1. 下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；
D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，故符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，解本題的關(guān)鍵在尋找圖形的對(duì)稱軸，看圖形兩部分折疊后是否能夠互相重合．
2. 在聯(lián)合會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘模? ）
A. 三邊中線的交點(diǎn)B. 三條角平分線交點(diǎn)C. 三邊中垂線的交點(diǎn)D. 三邊上高交點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了與三角形相關(guān)的線段以及線段的垂直平分線．當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，再由線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，
∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，
∴凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诘娜呏写咕€的交點(diǎn)，
故選：C．
3. 已知等腰三角形的一個(gè)角為，則該三角形的底角度數(shù)為（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】分的角為頂角，的角為底角，利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：當(dāng)?shù)慕菫轫斀菚r(shí)，則底角度數(shù)為，
當(dāng)?shù)慕菫榈捉菚r(shí)，則底角度數(shù)為；
綜上所述，該三角形的底角度數(shù)為或，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
4. 如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=20°，DE是邊AC的垂直平分線，連結(jié)AE，則∠BAE等于（ ）
A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出CE=AE，求出∠EAC=∠C=20°，即可得出答案．
【詳解】∵在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=20°，
∴∠BAC=180°?∠B?∠C=70°，
∵DE是邊AC的垂直平分線,∠C=20°，
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠C=20°，
∴∠BAE=∠BAC?∠EAC=70°?20°=50°，
故選C.
【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).
5. 如圖，△ABC中，AC＝8，點(diǎn)D，E分別在BC，AC上，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)．若AB＝AD，EF＝EC，則EF的長是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】連接AF,得到∠AFC=90°，再證AE=EF,可得EF=AE=EC，即可求出EF的長.
【詳解】解：如圖：連接AF,
∵AB=AD, F是BD的中點(diǎn),
∴AF⊥BD,
∵EF=EC,
∴∠EFC=∠C,
∵在Rt△AFC中，∠AFC=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°,∠FAC+∠C=90°,
∴∠AFE=∠FAC,
∴AE=EF,
∵AC＝8,
∴EF=AE=EC=AC=4.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是正確的添加輔助線.
6. 已知：如圖中，，，在直線BA上找一點(diǎn)D，使或?yàn)榈妊切?，則符合條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)有（ ）

A. 7個(gè)B. 6個(gè)C. 5個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】分或?yàn)榈妊切蝺煞N情況畫出圖形即可判斷．
【詳解】解：如圖：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；

∵，∴是等邊三角形，∴；
當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；
當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，都是等腰三角形；
綜上，符合條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)有6個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形存在問題，如果題中沒有說明等腰三角形的腰或者底分別是哪條線段，都要進(jìn)行分類討論，讓三條線段分別兩兩相等，得出三種情況，再根據(jù)題意看有沒有需要排除的情況，然后再一一分析符合條件的圖形．
7. 如圖，在中，，將沿折疊至，，連接，平分，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的的判定與性質(zhì),疊的性質(zhì)．連接，過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由折疊性質(zhì)可得，，，從而證明是等邊三角形，證明，可證，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】如圖，連接，過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
∵平分，
∴，
由折疊性質(zhì)可知，，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
二、填空題
8. 如圖，在銳角△ABC中，BC=4，∠ABC=30°，∠ABD=15°，直線BD交邊AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P、Q分別在線段BD、BC上運(yùn)動(dòng)，則PQ+PC的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接CM，當(dāng)時(shí)．此時(shí)PQ+PC取得最小值．
詳解】解：∵∠ABC=30°，∠ABD=15°，
∴BD是∠ABC的平分線，
作點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接PM、CM，
由對(duì)稱的性質(zhì)可知，,
∴，
∵,
∴,
∵,
∴M在AB上,
由垂線段最短可知：當(dāng)時(shí)．取得最小值，
∴此時(shí)PQ+PC也取得最小值．
∵，
∴，
∵,
∴,
∴PQ+PC的最小值為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題、的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短路徑問題．
9. 等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個(gè)三角形的周長為___________．
【答案】15
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解．
【詳解】解：①3是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、6，
，
不能組成三角形，
②3是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為6、6、3，
能組成三角形，
周長．
綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長為15．
故答案為：15．
10. 如圖,正三角形網(wǎng)格中,已有兩個(gè)小正三角形被涂黑,再將圖中其余小正三角形涂黑一個(gè),使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的方法有______種.

【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的概念作答．如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
【詳解】解：選擇小正三角形涂黑，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，

選擇的位置有以下幾種：1處，2處，3處，選擇的位置共有3處．
故答案為3．
考點(diǎn)：概率公式；軸對(duì)稱圖形．
11. 如圖，點(diǎn)D在上，，，則_____．
【答案】##108度
【解析】
【分析】本題考查了等邊對(duì)等角、三角形外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，由等邊對(duì)等角得出，結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)得出，再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得出，從而推出，即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
12. 如圖，在中，的垂直平分線分別交和于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若的周長，的周長，則的長為_______．
【答案】9
【解析】
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，
∴，
∵的周長，
∴，
∵的周長，
∴，
∴，
故答案為：9．
13. 如圖，在中，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平分，，得到，根據(jù)面積公式求出三角形的面積，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵平分，，
∴，
∴的面積，
故答案為：．
14. 如圖，在中，，垂直平分．若，，垂足分別為點(diǎn)，，連接，則 ________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)三線合一證明，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，運(yùn)用等腰三角形三線合一證明是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可證是等腰直角三角形，，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，根據(jù)同角的余角相等可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可證是等腰三角形，進(jìn)而求出其外角的度數(shù)．
【詳解】解：∵垂直平分，，
∴，是等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，，
∵在直角和直角中，和都和互余，
∴，
∵，
∴點(diǎn)F是中點(diǎn)，是直角的中線，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
15. 如圖，中，動(dòng)點(diǎn)D在直線上，當(dāng)為等腰三角形，__________．

【答案】或或或
【解析】
【分析】畫出圖形，分四種情況分別求解．
【詳解】解：若，
則；

若，
則，
∴；

若，且三角形是銳角三角形，
則；

若，且三角形是鈍角三角形，
則．

綜上：的度數(shù)為或或或，
故答案為：或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找齊所有情況，分類討論．
16. 如圖，在中，，AD平分交于點(diǎn)，CE平分交AB于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則下列說法正確的有______．
；；若，則；．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了三角形全等性質(zhì)和判定，角平分線的定義，三角形的中線，等角對(duì)等邊，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得可得，然后根據(jù)AD平分，CE平分，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可進(jìn)行判斷；當(dāng)AD是的中線時(shí), ，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；延長CE至，使，連接，根據(jù)，證明得，然后根據(jù)等角對(duì)等邊進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；作的平分線交于點(diǎn)，可得，證明，，可得，進(jìn)而可以判斷；熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】①在中， ，
∴，
∵AD平分，CE平分，
∴，，
∴，故正確；
當(dāng)AD是的中線時(shí)，，而AD平分， 故錯(cuò)誤；
如圖，延長CE至，使，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵CE為角平分線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故正確；
如圖，作的平分線交于點(diǎn)，由得，

∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故正確；
綜上：正確，
故答案為：．
三、解答題
17. 下列四個(gè)圖都是由16個(gè)相同的小正方形拼成的正方形網(wǎng)格，其中的兩個(gè)小正方形被涂黑．請?jiān)诟鲌D中再將兩個(gè)空白的小正方形涂黑使各圖中涂黑部分組成的圖形成為軸對(duì)稱圖形(另兩個(gè)被涂黑的小正方形的位置必須全不相同)，并畫出其對(duì)稱軸．

【答案】見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的作法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，沿一條直線對(duì)折直線兩旁部分完全重合．先找到合適的對(duì)稱軸，然后再涂黑兩個(gè)小正方形即可．
【詳解】解∶如圖，

18. 如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，直線經(jīng)過網(wǎng)格格點(diǎn)．請完成下列各題：
（1）畫出關(guān)于直線的對(duì)稱的；
（2）的面積等于 ．
（3）利用網(wǎng)格，在直線上畫出點(diǎn)P，使．同時(shí)，在直線上畫出點(diǎn)Q，使的值最?。?br>【答案】（1）畫圖見解析
（2）
（3）畫圖見解析
【解析】
【分析】（1）分別作出點(diǎn)再依次連接，即可作答．
（2）運(yùn)用割補(bǔ)法求三角形面積，即可作答．
（3）結(jié)合網(wǎng)格特征，作出線段的垂直平分線，與直線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，結(jié)合（1），連接，與直線的交點(diǎn)，即為點(diǎn)Q，即可作答．
【小問1詳解】
解：如圖所示：
【小問2詳解】
解：；
【小問3詳解】
解：畫的垂直平分線交直線于點(diǎn)P，則，如圖所示：
連接交直線上于點(diǎn)Q，
則，
則的值最小，如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用網(wǎng)格求三角形面積，垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
19. 已知：如圖，中，D中點(diǎn)，垂足為E，垂足為F，且，求證：是等腰三角形．

【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．由點(diǎn)是中點(diǎn)，可得，再證明可得，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵D是中點(diǎn)，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
20. 已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一，如圖所示，過點(diǎn)A作于F，由三線合一定理得到，，再由線段的和差關(guān)系即可證明．
【詳解】證明：如圖所示，過點(diǎn)A作于F，
∵（已知），
∴，
又∵（已知），
∴，
∴，即（等式的性質(zhì)）．
21. 如圖，，平分，平分，且與交于E．求證：
（1）；
（2）．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：
（1）過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（2）分別證明，，得到，根據(jù)平角的定義，得到，即可．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)作，
∵平分，平分，，
∴，，
∴；
【小問2詳解】
證明：在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴
22. 如圖，在中，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，直線，交于點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上；
（2）已知，求的度數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明，從而證明結(jié)論即可；
（）先根據(jù)相等垂直平分線的性質(zhì)證明，，，再設(shè)，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出和，再根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)求出，，最后利用三角形內(nèi)角和定理求出答案即可.
本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性性質(zhì)，對(duì)頂角相等，解題關(guān)鍵是熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.
【小問1詳解】
證明：如圖所示， 連接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上；
【小問2詳解】
解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
設(shè)，，
∴，，， ，
∴，，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
23. 如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，．
（1）求證：；
（2）若，．求的周長．
【答案】（1）證明見解析．
（2）9．
【解析】
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出是解題關(guān)鍵．
（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問題．
（2）由（1）可得，再可推導(dǎo)出，再證明為等邊三角形即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，
∴與都為直角三角形，
又∵為的中點(diǎn)，
∴，，
∴．
【小問2詳解】
由（1）可知，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴的周長為．
24. 如圖，中，點(diǎn)在邊延長線上，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，且．
（1）求的度數(shù)；
（2）請判斷是否平分，并說明理由；
（3）若，，且，求的面積．
【答案】（1）
（2）平分，理由見解析
（3）的面積為9
【解析】
【分析】本題主要考查角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積．
（1）由平角的定義可求解的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求解，進(jìn)而可求解；
（2）過點(diǎn)分別作于，與，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證得，進(jìn)而可證明結(jié)論；
（3）利用三角形的面積公式可求得的長，再利用三角形的面積公式計(jì)算可求解．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：平分，理由如下：
過點(diǎn)分別作于，與，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
【小問3詳解】
解：，，，
，
即，
解得，
，
．
25. 如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與A，C不重合），Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），連接PQ交AB于D．
（1）設(shè)AP的長為x，則PC＝ ，QC＝ ；
（2）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長；
（3）過點(diǎn)Q作QF⊥AB交AB延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥AB交AB延長線于點(diǎn)E，則EP，QF有怎樣的關(guān)系？說明理由；
（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長
【答案】（1）， ；（2）2；（3），；（4）不變，．
【解析】
【分析】（1）由線段和差關(guān)系即可得出答案；
（2）由直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可列方程解方程即可得出答案；
（3）作的延長線于點(diǎn)，利用證明，即可得出答案；
（4）作的延長線于點(diǎn)，連接，由全等三角形的性質(zhì)可證，由題意可證四邊形是平行四邊形，可得，即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵
又和速度相同
∴
∴
故答案為：， ．
（２）∵,
∴
∴
∴
解得：x=2
∴ ．
（3），
理由如下：作的延長線于點(diǎn)
如圖，∵
∴
∴
∵和速度相同
∴
∵是等邊三角形
∴
又
∴
在和中
∴．
（4）DE的長度不變
作的延長線于點(diǎn)，連接
∵
∴
∴
∴
∵
∴且
∴四邊形是平行四邊形
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．
26. 小普同學(xué)在課外閱讀時(shí)，讀到了三角形內(nèi)有一個(gè)特殊點(diǎn)“布洛卡點(diǎn)”，關(guān)于“布洛卡點(diǎn)”有很多重要的結(jié)論．小普同學(xué)對(duì)“布洛卡點(diǎn)”也很感興趣，決定利用學(xué)過的知識(shí)和方法研究“布洛卡點(diǎn)”在一些特殊三角形中的性質(zhì)．讓我們嘗試與小普同學(xué)一起來研究，完成以下問題的解答或有關(guān)的填空．
【閱讀定義】如圖1，內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，那么點(diǎn)P稱為的“布洛卡點(diǎn)”，其中、、被稱為“布洛卡角”．如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q也是的“布洛卡點(diǎn)”．一般情況下，任意三角形會(huì)有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”．
【解決問題】（說明：說理過程可以不寫理由）
問題1：等邊三角形的“布洛卡點(diǎn)”有 個(gè)，“布洛卡角”的度數(shù)為 度；
問題2：在等腰三角形中，已知，點(diǎn)M是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，是“布洛卡角”．
（1）與的底角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請?jiān)趫D3中，畫出必要的點(diǎn)和線段，完成示意圖后進(jìn)行說理．
（2）當(dāng)（如圖4所示），時(shí)，求點(diǎn)C到直線的距離．
【答案】問題1：1，30；問題2：（1），（2），
【解析】
【分析】問題1：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“布洛卡點(diǎn)”的定義即可知其“布洛卡點(diǎn)”個(gè)數(shù)和角度；
問題2：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題意可知，則有，利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可得到；
（2）過C點(diǎn)作與D，根據(jù)可得，且，由題意得，求得，，則有和，，繼而證明，則有和，即可得到，可得點(diǎn)C到直線的距離．
【詳解】解：問題1：
由題意知三角形中有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，
∵等邊三角形每個(gè)角為，
∴兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”重合為一個(gè)，且每個(gè)角為，
故答案為：1，30．
問題2：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵M(jìn)是的“布洛卡點(diǎn)”，是“布洛卡角”，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
（2）過C點(diǎn)作與D，如圖，
則，
∵，
∴，
∵，
∴
，
，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義下的三角形角度理解，涉及等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角的應(yīng)用，解得的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，以及角度之間的轉(zhuǎn)化．
27. 在四邊形中，C是邊的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若平分，，則線段滿足數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，平分，平分，若，則線段，，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；
（3）如圖3，，，，若，則線段長度的最大值是 ．
【答案】（1）
（2），證明見解析
（3）18
【解析】
【分析】（1）在上取一點(diǎn)F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出結(jié)論；
（2）在上取點(diǎn)F，使，連接，在上取點(diǎn)G，使，連接．可以求得，是等邊三角形，就有，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）作B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，，，，．同（2）可得是等邊三角形，則．當(dāng)A，F(xiàn)，G，E共線時(shí)，有最大值，即可求解．
【小問1詳解】
解：在上取一點(diǎn)F，使，連接．如圖（1），
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵C是邊的中點(diǎn)．
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
故答案為：．
【小問2詳解】
解：結(jié)論：．
證明：在上取一點(diǎn)F，使，連接，在上取點(diǎn)G，使，連接．如圖（2），
∵C是邊的中點(diǎn)，
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
同理可證：，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴是等邊三角形．
∴，
∵，
∴．
小問3詳解】
解：將沿翻折得，將沿翻折得，連接，如圖3，
由翻折可得，，，，，，
∵C是邊的中點(diǎn)，
∴，
∴
∵，
由（2）可得是等邊三角形，
∴．
∵
當(dāng)A，F(xiàn)，G，E共線時(shí)，有最大值．
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，作恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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