注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．“x為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知命題；命題，則（ ）
A．p和q都是真命題B．和q都是真命題C．p和都是真命題D．和都是真命題
4．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
5．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
6．若，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．正確表示圖中陰影部分的是（ ）
A．B．C．D．
8．若，則的最小值為（ ）．
A．2B．C．4D．6
二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．
9．若關(guān)于x的不等式的解集為，則（ ）
A．B．C．D．
10．若非空集合滿足：，則（ ）
A．B．C．D．
11．長方體的長、寬、高分別為．長方體的表面積為16．則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題；本大題共3小題，每小題5分，共計15分．
12．“”的否定是_______．
13．某校學生積極參加社團活動，高一年級共有100名學生，其中參加參加合唱社團的學生有63名，表示參加科技社團的學生，有75名（并非每個學生必須參加某個社團），則在高一年級的學生中，同時參加合唱社團和科技社團的最多有_______名學生，最少有_______名學生．（第一空2分，第二空3分）．
14．已知，則的最小值為_______．
四、解答題；本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）設(shè)集合．
（1）若且，求a的取值范圍；
（2）若，求a的取值范圍．
16．（15分）如圖所示，某學校要在長為，寬為的一塊矩形地面上進行綠化，計劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為，中間植草坪．
（1）若中間草坪面積為矩形土地面積的一半，則花卉帶的寬度是多少？
（2）為了美觀，要求草坪的面積大于總面積的一半，則花卉帶的寬度的取值范圍是多少？
17．（15分）已知函數(shù)．
（1）若對任意，都有，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若對任意滿足的x，都有，求實數(shù)a的取值范圍．
18．（17分）（1）設(shè)，證明：的充要條件為．
（2）設(shè)，求證：至少有一個為負數(shù)．
19．（17分）（1）設(shè)，求證：，
（2）設(shè)，求證：，
2024—2025學年第一學期考試高一數(shù)學試題答案解析與評分標準
1．答案：A
解析：由x為自然數(shù)能推出為自然數(shù)，故“x為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的充分條件，由為自然數(shù)不能推出x為自然數(shù)，故“x為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的不必要條件，綜上所述，“x為自然數(shù)”是“為自然數(shù)”的充分不必要條件，故選：A．
2．答案：C
解析：因為，所以．故選C．
3．答案：B
解析：對于p而言，取，則有，故p是假命題，是真命題，
對于q而言，取，則有，故q是真命題，是假命題，綜上，和q都是真命題．故選B．
4．答案：B
解析：若，則錯誤，如時，，所以該選項A錯誤；
若，則，所以該選項B正確；
若，則，所以該選項C錯誤；
若，則，所以該選項D錯誤．
故選：B
5．答案：D
解析：因為，所以，則，故選D．
6．答案：B．
解析：因為，所以，故選B．
7．答案：C
解析：陰影部分中的元素既不屬于集合A，也不屬于集合B，故選C．
8．答案：C
解析：，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為4，故選C．
9．答案：BCD
解析：由題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象知，拋物線開口應(yīng)向下，則，故A錯誤；
一元二次方程的兩根為和3，
由韋達定理，，故，即，故B正確；
由上分析可得，故C正確；
由上分析可得，故D正確．
故選BCD．
10．答案：ABD
解析：由得，由得，所以
，B正確；
，A正確；
，C錯誤；
，D正確．故選ABD．
11．答案：BC
解析：長方體的表面積為，所以，
因為，得，當且僅當時取等號，
即，所以，得到，所以，故選A錯誤，選項B正確，又由，得到，當且僅當時取等號，即，整理得到，解得，所以選項C正確，選項D錯誤，故選BC．
12．答案：
解析：由命題否定的定義，可知命題“”的否定是“”．
13．答案：6338
解析：用集合U表示高一年級100名學生，用集合A表示參加合唱社團的學生，用集合B表示參加科技社團的學生，，當，即時，最多，為63名；
當，即時，最少，為名．
14．答案：
解析：．
當且僅當，即時取等號，的最小值為．
15．解析：（1）因為，且，
所以，-------3分（一個不等式1分）
解得，---5分
綜上所述，a的取值范圍為．----6分
（2）由題意，需分為和兩種情形進行討論：
當時，，-------7分
解得，滿足題意；--8分
當時，因為，
所以，---9分
解得，-----10分
或無解；-----12分（不等式組正確1分，結(jié)論無解1分）
綜上所述，a的取值范圍為或．----13分
16．解析：設(shè)花卉帶的寬度為，
（1）由題意得，--3分
解得或（舍去）．------6分（無“（舍去）”扣3分，有“”無“（舍去）”扣2分）
即．----7分
（2）由題意得，-----9分
整理得，----11分
解得或．-------13分（一個范圍1分，少“”扣1分）
由實際意義得．----15分（多“”本步驟不得分）
17．解析（1）依題意可得：，-----3分
解得，-----6分
所以實數(shù)a的取值范圍為．-----7分
（2）對任意滿足的x，都有，
即，-----9分
又．所以對恒成立，---10分
由于，當時等號成立．----13分（無等號成立條件扣1分）
所以，
即實數(shù)a的取值范圍為．-----15分（只有“所以”不扣分）
18．解析：（1）充分性：若，
則，
，-----1分
，----2分
，---3分
．----4分
必要性：若，
則，----5分
，----6分
，----7分
．---8分
（2）方法一假設(shè)，-------9分
，
，------10分
，
------12分
，
，-------14分
，與矛盾，-----16分
至少有一個為負數(shù)．---------17分
方法二假設(shè)，--------9分
，
，-------11分
，------13分
，------15分
與矛盾，-------16分
至少有一個為負數(shù)．------17分
19．解析（1）方法一：，
，---3分
，----5分
．---8分
方法二：，
，---3分
----5分
．----8分
方法三：
----3分
，
，--------5分
，--7分
．---8分
方法四：幾何法
如圖，做邊長為1的正方形，分別在邊上分別取點，
使得，--------1分
過E做交于E，交于H，
過F做交于G，交于F，
直線與交于點I，-------3分
則長方形的面積，------4分
長方形的面積，---5分
正方形的面積，---6分
由圖可知，---7分
所以．--8分
方法五：設(shè)．----2分
將y看做常數(shù)，對于函數(shù)，
有，----3分
．--4分
對于，都有，----6分
即．----7分
．----8分
（2）方法一：
---10分
，
．---14分（結(jié)論中少一個不等式扣1分，扣完4分為止）
，---15分
．---17分
方法二：，
．----9分
，--10分
，---11分
．----12分
----16分
．……17分
方法三：幾何法
做邊長為1的正方體．分別在棱上取點，過E做平面，過F做平面，過做平面，交點見圖．------11分長方體的體積，-----12分
長方體的體積．----13分
長方體的體積．----14分
正方體的體積．----15分
．-----17分
方法四：設(shè)．----10分
將看做常數(shù)，對于函數(shù)，
有，----12分
．----14分
∴對于，都有，------15分
即．----16分
．--17分

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