一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 已知直線經過點，且法向量，則的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】由題意知直線 的法向量是，可得其斜率為 ，
所以直線 的方程為 ，即 .故選：C
2．在下列命題中：
①若向量共線，則向量所在的直線平行；
②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；
③若三個向量兩兩共面，則向量共面；
④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)使得其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【詳解】對于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；
對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；
對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面，例如空間直角坐標系軸所在的向量兩兩共面，但是顯然軸不共面，故③錯誤；
對于④，若共線時，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯誤.
于是四個選項都是錯的.故選：A
3．如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內，，，且，則的長等于（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
由二面角的平面角的定義知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.故選：C.
4．a=﹣1是直線4x﹣（a+1）y+9=0與直線（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【解答】解：當a=﹣1時，兩條直線分別化為：4x+9=0，y+6=0，此時兩條直線相互垂直；
當a=0時，兩條直線分別化為：4x﹣y+9=0，﹣x+6=0，此時兩條直線不垂直；
當a≠﹣1，0時，兩條直線的斜率分別：，，∵兩條直線相互垂直，∴ =﹣1，解得a=．
綜上：a=﹣1是直線4x﹣（a+1）y+9=0與直線（a2﹣1）x﹣ay+6=0垂直的充分不必要條件
故選：A．
5．直線x﹣2y﹣3=0與圓（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E，F(xiàn)兩點，則△EOF（O是原點）的面積為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：圓（x﹣2）2+（y+3）2=9的圓心為（2，﹣3）
∴（2，﹣3）到直線x﹣2y﹣3=0的距離d==
弦長|EF|=
原點到直線的距離d= ∴△EOF的面積為
故選D．
6．設點?，若直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【詳解】如圖所示：依題意，，
要想直線l過點且與線段AB相交，
則或，故選：A
7．直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設直線的傾斜角為.
因為，，，所以，.
又，則.
當時，單調遞增，解，可得；
當時，單調遞增，解，可得.
綜上所述，.故選：B.
8．正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，則，所以，
故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范圍為．
故選：D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（ ）
A．B．
C．的長為D．
【答案】BD
【詳解】根據題意，依次分析選項：
對于A選項，，A錯誤，
對于B選項，，B正確：
對于C選項，，則，
則，C錯誤：
對于，則，D正確.
故選：BD.
10．已知點在圓上，點、，則（ ）
A．點到直線的距離小于 B．點到直線的距離大于
C．當最小時， D．當最大時，
【答案】ACD
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；
如圖所示：
當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項正確.
故選：ACD.
11. 曲線被稱為“幸運四葉草曲線”（如圖所示）．給出下列四個結論，正確的有（ ）
A. 曲線C關于直線交于不同于原點
的Ax1,y1,Bx2,y2兩點，則
B. 存在一個以原點為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內（含邊界）；
C. 存在一個以原點為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內（含邊界）；
D. 曲線C上存在一個點M，使得點M到兩坐標軸的距離之積大于.
【答案】AC
【詳解】由可得，所以曲線關于原點對稱，
又直線過原點，所以Ax1,y1與Bx2,y2兩點關于原點對稱，
所以，所以A正確；
由，所以，
即：①，當取等號，此時，點在曲線上，
而，所以不可能在一個以原點為中心、邊長為1的正方形內，所以B錯誤，
點可以在一個以原點為中心、半徑為1的圓上，故C正確，
由①式知，所以D錯誤．故答案為：AC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．過點作圓的兩條切線，切點分別為 、，則直線的方程為 ．
【答案】
【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，
所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，
所以，所以直線的方程為，即；
方法2：設，，則由，可得，
同理可得，所以直線的方程為.
故答案為：
13．設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為 .
【答案】/
【詳解】∵，，，
∴，
又∵A，C，D三點共線，∴，
∵，不共線，∴，∴，∴.
故答案為：
14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且，過作的垂線交軸于點，若，記橢圓的離心率為，則 .
【答案】
因為，，所以，
可得，即，可得；
又在中，，
由橢圓定義可得，即，
所以，可得.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。
15．13分
已知空間三點，設．
(1)若，，求；
(2)求與的夾角的余弦值；
(3)若與互相垂直，求k．
【答案】(1)或……………………………………………………3
(2)…………………………………………………4
(3)或…………………………………………………6
【詳解】（1）因為，
所以，又因為，
所以，又因為，……………………………………………………1
所以，……………………………………………………2
因此或；……………………………………………………3
（2）因為
所以與的夾角的余弦值為；……………………………………………………7
（3）因為與互相垂直，
所以………………10
或.……………………………………………………13
16．15分
已知直線x﹣y+1=0與圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B兩點；
（1）求線段AB的垂直平分線的方程；
（2）若|AB|=2，求m的值；
（3）在（2）的條件下，求過點P（4，4）的圓C的切線方程．
解析
（1）x+y﹣3=0；……………………………4
（2）m=1…………………5
（3）x=4或5x﹣12y+28=0．…………………6
【解答】解：（1）由題意，線段AB的垂直平分線經過圓的圓心（2，1），斜率為﹣1，
∴方程為y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0；……………………………………4
（2）圓x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化為（x﹣2）2+（y﹣1）2=﹣m+5，
∵|AB|=2，∴圓心到直線的距離為，
∵圓心到直線的距離為d==，∴，∴m=1…………………9
（3）由題意，知點P（4，4）不在圓上．
①當所求切線的斜率存在時，設切線方程為y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+4=0．
由圓心到切線的距離等于半徑，得=2，
解得k=，所以所求切線的方程為5x﹣12y+28=0…………………12
②當所求切線的斜率不存在時，切線方程為x=4…………………15
綜上，所求切線的方程為x=4或5x﹣12y+28=0．
17．已知的三個頂點分別為，，，直線經過點.
(1)求外接圓的方程；
(2)若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；
(3)若直線與圓相交于，兩點，求面積的最大值，并求出直線的斜率.
【答案】(1)……………………………4
(2)或……………………………5
(3)，……………………………6
【詳解】（1）設圓的方程為，，
則，解得，
則圓的方程為，
即；……………………………4
（2）由（1）得圓心，半徑，
又，可知圓心到直線的距離，
當直線斜率不存在時，直線方程為，
此時圓心到直線的距離為，成立；……………………………6
當直線斜率存在時，設直線方程為，即，
圓心到直線的距離，
解得，則直線方程為，即；……………………………8
綜上，直線方程為x=1或.……………………………9
（3）由D1,4在圓外，
則在中，，，
又，
則當，即時，取得最大值為，……………………………11
此時為等腰直角三角形，
即圓心到直線的距離，
即，……………………………13
解得.……………………………15

18．如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點在棱上，當二面角為時，求．
【答案】(1)證明見解析；……………………………5
(2)1……………………………12
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；
（2）設，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
（1）以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，
，，
又不在同一條直線上，
.……………………………5
（2）設，
則，
設平面的法向量，
則，
令 ，得，，……………………………8
設平面的法向量，
則，
令 ，得，，……………………………11
，……………………15
化簡可得，，解得或，……………………………16
或，.……………………………17
19. 已知橢圓經過點，且離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點的直線（與軸不重合）與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1） ……………………………3
（2）……………………………14
【小問1詳解】
因為橢圓經過點，所以
又因為離心率，所以，所以橢圓的方程為；……3
【小問2詳解】
顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，，
聯(lián)立可得，……………………………5
則恒成立，所以，
則，……………………………7
所以中點坐標為的，
所以線段垂直平分線方程為，……………………………10
令，可得，
當時，，……………………………12
當時，，
當時，，當且僅當，即時取等號，……………14
當時，，
當且僅當，即時取等號，……………………………16
所以，所以，
綜上：.……………………………17

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