè)收納盒．
圖1 圖2 圖3
善思組：把一塊長(zhǎng)方形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同的小正方形，（如圖1）然后沿虛線折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體收納盒．
問題解決：（1）若該收納盒的底面積為，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)．
博學(xué)組：把另一塊長(zhǎng)方形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，然后折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體收納盒（如圖2）．
問題解決：（2）若和兩邊恰好重合且無重疊部分，該收納盒的底面積為．設(shè)收納盒的高為a厘米，則收納盒底面的的長(zhǎng)為_______，寬為_______，（用a的代數(shù)式表示）
則可列方程為：______________，若有一個(gè)玩具機(jī)械狗，其尺寸大小如圖3所示，是否能把玩具機(jī)械狗完全放入該收納盒，_______（填是或否）
23．綜合與探究（12分）
問題情境：
在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結(jié)所在直線交直線于點(diǎn)M．
猜想判斷：
（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊上時(shí)，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖①．若，則線段的大小關(guān)系為_______．
深入探究：
（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②．若，判斷線段的大小關(guān)系，并加以證明．
拓展應(yīng)用：
（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊上（點(diǎn)D不與重合），點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③．若，，求的長(zhǎng)．
2024-2025學(xué)年第一學(xué)期月考質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題（卷）
九年級(jí)數(shù)學(xué)（華東師大版）
參考答案
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．D2．C3．B4．B5．B6．D7．C8．B9．B10．C
11．（答案不唯一）12．13．
14．15．
三、解答題（共75分）
16．（1）解：原式……3分
……4分
……5分
（2）解：原式……3分
……4分
……5分
17．（1）解：
……2分
……3分
……5分
（2）解：
……1分
……2分
或．……3分
……5分
18．（1）解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根
……2分
．……3分
（2）解：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
……4分
……5分
…6分
由（1）得：
……7分
19．（1）解：
……2分
答：物體從高空下落的時(shí)間是……3分
（2）解：
……4分
……5分
答：這個(gè)雞蛋下落過程中所帶能量有……6分
啟示：嚴(yán)禁高空拋物（答案不唯一，言之有理即可）……7分
20．（1）解：設(shè)每小時(shí)觀看直播人數(shù)的平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：……1分
……3分
解得：（不符合題意，舍去）……4分
答：每小時(shí)觀看直播人數(shù)的平均增長(zhǎng)率為……5分
（2）解：該商品應(yīng)降價(jià)y元，由題意得：……6分
……8分
整理得：
解得：（不符合題意，舍去）……9分
答：每周想要獲利54600元，商品應(yīng)降價(jià)2元……10分
21．（1）……2分
（2）…4分
（3）解：解得；
……5分
……7分
（4）對(duì)于一元二次方程的兩個(gè)根，則有（答案不唯一，言之有理即可）．…8分
22．（1）解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米，由題意得：……1分
……3分
整理得：
解得：（不符合題意，舍去）……5分
答：剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為……6分
（2）……8分
；……10分
否……11分
23．（1）……2分
（2）解：……3分
理由如下：
如圖，過點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F……4分
……5分
在和中，
……6分
……7分
（3）解：如圖，過點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F……8分
……9分
……10分
……11分
……12分
x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.09
形如（是常數(shù)，）的多項(xiàng)式叫做關(guān)于x的二次三項(xiàng)式．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用因式分解求解一些一元二次方程．反過來，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三項(xiàng)式分解因式呢？根據(jù)下面的代數(shù)推理，可以得出結(jié)果：
設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，計(jì)算：．
解：
．
即．
這就是說，在因式分解二次三項(xiàng)式時(shí)，可先求一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后寫成的形式，即通過解一元二次方程可以將一些二次三項(xiàng)式分解因式．

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