高一數(shù)學(xué)
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.命題“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.不等式的解集為（ ）
A.B.C.D.
4.如果，，那么，下列不等式中正確的是（ ）
A.B.C.D.
5.已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
6.已知a，且，則的最小值為（ ）
A.4B.6C.D.8
7.已知，，則“”是“”的（ ）
A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件
8.已知，，，且，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知命題P：，則命題P成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A.B.C.D.
10.已知正數(shù)a，b滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A.B.C.D.
11.大數(shù)據(jù)時(shí)代，需要對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，檢索過程中有時(shí)會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而笛卡爾積會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計(jì)算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需要了解笛卡爾積.兩個(gè)集合A和B，用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的有序?qū)M成的集合叫作A與B的笛卡兒積，又稱直積，記為.即.關(guān)于任意非空集合M，N，T，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.不等式的解集為___________.
13.設(shè)集合，，集合M滿足，則這樣的集合M共有_______個(gè).
14.已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（本小題13分）設(shè)集合，.
（1）求集合A，B，以及，；
（2）設(shè)全集，求和.
16.（本小題15分）設(shè)函數(shù).
（1）若命題p：，是假命題，求m的取值范圍；
（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
17.（本小題15分）已知關(guān)于x的不等式.
（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求關(guān)于x的不等式的解集.
18.（本小題17分)
小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，經(jīng)常對折紙中的一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究.已知一矩形紙片（其中）的周長為.他把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)P.他在思索一個(gè)問題：如果改變的長度（周長保持不變），的面積是否存在最大值?請幫他確定的面積是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相應(yīng)的的長度；若不存在，試說明理由?
19.（本小題17分）
已知集合，對于A的子集S若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素，，都有，則稱S具有性質(zhì)P.
（1）當(dāng)時(shí)，判斷集合和是否具有性質(zhì)P?并說明理由；
（2）若時(shí)，
①如果集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否一定具有性質(zhì)P?并說明理由；
②如果集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.
汕頭市潮陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期
第一次月考試題
高一數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
選擇題：1~8：CADA BDAC
8.解：由可得，且a，b，
因此，令，則；
又；
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立；此時(shí)的最小值為.故選：C
9.AB
10.ACD
【分析】由題意可得，利用化簡計(jì)算和基本不等式判斷各個(gè)選項(xiàng)；
【詳解】對于A，由題可得，即，故A正確；
對于B，a，b為正數(shù)，，為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故B不正確；
對于C，a，b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；
對于D，a，b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故D正確。
故選：ACD.
11.解：對于A，若，，則，，，A錯(cuò)；
對于B，若，，，則，，而，，B錯(cuò)；
對于C，若，，，則，，，，C正確；
對于D，任取元素，則且，則且，于是且，即，
反之若任取元素，則且，因此，且，即且，所以，即，D正確.
故選：AB
12.R
13.【解】因?yàn)?，，集合M滿足，所以，則這樣的集合M共有個(gè).故答案為：32
14.解：關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，
，解得，
二次函數(shù)的對稱軸為，
關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)為3，4，5，
，且，，解得.
集合，.
15.解：（1）由集合，
又，，
（2）由（1）可知：，
；；
16.【解】（1）若命題p：，是真命題，則，不等式成立，
當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，
若即，則，，滿足題意；
若即，則，解得，
綜上，或.
所以命題：，是假命題時(shí)，；
（2）存在，使得成立，
即對于，使有解，
即在上能成立，所以，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以.
17.【解】（1）若的解集為，
則是方程的一個(gè)根，即，解得，
所以不等式為，解得：，所以.
即，.
（2）因?yàn)?，即?br>①當(dāng)時(shí)，即，解得：；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，，
若時(shí)，解得：；
若時(shí)，解得：或；
若時(shí)，解得：或；
若時(shí)，解得：或；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式解集為：；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為：；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為：；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為：；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為：.
18.【解】由題意可知，矩形的周長為，
設(shè)，則，
又由，得；
根據(jù)圖形折疊可知與全等，
設(shè)，則，，
而為直角三角形，得，即
，易得
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，滿足，此時(shí)，
故時(shí)，取最大面積.
19.【解】（1）當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)P，
因?yàn)閷τ诩螧中任意不大于10的正整數(shù)m，
都可以找到該集合中兩個(gè)元素，使得成立，具有性質(zhì)P.
取，對于該集合中任意一對元素，，，都有，所以集合B不具有性質(zhì)P，集合C具有性質(zhì)P.
（2）若時(shí)，則，
①如果集合S具有性質(zhì)P，那么集合一定具有性質(zhì)P，
因?yàn)?，任取，其中?br>因?yàn)?，則，
從而，即，所以，
由集合S具有性質(zhì)P，知存在不大于1000的正整數(shù)m，
使得對于S中的任意一對元素，都有，
在集合中任取一對元素，，
其中，，則由
所以集合一定具有性質(zhì)P.
②設(shè)集合S有k個(gè)元素，由①知：若集合S具有性質(zhì)P，
那么集合一定具有性質(zhì)P，
任給，，則x和中必有一個(gè)不超過1000，
因此集合S和集合D中必有一個(gè)集合中至少存在一半的元素不超過1000，
不妨設(shè)S中有個(gè)元素，，…，，不超過1000，由集合S具有性質(zhì)P，
知存在正整數(shù)，使得對于S中的任意一對元素，都有，
于是一定有，，…，，又，
即，，…，，則集合A中至少有t個(gè)元素不在集合S中，
因此，所以，解得：，
當(dāng)時(shí)，取，
對于集合S中任意兩個(gè)元素，都有，
即集合S具有性質(zhì)P，而此時(shí)集合S中有1333個(gè)元素，
因此集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值是1333.

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