一、選擇題．（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．下列代數(shù)式中，分式有______個
，，，，，，，，
A．5B．4C．3D．2
2．下面計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．2016年11月22日，日本東北部外海發(fā)生里氏7.3級大地震，導致當天地球的自轉時間少了秒，將用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
4．下列說法錯誤的是（ ）
A．1的平方根是1B．的立方根是
C．是2的平方根D．是的平方根
5．如圖，，請問添加下面哪個條件不能判斷的是（ ）
A． B． C． D．
6．如圖，是關于的不等式的解集，則的取值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知等腰三角形ABC的兩邊滿足，則此三角形的周長為( )
A．12B．15C．12或15D．不能確定
8．已知且，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．若關于x的方程有增根，則的值為( )
A．2B．3C．4D．6
10．如圖，中，，，的平分線交于點F，平分．給出下列結論：①；②；③；④．正確結論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題．（本大題共8個小題，每小題3分，共18分，將答案填在答題紙上）
11．的平方根是 ．
12．若有意義，則實數(shù)的取值范圍是 ．
13．若關于x的一元一次不等式組無解，求a的取值范圍 ．
14．在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為
15．如圖，在中，，，于D，于E，與交于H，則 ．
16．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下面的結論：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP，其中正確的是 ．（填序號）
三．解答題．（本大題7個小題，17題6分，18題16分；19、20每題8分，21題10分；22、23每題12分，共計72分）
17．計算：
18．解方程和不等式：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
19．求滿足不等式組的所有整數(shù)解．
20．如圖，在中，，點D是的中點，，交的延長線于點，且，．
(1)求證：；
(2)求的周長．
21．先化簡：； 再在不等式組中選取一個合適的整數(shù)解，代入求值．
22．某農(nóng)谷生態(tài)園響應國家發(fā)展有機農(nóng)業(yè)政策，大力種植有機蔬菜，某超市看好甲、乙兩種有機蔬菜的市場價值，經(jīng)調查甲種蔬菜進價每千克元，售價每千克16元；乙種蔬菜進價每千克元，售價每千克18元．
（1）該超市購進甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜5千克需要170元；購進甲種蔬菜6千克和乙種蔬菜10千克需要200元．求，的值．
（2）該超市決定每天購進甲、乙兩種蔬菜共100千克，且投入資金不少于1160元又不多于1168元，設購買甲種蔬菜千克為整數(shù)），求有哪幾種購買方案．
（3）在（2）的條件下，求超市在獲得的利潤的最大值．
23．已知：如圖，在長方形中，，．延長到E，使，連接．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設點P運動的時間為t秒．
(1)請用含t的式子表達的面積；
(2)是否存在某個t值，使得和全等？若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由.
參考答案與解析
1．B
【分析】根據(jù)判斷分式的依據(jù)：看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式，對各選項判斷即可．
【詳解】解：解：根據(jù)分式的定義，可知分式有：
， ，，， 共4個，
故選：B．
【點睛】本題考查分式的定義，能熟記分式的定義的內容是解題的關鍵，注意：分式的分母中含有字母．
2．A
【分析】本題主要考查了二次根式的運算，化簡二次根式，根據(jù)二次根式的四則運算法則求解即可．
【詳解】解：A、，原式計算正確，符合題意；
B、與不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意；
故選A．
3．B
【分析】此題考查科學記數(shù)法．絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【詳解】解：將用科學記數(shù)法表示為．
故選：B．
4．A
【分析】據(jù)平方根及立方根的定義對各選項分析判斷后利用排除法即可得出答案．
【詳解】解：A、1的平方根是±1，故本選項錯誤；
B、-1的立方根是-1，正確；
C. 是2的平方根，正確；
D. 是的平方根，正確．
故選：A．
【點睛】本題考查了平方根立方根的定義，是基礎題，比較簡單．
5．B
【分析】本題要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具備了一組邊一個角對應相等，對選項一一分析，選出正確答案．
【詳解】解：A、添加BC=BE，可根據(jù)SAS判定△ABC≌△DBE，故A選項正確，不符合題意；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故錯誤，符合題意；
C、添加∠A=∠D，可根據(jù)ASA判定△ABC≌△DBE，故正確，不符合題意；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根據(jù)AAS判定△ABC≌△DBE，故正確，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
6．C
【分析】本題考查了解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集．解不等式得，根據(jù)數(shù)軸表示不等式的解集得，然后得到關于a的方程，求解即可．
【詳解】解：解得，
由數(shù)軸表示不等式的解集，得，
∴，
解得，
故選：C．
7．B
【分析】根據(jù)非負數(shù)的非負性可求出AB和BC的值，根據(jù)等腰三角形的性質和三邊關系分情況討論求解.
【詳解】因為,
所以AB=3,BC=6,
因為AB和BC是等腰三角形ABC的兩邊，
所以當AB=3是腰, BC=6是底邊，則三角形三邊分別為3,3,6，由三邊關系可得,3,3,6不能構成三角形;
所以當AB=3是底邊, BC=6是腰，則三角形三邊分別為6,6,3，由三邊關系可得6,6,3能構成三角形,所以三角形周長是15.
故選B.
【點睛】本題主要考查非負數(shù)的非負性和三角形三邊關系，等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三邊關系和等腰三角形的性質.
8．C
【分析】本題主要考查了不等式的基本性質．根據(jù)不等式的性質，先將兩不等式相加，得到，再兩邊同時除以2，即可求出a的取值范圍．
【詳解】解：∵且，
∴，即，
∴．
故選：C．
9．B
【分析】先把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程有增根求出a的值，然后代值計算即可．
【詳解】解：
方程兩邊同時乘以得：，
∵分式方程有增根，
∴把代入到中得：，
∴，
故選B．
【點睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程根的情況求參數(shù)，代數(shù)式求值，正確求出a的值是解題的關鍵．
10．C
【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠C，再根據(jù)等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質求出AG⊥EF．
【詳解】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，
∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，故①正確；
∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF=90°，
∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
又∵∠AFE=∠BFD（對頂角相等），
∴∠AEF=∠AFE，故②正確；
∵∠ABE=∠CBE，
∴只有∠C=30°時∠EBC=∠C，故③錯誤；
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正確．
綜上所述，正確的結論是①②④．
故選：C．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形三線合一的性質，同角的余角相等的性質以及等角的余角相等的性質，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．
11．
【分析】先求出=10，然后再求平方根即可．
【詳解】解：＝10，
10的平方根是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了算術平方根的定義和平方根的定義，靈活應用相關定義是解答本題的關鍵．
12．且
【分析】本題考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件．根據(jù)分式有意義的條件“分母不為0”以及二次根式有意義的條件“被開方數(shù)不小于0”列不等式組，求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
解得：且，
故答案為：且．
13．##
【分析】本題主要考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集情況求參數(shù)，先求出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式無解即可得到答案．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵關于x的一元一次不等式組無解，
∴，
故答案為；．
14．7或11
【分析】分兩種情況討論，列出方程即可解決問題．
【詳解】①當15是腰長與腰長一半時，，
解得，
∴底邊長；
三邊長為：10，10，7；
②當12是腰長與腰長一半時，，
解得，
∴底邊長，
三邊長為：8，8，11；
經(jīng)驗證，這兩種情況都是成立的．
∴這個三角形的底邊長等于7或11．
故答案為：7或11．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形三邊關系；注意：求出的結果一定要檢驗是否符合三角形三邊性質．分類討論是正確解答本題的關鍵．
15．##45度
【分析】本題考查三角形內角和定理，直角三角形兩個銳角互余，三角形的高的性質等知識，解題的關鍵是延長交于點F，利用三角形的三條高交于一點解決問題解決問題．
【詳解】解：延長交于點F，
在中，三邊的高交于一點，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
在中，三內角之和為，
∴，
故答案為：．
16．①②③④
【分析】①利用等邊對等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；
②證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
③首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AC＝AE＋CE＝AO＋AP．
④過點C作CH⊥AB于H，根據(jù)，利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖1，連接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°?∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正確；
∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°，
∵∠APO＋∠DCO＝30°，
∴∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°?（∠OPC＋∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等邊三角形；
故②正確；
如圖2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180°?∠BAC＝60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP，故③正確；
如圖3，過點C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴＝AB?CH，
＝AP?CH＋OA?CD＝AP?CH＋OA?CH
＝CH?（AP＋OA）
＝CH?AC，
∴；
故④正確．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．
17．4
【分析】本題考查了實數(shù)的運算．由絕對值、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、立方根的運算法則進行計算即可．
【詳解】解：
．
18．(1)
(2)；
(3)
(4)或．
【分析】（1）去分母轉化為整式方程，求出解后檢驗即可；
（2）去括號，求出不等式的解集即可；
（3）利用立方根的性質求解即可；
（3）利用平方根的性質求解即可．
【詳解】（1）解：，
去分母得，
去括號得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解；
（2）解：，
去括號得，
移項合并得，
解得；
（3）解：，
開方得，
解得；
（4）解：，
整理得，
開方得，
即或，
解得或．
【點睛】本題考查了解分式方程、不等式以及利用立方根、平方根的性質解方程．準確計算是解題的關鍵．
19．不等式組的解集：-1≤x＜2，整數(shù)解為：-1，0，1.
【詳解】解：解不等式x-3（x-2）≤8，得：x≥-1，
解不等式x-1＜3-x，得：x＜2，
則不等式組的解集為-1≤x＜2，
所以不等式組的整數(shù)解為-1、0、1．
20．(1)見解析
(2)的周長為24．
【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定，平行線的性質．
（1）利用即可證明；
（2）證明是等邊三角形，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，點D是的中點，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∵，
∴的周長為24．
21．，1
【分析】本題考查的是分式的化簡求值及一元一次不等式組的整數(shù)解．先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出不等式的解集，在其解集范圍內選取合適的a的值代入分式進行計算即可．
【詳解】解：
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
則不等式組的解集為，
其整數(shù)解有、0、1．
∵，
∴，則原式．
22．（1）的值為10，的值為14；（2）有3種購買方案，方案1：購買甲種蔬菜58千克，乙種蔬菜42千克；方案2：購買甲種蔬菜59千克，乙種蔬菜41千克；方案3：購買甲種蔬菜60千克，乙種蔬菜40千克；（3）當時，取得最大值為元
【分析】（1）根據(jù)“該超市購進甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜5千克需要170元；購進甲種蔬菜6千克和乙種蔬菜10千克需要200元”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購買甲種蔬菜千克，則購買乙種蔬菜千克，根據(jù)總價單價數(shù)量結合投入資金不少于1160元又不多于1168元，即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結合為正整數(shù)即可得出各購買方案；
（3）設超市獲得的利潤為元，根據(jù)總利潤每千克的利潤銷售數(shù)量可得出關于的函數(shù)關系式，利用一次函數(shù)的性質可得出獲得利潤的最大值．
【詳解】解：（1）依題意，得：
，
解得：．
答：的值為10，的值為14．
（2）設購買甲種蔬菜千克，則購買乙種蔬菜千克，
依題意，得：，
解得：．
為正整數(shù)，
，59，60，
有3種購買方案，方案1：購買甲種蔬菜58千克，乙種蔬菜42千克；方案2：購買甲種蔬菜59千克，乙種蔬菜41千克；方案3：購買甲種蔬菜60千克，乙種蔬菜40千克．
（3）設超市獲得的利潤為元，則．
，
隨的增大而增大，
當時，取得最大值，最大值為．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數(shù)的性質以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組；（3）利用一次函數(shù)的性質，得出利潤的最大值．
23．(1)；
(2)存在，滿足條件的t值為或．
【分析】本題考查了三角形的面積，求函數(shù)解析式和全等三角形的性質等知識．
（1）分三種情況，由三角形面積公式即可得出答案；
（2）分兩種情況進行討論，根據(jù)題意得出和，即可求得．
【詳解】（1）解：①當P在上時，
如圖，由題意得，
∴；
②當P在上時，，
∴；
③當P在上時，由題意得
∴；
綜上，；
（2）解：當P在上時，由題意得，
∴，
∵，為公共邊，
∴要使，則需，如圖1所示：
∵，
∴，
∴，
即當時，；
當P在上時，由題意得，
∵，，
∴，
∵，為公共邊，
∴要使，則需，如圖2所示：
即，
∴，
即當時，；
綜上所述：當或時，和全等．

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