【高考數(shù)學(xué)】
專題：數(shù)列
一、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系
① （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）
② （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）
③ （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）
= 4 \* GB3 ④sn+1-sn-1=an+1+an （注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）
二、等差與等比數(shù)列的基本知識(shí)
1、等差數(shù)列
通項(xiàng)公式與公差：
定義式：
一般式：
推廣形式： ；
；
= 2 \* GB2 ⑵ 前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：
前n項(xiàng)和公式：.
前n項(xiàng)和公式的一般式：
應(yīng)用：若已知，即可判斷為某個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，并可求出首項(xiàng)及公差的值。
與的關(guān)系：（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）
例：等差數(shù)列， （直接利用通項(xiàng)公式作差求解）
⑶ 常用性質(zhì)：
①若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等差中項(xiàng)，則有2n、m、p成等差數(shù)列；
②等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如，）仍是等差數(shù)列；
③為公差為d等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，，．．．也成等差數(shù)列,
構(gòu)成的新數(shù)列公差為D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；
對(duì)于任意已知Sm，Sn，等差數(shù)列 公差，即也構(gòu)成一個(gè)公差為等差數(shù)列。
= 6 \* GB3 ⑥若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①偶奇； ② ；
= 7 \* GB3 ⑦若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，則①奇偶；②。
例：已知等差數(shù)列，其中
解析：法一，用等差數(shù)列求和公式 求出
法二，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為D，則：
法三,
63. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：
⑴ ①一般形式：；
②推廣形式：，
③其前n項(xiàng)的和公式為：，或.
⑵數(shù)列為等比數(shù)列
⑶ 常用性質(zhì)：
若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等比中項(xiàng)，則有 n、m、p成等比數(shù)列;
等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如，）仍是等比數(shù)列；
③為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則，，．．．也成等比數(shù)列（僅當(dāng)當(dāng)或者且不是偶數(shù)時(shí)候成立）；
設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列．
= 4 \* GB3 ④ 為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.
= 5 \* GB3 ⑤ 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.
判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：
= 1 \* GB3 ①定義法：
是等差數(shù)列
= 2 \* GB3 ②中項(xiàng)法：
是等差數(shù)列
= 3 \* GB3 ③一般通項(xiàng)公式法：
是等差數(shù)列
= 4 \* GB3 ④一般前項(xiàng)和公式法：
是等差數(shù)列
判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的方法：
（1）定義法：為等比數(shù)列；
（2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；
（3）通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；
（4）前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。
為等比數(shù)列。
數(shù)列最值的求解
（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；
可用二次函數(shù)最值的求法（）；②或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：
若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。
例1：等差數(shù)列中，，則前 項(xiàng)的和最大。
【解析】：
例2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知
= 1 \* GB3 ①求出公差的范圍，
= 2 \* GB3 ②指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。
【解析】：
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ② 由，可知，n=12是前n項(xiàng)和正負(fù)分界項(xiàng)，
故所以，最大
變式：若等差數(shù)列的首項(xiàng)為為31，從第16項(xiàng)開始小于1 ，則此數(shù)列公差d的取值范圍是
解析：，但要注意此時(shí)還要一個(gè)隱含條件，聯(lián)立不等式組求解。
3、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 ，數(shù)值最小項(xiàng)是第 項(xiàng)。
【解析】：法一（導(dǎo)數(shù)法）：
根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的標(biāo)準(zhǔn)形式，可知該數(shù)列為等差數(shù)列，
令,取得最小值，
其中，可見當(dāng)n=3時(shí)取得最小。
法二（列舉法）：對(duì)于可用列舉法，分別求出n=1、2…時(shí)的的值，再進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)。
4、已知數(shù)列，
【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令
法二（列舉法）：實(shí)在沒招時(shí)使用該法。
5、 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 。
【解析】：
6、
數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：
類型1：等差數(shù)列型
思路：把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累加法（逐差相加法）求解。
例，已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：由得則
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
變式： 已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解： 兩邊除以，得，則，此時(shí)，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
評(píng)注：本題前的系數(shù)不一致，不能直接使用前述方法，解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。
類型2：等比數(shù)列型
把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。
例 （2004年全國(guó)I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。
解：因?yàn)棰?br>所以②
用②式－①式得則；故
所以③
由，，則，又知，則，代入③得。所以，的通項(xiàng)公式為
評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。
類型4：待定系數(shù)法處理 或型數(shù)列
把原遞推式轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化思路：
例，數(shù)列
解：令，所以即是公比為2的等比數(shù)列， =（），或令，是公比為2的等比數(shù)列，所以，
變式1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
思路：等式兩邊同時(shí)除于；原遞推式變成令，
評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。
變式2：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
思路：將原遞推式兩邊倒數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為
變式3：已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
思路：將原遞推式兩邊求對(duì)數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為
變式4：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
思路：：換元，則，再代入原遞推式，再轉(zhuǎn)化為
類型5 已知遞推式 求
這種類型一般利用導(dǎo)出，消去，得到與的遞推式，再利用前面的方法求解出（知識(shí)遷移：）
例，已知數(shù)列前n項(xiàng)和，求：（1），（2）通項(xiàng)。
解：（1）
（2）由上式：，
令，即有，而，，
所以，2，公差為2,的等差數(shù)列，
類型6：求
用作商法：
數(shù)列求和的常用方法
然數(shù)和公式：
；
；
一、利用等差等比數(shù)列的求和公式求和
1、 等差數(shù)列求和公式：
2、等比數(shù)列求和公式：
[例1] 已知，求的前n項(xiàng)和.
解：由，由等比數(shù)列求和公式得 ＝＝＝1－（利用等比數(shù)列求和公式）
[例2] 設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差數(shù)列求和公式得 ，
∴ ＝＝＝
∴ 當(dāng) ，即n＝8時(shí)，
二、錯(cuò)位相減法求和
這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an· bn}的前n項(xiàng)和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.
[例3] 求和：………………………①
解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積
設(shè)………………………. ②
①－②得 （錯(cuò)位相減）
再利用等比數(shù)列的求和公式得：
∴
[例4] 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.
解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積
設(shè)…………………………………①
………………………………②
-②
∴
三、反序相加法求和
這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).
[例5] 求的值
解：設(shè)…………. ①
將①式右邊反序得
…………..②
又因?yàn)? ，①+②得
＝89
∴ S＝44.5
題1 已知函數(shù)
（1）證明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊
（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，
兩式相加得：
所以.
四、分組法求和
有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.
[例5] 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…
解：設(shè)
將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

當(dāng)a＝1時(shí)，＝
時(shí)，＝
五、裂項(xiàng)法求和
這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：
（1） （2）
（3）
（4）
= 5 \* GB2 ⑸
[例6] 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
解：設(shè)
則
＝
＝
[例7] 在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.
解： ∵
∴
∴ 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

＝ ＝
六、分段求和法（合并法求和）
針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.
[例8] 求cs1°+ cs2°+ cs3°+···+ cs178°+ cs179°的值.
解：設(shè)Sn＝ cs1°+ cs2°+ cs3°+···+ cs178°+ cs179°
∵
∴Sn＝ （cs1°+ cs179°）+（ cs2°+ cs178°）+ （cs3°+ cs177°）+···
+（cs89°+ cs91°）+ cs90°＝ 0
[例9] 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.
解：設(shè)
由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）
和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得
（合并求和）
＝
＝
＝10

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