1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點，．

(1)將繞頂點旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點，距離的最大值和最小值；
(2)將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長．
2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，點為線段上一點，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側(cè)作等腰和等腰，且．在線段上取一點，使，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若的延長線恰好經(jīng)過的中點，求的長．
3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．
(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點．
①如圖2，當(dāng)點落在射線上時，求的長．
②當(dāng)是直角三角形時，求的長．
4．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關(guān)于的對稱點在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關(guān)于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

5．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）課本再現(xiàn)
(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．
己知：在中，對角線，垂足為．
求證：是菱形．

(2)知識應(yīng)用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；
②延長至點，連接交于點，若，求的值．
6．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）
當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，
如圖1，將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有 ③ ；
已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為 ④ 點．
(2)如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個頂點B，C分別沿折疊后均與點D重合，折痕分別交于點E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：
(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
問題解決；
(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交于點M，N，的對應(yīng)線段交于點K，求四邊形的面積．
8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]
如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；
②將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在的延長線上的點Q處．當(dāng)點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；
③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）[遷移探究]
如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點分別為邊的中點，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點在同一直線上時，與相交于點，連接．

（1）求的度數(shù)；
（2）求的長．
深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；
(2)如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應(yīng)用】
(3)當(dāng)時，將繞點C旋轉(zhuǎn)，使三點恰好在同一直線上，求的長．
11．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點在邊上，且．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點，設(shè)點在該折線上運動的路徑長為，連接．

(1)若點在上，求證：；
(2)如圖2．連接．
①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)時，的值；
②若點到的距離為，求的值；
(3)當(dāng)時，請直接寫出點到直線的距離．（用含的式子表示）．
12．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點，將四邊形沿翻折，使點落在的延長線上處，若，求的值；
（3）如圖③，在中，，垂足為點，過點作交于點，連接，且滿足，直接寫出的值．
13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點是射線上的一個動點，延長至點，使，連接交射線于點．

(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，猜測線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
(2)如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，
①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；
②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．
14．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，連接，，．

(1)若正方形的邊長為2，E是的中點．
①如圖1，當(dāng)時，求證：；
②如圖2，當(dāng)時，求的長；
(2)如圖3，延長，交于點G，當(dāng)時，求證：．
15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：
(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時，直接寫出的大??；
(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問題拓展：
(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時，若，求的值．
16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標(biāo)記為點）．當(dāng)時，延長交于點．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；
(2)深入探究：老師將圖2中的繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點作交的延長線于點與交于點．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點作于點，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

17．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）過正方形的頂點作直線，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接，直線交直線于點．

(1)如圖1，若，則___________；
(2)如圖1，請?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)在繞點轉(zhuǎn)動的過程中，設(shè)，請直接用含的式子表示的長．
18．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．
已知，點為上一動點，將以為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：
獨立思考：小明：“當(dāng)點落在上時，．”
小紅：“若點為中點，給出與的長，就可求出的長．”
實踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如圖1，當(dāng)點落在上時，求證：；
（2）如圖2，若點為中點，，求的長．
問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．
問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．
19．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．

【問題解決】
（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．
20．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長線相交于點．

(1)求證：；
(2)求的度數(shù)；
(3)若是的中點，如圖2．求證：．
21．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；
(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時的值．
22．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】
折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．
【動手操作】如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕，點B，E的對應(yīng)點分別為，，展平紙片，連接，，．

請完成：
(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個角的大小關(guān)系；
(2)證明（1）中的猜想；
【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點，連接，在上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B，P分別落在，上，得到折痕l，點B，P的對應(yīng)點分別為，，展平紙片，連接，．

請完成：
(3)證明是的一條三等分線．
23．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．
(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點． 若，求證：．
(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到． 連接，點為的中點，連接，當(dāng)取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．
24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形中，為上的一點，過點作的平行線交于點，點是線段上的動點（點不與重合）．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于．

(1)證明：在點的運動過程中，總有．
(2)當(dāng)為何值時，是直角三角形？
25．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．
若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；
(4)實踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．
27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點，連接，
①若，過作交于點，求證：；
②若時，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．

28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點，點分別是邊，線段上的點，連接與相交于點．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時，試判斷點是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；
(2)如圖2，若，且，
①求證：；
②當(dāng)時，設(shè)，求的長（用含的代數(shù)式表示）．
29．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉(zhuǎn)三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點在直線上．求證：；
【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；
【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．
30．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．
如圖，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點，求證：．
（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．
如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．
（3）用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．
如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，試判斷的形狀，并進(jìn)行證明．
31．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
【思考嘗試】
（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；
【實踐探究】
（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；
【拓展遷移】
（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．

32．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】
如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；
(2)【問題探究】
根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)【拓展延伸】
如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
33．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為的中點，點在直線上（不與點重合），連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點作直線，過點作，垂足為點，直線交直線于點．
(1)如圖，當(dāng)點與點重合時，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖，當(dāng)點在線段上時，求證：；
(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時，請直接寫出的值．
34．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】
(1)如圖1，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．
【深入探究】
(2)①如圖2，當(dāng)，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；
②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【拓展運用】
(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．
35．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．
【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為_______．

36．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點在邊上，點是的中點，連接，．

(1)求證：；
(2)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在上，連接．當(dāng)點在邊上運動時（點不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．
(3)在（2）的條件下，已知，當(dāng)時，求的長．
37．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)至位置，點在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大??；
(2)已知點和邊上的點滿足．
（?。┤鐖D2，連接，求證：；
（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．
38．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．
(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．
(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過B作交的延長線于點E．若，求四邊形的周長．
39．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】
在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．
【操作探究】
如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，連接．

(1)當(dāng)時，________；當(dāng)時，________；
(2)當(dāng)時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；
(3)如圖2，取的中點F，將繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為________．
40．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動
【問題情境】
劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第頁“探索”部分內(nèi)容：
如圖，將一個三角形紙板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，那么可以得到：，，；，，（ ）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．
【問題解決】
（1）上述問題情境中“（ ）”處應(yīng)填理由：____________________；
（2）如圖，小王將一個半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．

①請在圖中作出點；
②如果，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點經(jīng)過的路徑長為__________；
【問題拓展】
小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．

專題31 幾何綜合壓軸問題（40題）
1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點，．

(1)將繞頂點旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點，距離的最大值和最小值；
(2)將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長．
【答案】(1)最大值為，最小值為
(2)
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求解；
（2）過點作，交的延長線于點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而可得，勾股定理解，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，，，
當(dāng)在的延長線上時，的距離最大，最大值為，
當(dāng)在線段上時，的距離最小，最小值為；

（2）解：如圖所示，過點作，交的延長線于點，

∵繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，點為線段上一點，分別以為等腰三角形的底邊，在的同側(cè)作等腰和等腰，且．在線段上取一點，使，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若的延長線恰好經(jīng)過的中點，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）證明，推出，利用證明即可證明結(jié)論成立；
（2）取的中點H，連接，證明是的中位線，設(shè)，則，證明，得到，即，解方程即可求解．
【詳解】（1）證明：∵等腰和等腰，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：取的中點H，連接，

∵點是的中點，
∴是的中位線，
∴，，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（負(fù)值已舍），
經(jīng)檢驗是所列方程的解，且符合題意，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點按逆時針方向排列），為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長．
(2)是邊上的一動點，點同時繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點．
①如圖2，當(dāng)點落在射線上時，求的長．
②當(dāng)是直角三角形時，求的長．
【答案】(1)8
(2)①；②或
【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；
（2）①先證明，再證明，最后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出方程即可；
②分三種情況討論完成，第一種：為直角頂點；第二種：為直角頂點；第三種，為直角頂點，但此種情況不成立，故最終有兩個答案．
【詳解】（1）在中，，
在中，．
（2）①如圖1，作于點，由（1）得，，則，
作交延長線于點，則，

∴．
∵
∴．
由旋轉(zhuǎn)知，
∴．
設(shè)，則．
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
②由旋轉(zhuǎn)得，，
又因為，所以．
情況一：當(dāng)以為直角頂點時，如圖2．

∵，
∴落在線段延長線上．
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
情況二：當(dāng)以為直角頂點時，如圖3．

設(shè)與射線的交點為，
作于點．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
化簡得，
解得，
∴．
情況三：當(dāng)以為直角頂點時，
點落在的延長線上，不符合題意．
綜上所述，或．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）【模型建立】
（1）如圖1，和都是等邊三角形，點關(guān)于的對稱點在邊上．
①求證：；
②用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型應(yīng)用】
（2）如圖2，是直角三角形，，，垂足為，點關(guān)于的對稱點在邊上．用等式寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【模型遷移】
（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

【答案】（1）①見解析；②，理由見解析；（2），理由見解析；（3）
【分析】（1）①證明：，再證明即可；②由和關(guān)于對稱，可得．證明，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，過點作于點，得，證明，．可得，證明，，可得，則，可得，從而可得結(jié)論；
（3）由，可得，結(jié)合，求解，，如圖，過點作于點．可得，，可得，再利用余弦的定義可得答案．
【詳解】（1）①證明：∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∴．

②．理由如下：
∵和關(guān)于對稱，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）．理由如下：
如圖，過點作于點，得．

∵和關(guān)于對稱，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵是直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，即．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
如圖，過點作于點．

∵，
∴，
．
∴．
∴．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的靈活應(yīng)用，本題難度較高，屬于中考壓軸題，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
5．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）課本再現(xiàn)
(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．
己知：在中，對角線，垂足為．
求證：是菱形．

(2)知識應(yīng)用：如圖，在中，對角線和相交于點，．

①求證：是菱形；
②延長至點，連接交于點，若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則， ，進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；
（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過點作交于點，根據(jù)平行線分線段成比例求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴， ，
∵
∴，
在中，
∴
∴，
同理可得，則，
又∵
∴
∴四邊形是菱形；
（2）①證明：∵四邊形是平行四邊形，．
∴
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴四邊形是菱形；
②∵四邊形是菱形；
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖所示，過點作交于點，

∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）
當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，
如圖1，將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有 ③ ；
已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為 ④ 點．
(2)如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③；④A．
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，
（3）由總的鋪設(shè)成本，通過將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，得到等腰直角，得到，即可得出當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴為等邊三角形；
∴，，
又，故，
由兩點之間線段最短可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，
最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最?。?br>又∵已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．
∴該三角形的“費馬點”為點A，
故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③；④．
（2）將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
由（1）可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，
∴，
∴最小值為，
（3）∵總的鋪設(shè)成本
∴當(dāng)最小時，總的鋪設(shè)成本最低，
將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，
∴，
∴，
當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，

過點作，垂足為，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值為
總的鋪設(shè)成本（元）
故答案為：
【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個頂點B，C分別沿折疊后均與點D重合，折痕分別交于點E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：
(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
問題解決；
(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交于點M，N，的對應(yīng)線段交于點K，求四邊形的面積．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析
(2)30
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論．
（2）先證明四邊形為平行四邊形，過點作于點，等積法得到的積，推出四邊形的面積，即可得解．
【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
∵在中，，是邊上的中線，
∴，
∵將的兩個頂點B，C分別沿折疊后均與點D重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵折疊，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
由（1）知：，，
∴，
過點作于點，

∵，
∴，
∵四邊形的面積，，
∴四邊形的面積．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線分線段對應(yīng)成比例，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]
如圖1，在正方形中，對角線相交于點O．在線段上任取一點P（端點除外），連接．

①求證：；
②將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在的延長線上的點Q處．當(dāng)點P在線段上的位置發(fā)生變化時，的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；
③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）[遷移探究]
如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）①見解析；②不變化，，理由見解析；③，理由見解析
（2），理由見解析
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；
②作，垂足分別為點M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明， 得出，進(jìn)而可得結(jié)論；
③作交于點E，作于點F，如圖，證明，即可得出結(jié)論；
（2）先證明，作交于點E，交于點G，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小不發(fā)生變化，；
證明：作，垂足分別為點M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
③；
證明：作交于點E，作于點F，如圖，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
作于點M，
則，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）；
證明：∵四邊形是菱形，，
∴，
∴是等邊三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于點E，交于點G，如圖，
則四邊形是平行四邊形，，，
∴，都是等邊三角形，
∴，

作于點M，則，
∴，
∴．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點分別為邊的中點，連接．
初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________，與的位置關(guān)系是_________．
特例研討：（2）如圖2，若，先將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點在同一直線上時，與相交于點，連接．

（1）求的度數(shù)；
（2）求的長．
深入探究：（3）若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】初步嘗試：（1）；；（2）特例研討：（1）；（2）；（3）或
【分析】（1），點分別為邊的中點，則是的中位線，即可得出結(jié)論；
（2）特例研討：（1）連接，，證明是等邊三角形，是等邊三角形，得出；（2）連接，證明，則，設(shè)，則，在中，，則，在中，，勾股定理求得，則；
（3）當(dāng)點在同一直線上時，且點在上時，設(shè)，則，得出，則在同一個圓上，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理得出，表示與，即可求解；當(dāng)在上時，可得在同一個圓上，設(shè)，則，設(shè)，則，則，表示與，即可求解．
【詳解】初步嘗試：（1）∵，點分別為邊的中點，
∴是的中位線，
∴；；
故答案是：；
（2）特例研討：（1）如圖所示，連接，，

∵是的中位線，
∴，
∴
∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，
∴；
∵點在同一直線上時，
∴
又∵在中，是斜邊的中點，
∴
∴
∴是等邊三角形，
∴，即旋轉(zhuǎn)角
∴
∴是等邊三角形，
又∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
（2）如圖所示，連接，
∵，，
∴，,

∵,
∴,
∴,
設(shè)，則，
在中，，則，
在中，,
∴,
解得：或（舍去）
∴,
（3）如圖所示，當(dāng)點在同一直線上時，且點在上時，

∵，
∴，
設(shè)，則，
∵是的中位線，
∴
∴，
∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，，
∴
∴，
∵點在同一直線上，
∴
∴，
∴在同一個圓上，

∴
∴
∵，
∴；
如圖所示，當(dāng)在上時，

∵
∴在同一個圓上，
設(shè)，則，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
設(shè)，則，則，
∴，
∵,
∴，
∵
∴
∴
綜上所述，或
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】
和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時，直接寫出，的位置關(guān)系：____________；
(2)如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．
【拓展應(yīng)用】
(3)當(dāng)時，將繞點C旋轉(zhuǎn)，使三點恰好在同一直線上，求的長．
【答案】(1)
(2)成立；理由見解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；
（3）分兩種情況，當(dāng)點E在線段上時，當(dāng)點D在線段上時，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；

（3）解：當(dāng)點E在線段上時，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時；
當(dāng)點D在線段上時，連接，如圖所示：

設(shè)，則，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此時；
綜上分析可知，或．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．
11．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點在邊上，且．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點，設(shè)點在該折線上運動的路徑長為，連接．

(1)若點在上，求證：；
(2)如圖2．連接．
①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)時，的值；
②若點到的距離為，求的值；
(3)當(dāng)時，請直接寫出點到直線的距離．（用含的式子表示）．
【答案】(1)見解析
(2)①，；②或
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角平分線的概念得到，，然后證明出，即可得到；
（2）①首先根據(jù)勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先畫出圖形，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；
②當(dāng)點在上時，，，分別求得，根據(jù)正切的定義即可求解；②當(dāng)在上時，則，過點作交的延長線于點，延長交的延長線于點，證明，得出，，進(jìn)而求得，證明，即可求解；
（3）如圖所示，過點作交于點，過點作于點，則四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）∵將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，
∴
∵的平分線所在直線交折線于點，
∴
又∵
∴
∴；
（2）①∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴；
如圖所示，當(dāng)時，

∵平分
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴，即
∴解得
∴．
②如圖所示，當(dāng)點在上時，，

∵，
∴，，
∴，
∴
∴；
如圖所示，當(dāng)在上時，則，過點作交的延長線于點，延長交的延長線于點，

∵，
∴，
∴
∴
即
∴，，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴
解得：
∴，
綜上所述，的值為或；
（3）解：∵當(dāng)時，
∴在上，
如圖所示，過點作交于點，過點作于點，則四邊形是矩形，
∴，，

∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，，設(shè)，
即
∴，
∴
整理得
即點到直線的距離為．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識且分類討論是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點，將四邊形沿翻折，使點落在的延長線上處，若，求的值；
（3）如圖③，在中，，垂足為點，過點作交于點，連接，且滿足，直接寫出的值．
【答案】（1）；（2）5；（3）
【分析】（1）由矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)、結(jié)合勾股定理求得，設(shè)則，中利用勾股定理求得，則，，進(jìn)而求解即可；
（2）由矩形的性質(zhì)和翻折性質(zhì)得到，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，則，在中，利用勾股定理求得，
進(jìn)而求得，可求解；
（3）證明得到，則；設(shè)，，過點D作于H，證明得到，在中，由勾股定理解得，進(jìn)而可求得，在圖③中，過B作于G，證明，則，，再證明，在中利用銳角三角函數(shù)和求得即可求解．
【詳解】解：（1）如圖①，∵四邊形是矩形，
∴，，，
由翻折性質(zhì)得，，
在中，，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
∴；
（2）如圖②，∵四邊形是矩形，
∴，，，
由翻折性質(zhì)得，，，，
∴
∴，
∴，
∴，即，又，
∴，
∴，
在中，，
∴，則，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，則；
設(shè)，，
過點D作于H，如圖③，則，
∴；

∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，
在中，，
在圖③中，過B作于G，則，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，則，
在中， ，，
∵，
∴，則，
∴．

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強，較難，屬于中考壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線求解是解答的關(guān)鍵．
13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點是射線上的一個動點，延長至點，使，連接交射線于點．

(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，猜測線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
(2)如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，
①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；
②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．
【答案】(1)，理由見解析
(2)①成立，理由見解析②
【分析】（1）過點作，交于點，易得，證明，得到，即可得出結(jié)論．
（2）①過點作，交的延長線于點，易得，證明，得到，即可得出結(jié)論；②過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，根據(jù)已知條件推出，得到，證明，得到，求出的長，利用四邊形的面積為進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵是等邊三角形，
∴，
過點作，交于點，

∴，，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
∵是等邊三角形，
∴，
過點作，交的延長線于點，

∴，，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
②過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，則：，

由①知：為等邊三角形，，，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：②，
聯(lián)立①②可得：（負(fù)值已舍去），
經(jīng)檢驗是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為
．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．本題的綜合性強，難度大，屬于中考壓軸題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，全等和相似三角形．
14．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的點，連接，，．

(1)若正方形的邊長為2，E是的中點．
①如圖1，當(dāng)時，求證：；
②如圖2，當(dāng)時，求的長；
(2)如圖3，延長，交于點G，當(dāng)時，求證：．
【答案】(1)①詳見解析；②
(2)詳見解析
【分析】（1）①由，證明，可得結(jié)論；②如圖，延長，交于點G作，垂足為H，證明，可得，可得，設(shè)可得，可得，可得，證明，可得，從而可得答案；
（2）如圖，延長，作，垂足為H，證明，設(shè)，可得，由，可得，可得，由可得，可得，證明，可得，，從而可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，

正方形中，，
①，
∴，
，
，
②如圖，

延長，交于點G，
作，垂足為H，
且，
，
，
，
，
方法一：設(shè)，
∴，
∴，
在中，，
，
，
方法二：在中，由，設(shè)，
，
，
，
又且，
，
，
，
；
（2）如圖

延長，作，垂足為H，
且，
，
設(shè)，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，則，
又且，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，本題計算量大，對學(xué)生的要求高，熟練的利用參數(shù)建立方程是解本題的關(guān)鍵．
15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點，是等腰三角形，，交于點，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：
(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時，直接寫出的大??；
(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．
問題拓展：
(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延長過點F作，證明即可得出結(jié)論．
（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關(guān)系即可證明．
（3）過點A作的垂線交的延長線于點，設(shè)菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．
【詳解】（1）延長過點F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案為：．
（2）解：在上截取，使，連接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．

（3）解：過點作的垂線交的延長線于點，設(shè)菱形的邊長為，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，連接，作于點O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．

【點睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．
16．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點與點重合（標(biāo)記為點）．當(dāng)時，延長交于點．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；
(2)深入探究：老師將圖2中的繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點作交的延長線于點與交于點．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點作于點，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

【答案】(1)正方形，見解析
(2)①，見解析；②
【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點為M，過M作于G，則易得，點G是的中點；利用三角函數(shù)知識可求得的長，進(jìn)而求得的長，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四邊形為矩形．
∵，
∴．
∴矩形為正方形．
（2）：①．
證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如圖：設(shè)的交點為M，過M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴點G是的中點；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的長為．

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點，適當(dāng)添加的輔助線、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）過正方形的頂點作直線，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接，直線交直線于點．

(1)如圖1，若，則___________；
(2)如圖1，請?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)在繞點轉(zhuǎn)動的過程中，設(shè)，請直接用含的式子表示的長．
【答案】(1)
(2)
(3)，或，或
【分析】（1）如圖，連接，，由對稱知，
由四邊形是正方形得，所以，從而；
（2）如圖，連接，，，，交于點H，由軸對稱知，,，，可證得，由勾股定理得，中，，中，，從而；
（3）由勾股定理，，分情況討論：當(dāng)點F在D,H之間時，；當(dāng)點D在F,H之間時，；當(dāng)點H在F,D之間時，．
【詳解】（1）解：如圖，連接，，
∵點關(guān)于直線的對稱點為點，
∴，關(guān)于對稱，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴ ，

∴．
故答案為：20．
（2）解：；理由如下：
如圖，由軸對稱知，,，

而
∴
∴
∴
∴中，
中，
∴即；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
如圖，當(dāng)點F在D,H之間時，，

如圖，當(dāng)點D在F,H之間時，

如圖，當(dāng)點H在F,D之間時，

【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形知識，勾股定理等，將運動狀態(tài)的所有可能考慮完備，分類討論是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．
已知，點為上一動點，將以為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：
獨立思考：小明：“當(dāng)點落在上時，．”
小紅：“若點為中點，給出與的長，就可求出的長．”
實踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如圖1，當(dāng)點落在上時，求證：；
（2）如圖2，若點為中點，，求的長．
問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．
問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．
【答案】（1）見解析；（2）；問題2：
【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)鄰補角互補可得，即可得證；
（2）連接，交于點，則是的中位線，勾股定理求得，根據(jù)即可求解；
問題2：連接，過點作于點，過點作于點，根據(jù)已知條件可得，則四邊形是矩形，勾股定理求得，根據(jù)三線合一得出，根據(jù)勾股定理求得的長，即可求解．
【詳解】（1）∵等腰中，由翻折得到
∴，，
∵，
∴；
（2）如圖所示，連接，交于點，

∵折疊，
∴，，，，
∵是的中點，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
問題2：如圖所示，連接，過點作于點，過點作于點，

∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四邊形是矩形，
則，
在中，，,，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．

【問題解決】
（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．
【類比遷移】
（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．
【答案】（1）見解析
（2）見解析
（3）3
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，則，再由，可得，則，根據(jù)等角的余角相等得，即可得證；
（2）利用“”證明，可得，由，可得，利用“”證明，則，由正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；
（3）延長到點，使，連接，由菱形的性質(zhì)可得，，則，推出，由全等的性質(zhì)可得，，進(jìn)而推出是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關(guān)系計算求解即可．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
點在的延長線上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，延長到點，使，連接，

四邊形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長線相交于點．

(1)求證：；
(2)求的度數(shù)；
(3)若是的中點，如圖2．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明、，即可證明結(jié)論；
（2）如圖1：設(shè)與的交點為，先證明可得，再證明可得，最后運用角的和差即可解答；
（3）如圖2：延長交于點，連接，先證明可得，再證可得；進(jìn)而證明即，再說明則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．
【詳解】（1）解： 是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，
，
，
．
，
．
．
，
．
．
（2）解：如圖1：設(shè)與的交點為，

，
，
，
．
，
，
．
又，
．
，
．
（3）解：如圖2：延長交于點，連接，

，
，
．
是的中點，
．
又，
，
．
，
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
，即．
，
，
．
【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．
21．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；
(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；
(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在中，，，且，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）延長交于點，如圖所示，在中，求得，進(jìn)而求得的長，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，同（1）可得，進(jìn)而得出在以為圓心，為半徑的圓上運動，當(dāng)點三點共線時，的值最大，進(jìn)而求得，，根據(jù)得出，過點作，于點，分別求得,然后求得，最后根據(jù)正切的定義即可求解．
【詳解】（1）解：在中，，，且，，
∴，，
∴，，
∴
∴
∴，
故答案為：．
（2）∵，且，，
∴，，
延長交于點，如圖所示，

∵，
∴，
∴在中，，，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得
則，
∵，則，
在中，，，
∴在以為圓心，為半徑的圓上運動，
∴當(dāng)點三點共線時，的值最大，此時如圖所示，則，

在中，
∴,，
∵，
∴，
過點作，于點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
中，．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點到圓的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】
折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．
【動手操作】如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B落在上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕，點B，E的對應(yīng)點分別為，，展平紙片，連接，，．

請完成：
(1)觀察圖1中，和，試猜想這三個角的大小關(guān)系；
(2)證明（1）中的猜想；
【類比操作】如圖2，N為矩形紙片的邊上的一點，連接，在上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕；折疊紙片，使點B，P分別落在，上，得到折痕l，點B，P的對應(yīng)點分別為，，展平紙片，連接，．

請完成：
(3)證明是的一條三等分線．
【答案】(1)
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意可進(jìn)行求解；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，，然后可得，則有是等邊三角形，進(jìn)而問題可求證；
（3）連接，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明，證明，得出，即可證明．
【詳解】（1）解：由題意可知；
（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，
∴，，
∴是等邊三角形，
∵，，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（3）證明：連接，如圖所示：
由折疊的性質(zhì)可知：，，，
∵折痕，，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的一條三等分線．
【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定及矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為線段上一動點，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長．
(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點． 若，求證：．
(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到． 連接，點為的中點，連接，當(dāng)取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）解，求得，根據(jù)即可求解；
（2）延長使得，連接，可得，根據(jù)，得出四點共圓，則，，得出，結(jié)合已知條件得出，可得，即可得證；
（3）在取得最小值的條件下，即，設(shè)，則，，根據(jù)題意得出點在以為圓心，為半徑的圓上運動，取的中點，連接，則是的中位線，在半徑為的上運動，當(dāng)取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，連接，交于點，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：如圖所示，延長使得，連接，

∵是的中點則，，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴四點共圓，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，
設(shè)，則，，
∴，，
∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．
∴
∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，
取的中點，連接，
則是的中位線，
∴在半徑為的上運動，
當(dāng)取最大值時，即三點共線時，此時如圖，過點作于點，過點作于點，

∵是的中點，
∴，
∴是等邊三角形，
則，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
如圖所示，連接，交于點，則四邊形是矩形，

∴，是的中點，
∴
即是的中位線，同理可得是的中位線，
∴，
∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，
∴
∴
則
在中，
∴．

【點睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓外一點到圓上距離的最值問題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形中，為上的一點，過點作的平行線交于點，點是線段上的動點（點不與重合）．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接交于．

(1)證明：在點的運動過程中，總有．
(2)當(dāng)為何值時，是直角三角形？
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用四點共圓知識解答即可．
（2）只有，是直角三角形，解答即可．
【詳解】（1）∵等邊三角形，
∴,，
∵，
∴，
∵繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，
∴時等邊三角形，
∴，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∴．
（2）如圖，根據(jù)題意，只有當(dāng)時，成立，
∵繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，
∴時等邊三角形，
∴，
∵，

∴，
∵等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點共圓，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點共圓，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．
若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

【答案】圖②中，圖③中，證明見解析
【分析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進(jìn)一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；
圖③：仿照圖②證明是等邊三角形，則．
【詳解】解：圖②中，圖③中，
圖②證明如下：
如圖②所示，連接，
∵點F，G分別是的中點，
∴是的中位線，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等腰直角三角形，
∴；

圖③證明如下：
如圖③所示，連接，
∵點F，G分別是的中點，
∴是的中位線，
∴，
同理可得，
∵和都是等腰三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴是等邊三角形，
∴．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長交于點．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長，交于點．請猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點，，在一條直線上，過點作，垂足為點．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；
(4)實踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點滿足，，則______．
【答案】(1)，
(2)，，證明見解析
(3)
(4)或
【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（2）同（1）的方法即可得證；
（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，延長至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
設(shè)交于點，

∵
∴，
故答案為：，．
（2）結(jié)論：，；
證明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3），理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均為等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點為圓心作圓，以點為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點，
延長至，使得，
則是等腰直角三角形，

∵,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
過點作于點，
設(shè)，則，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：，則，
設(shè)交于點，則是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，
∴，
綜上所述，或
故答案為：或．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，熟練運用已知模型是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點，連接，
①若，過作交于點，求證：；
②若時，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．

【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）或或
【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明結(jié)合已知條件，即可證明；
②由①可得，，證明，得出，根據(jù)，即可求解；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分三種情況討論，①當(dāng)點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，證明，解，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)點在邊上時，如圖所示，連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)點在邊上時，如圖所示，過點作于點，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．
【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形，則，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
②由①可得，
∴
∴，
又∵
∴,
故答案為：．
（2）∵在菱形中，，
∴，，
則，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴,
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①當(dāng)點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，

∵平行四邊形中，，，
∴，,
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
則，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
設(shè)，則，，，
∴
解得：或，
即或，
②當(dāng)點在邊上時，如圖所示，

連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，
設(shè)，則，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
過點作于點，
在中，，
∴，，
∴，則，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③當(dāng)點在邊上時，如圖所示，

過點作于點，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴點不可能在邊上，
綜上所述，的長為或或．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點，點分別是邊，線段上的點，連接與相交于點．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時，試判斷點是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；
(2)如圖2，若，且，
①求證：；
②當(dāng)時，設(shè)，求的長（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)點在線段的垂直平分線上
(2)①證明見解析，②
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線的判定證明即可；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由各角之間的關(guān)系得出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接．利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)及全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，點在線段的垂直平分線上．
理由如下：連接．
∵四邊形是菱形，對角線相交于點，
．
，
，
∴點在線段的垂直平分線上．

（2）①證明：如圖，∵四邊形是菱形，
，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
．
，
；

②如圖，連接．
，
∴是等邊三角形．
∵，
∴，
在中，，
，
．
，，
，
．
，
，
．
在中，，
由勾股定理得，
．

【點睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)及解直角三角形，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
29．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉(zhuǎn)三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點在直線上．求證：；
【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；
【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．
【答案】[探究一]見解析；[探究二]見解析；[探究三]
【分析】[探究一]證明，即可得證；
[探究二]根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，加上公共角，進(jìn)而即可證明
[探究三]先證明，得出，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點在直線上．得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】[探究一]
∵把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點在直線上，
∴，
∴，
∴，
在與中
∴
∴
[探究二]證明：如圖所示，

∵四邊形是正方形，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵公共角，
∴；
[探究三] 證明：∵是正方形的對角線，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
如圖所示，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點在直線上．

∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．
如圖，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點，求證：．
（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．
如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．
（3）用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．
如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，試判斷的形狀，并進(jìn)行證明．
【答案】（1）見解析
（2）見解析
（3）是直角三角形，證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)中位線定理即可求出，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)中位線定理即可求出和，通過第（1）問的結(jié)果進(jìn)行等量代換即可證明；
（3）根據(jù)中位線定理推出和從而求出，證明是等邊三角形，利用中點求出，從而求出度數(shù)，即可求證的形狀.
【詳解】證明：（1）的中點，是的中點，
.
同理，.
，
.
.
（2）的中點，是的中點，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，證明如下：
如圖，取的中點，連接，，
是的中點，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等邊三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案為：是直角三角形.
【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于靈活運用中位線定理.
31．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐
【思考嘗試】
（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；
【實踐探究】
（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；
【拓展遷移】
（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．

【答案】（1）四邊形是正方形，證明見解析
（2）
（3），證明見解析
【分析】（1）證明，可得，從而可得結(jié)論；
（2）證明四邊形是矩形，可得，同理可得：，證明，，，證明四邊形是正方形，可得，從而可得結(jié)論；
（3）如圖，連接，證明，，，，可得，再證明，可得，證明，可得，從而可得答案．
【詳解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴．
（3）如圖，連接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)建相似三角形是解本題的關(guān)鍵．
32．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】
如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；
(2)【問題探究】
根據(jù)（1）所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)【拓展延伸】
如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)作圖見解析；135
(2)；理由見解析
(3)或；理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可；先求出，根據(jù)，求出；
（2）根據(jù)，，證明、P、B、E四點共圓，得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，當(dāng)點P在線段上時，當(dāng)點P在線段延長線上時，分別畫出圖形，求出之間的數(shù)量關(guān)系即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：135．
（2）解：；理由如下：
連接，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∵，
∴、P、B、E四點共圓，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：當(dāng)點P在線段上時，連接，延長，作于點F，如圖所示：

根據(jù)解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
即；
當(dāng)點P在線段延長線上時，連接，作于點F，如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，
∵，
∴、B、P、E四點共圓，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
即；
綜上分析可知，或．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理，四點共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形和相關(guān)的輔助線，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論．
33．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點為的中點，點在直線上（不與點重合），連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點作直線，過點作，垂足為點，直線交直線于點．
(1)如圖，當(dāng)點與點重合時，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖，當(dāng)點在線段上時，求證：；
(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時，請直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）可先證，得到，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到和的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系．
（2）可先證，得到，進(jìn)而得到，問題即可得證．
（3）過點作垂直于，交于點，過點作垂直于，交于點，設(shè)，利用勾股定理，可用含的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案．
【詳解】（1）解：．
理由如下：
如圖，連接．
根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．
由題意可知，為等腰直角三角形，
為等腰直角三角形斜邊上的中線，
，．
又，
．
在和中，
．
，．
．
．
．
（2）解：為等腰直角三角形斜邊上的中線，
．
，
．
，，
．
，．
，．
在和中，
．
．
．
（3）解：如圖，過點作垂直于，交于點；過點作垂直于，交于點．
設(shè)，則．
根據(jù)題意可知，四邊形和為矩形，為等腰直角三角形．
，．
由（2）證明可知，
．
．
．
根據(jù)勾股定理可知
，
的面積與的面積之比
．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．
在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】
(1)如圖1，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．
【深入探究】
(2)①如圖2，當(dāng)，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；
②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【拓展運用】
(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)見解析
(2)①，證明過程略；②當(dāng)點F在射線上時，，當(dāng)點F在延長線上時，
(3)
【分析】（1）連接，當(dāng)時，，即，證明，從而得到即可解答；
（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當(dāng)時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；
②分類討論，即當(dāng)點F在射線上時；當(dāng)點F在延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；
（3）如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時，，即，
，
，，,
，，即，
，
，
在與中，
，
，
，
；
（2）①
證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，

當(dāng)時，，即，
是的中點，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，
；
故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；
②解：當(dāng)點F在射線上時，
如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，

同①，可得，
，，
，，
同①可得，
，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為；
當(dāng)點F在延長線上時，
如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，連接

同（1）中原理，可證明，
可得，
，，
，，
同①可得，
即線段之間數(shù)量關(guān)系為,
綜上所述，當(dāng)點F在射線上時，；當(dāng)點F在延長線上時，；
（3）解：如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，

如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點作的垂線段，交于點，過點作的垂線段，交于點，

，
，，
，
，
，
，
是的中點，
，
，
，
，
根據(jù)（2）中的結(jié)論，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．
【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．
【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為_______．

【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見解析
拓展提升：證明見解析
嘗試應(yīng)用：
【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作于點E，作交的延長線于點F，則，證明，，利用勾股定理進(jìn)行計算即可得到答案；
拓展提升：延長到點C，使，證明四邊形是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，，則，得到，即可得到結(jié)論；
嘗試應(yīng)用：由四邊形是矩形，，得到，，設(shè)，，由勾股定理得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：
作于點E，作交的延長線于點F，則，

∵四邊形為平行四邊形，若，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
；
拓展提升：延長到點C，使，

∵為的一條中線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵．
∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，，
∴，
∴，
∴；
嘗試應(yīng)用：∵四邊形是矩形，，
∴，，
設(shè)，則，
∴
，
∵，
∴拋物線開口向上，
∴當(dāng)時，的最小值是
故答案為：
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點在邊上，點是的中點，連接，．

(1)求證：；
(2)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在上，連接．當(dāng)點在邊上運動時（點不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．
(3)在（2）的條件下，已知，當(dāng)時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)等腰直角三角形，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)正方形的基本性質(zhì)以及“斜中半定理”等推出，即可證得結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)推出，再結(jié)合正方形對角線的性質(zhì)推出，即可證得結(jié)論；
（3）結(jié)合已知信息推出，從而利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計算求解即可．
【詳解】（1）證：∵四邊形為正方形，
∴，，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∴，即：，
在與中，
∴，
∴；
（2）解：為等腰直角三角形，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形；
（3）解：如圖所示，延長交于點，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
解得：，（不合題意，舍去），
∴．

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解并熟練運用基本圖形的證明方法和性質(zhì)，掌握勾股定理等相關(guān)計算方式是解題關(guān)鍵．
37．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)至位置，點在直線外，連接．

(1)如圖1，求的大?。?br>(2)已知點和邊上的點滿足．
（?。┤鐖D2，連接，求證：；
（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．
【答案】(1)
(2)（?。┮娊馕觯唬áⅲ?br>【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對接等角得出，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即得出，進(jìn)而即可求解；
（2）（?。┭娱L交于點，證明四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出是的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得證；
（ⅱ）如圖所示，過點作于點，由，得出，，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解．
【詳解】（1）解：∵
∴，
在中，
∴
（2）證明：（ⅰ）證法一：
如圖，延長，交于點，則，

∵，
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
∵是的中點，，
∴．
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴是菱形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，即，
∴，即點是斜邊的中點．
∴．
證法二：
∵，是斜邊的中點，
∴點在以為圓心，為直徑的上．

∵，
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
證法三：
∵，
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∴．
∵是的中點，，
∴．
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴是菱形．
∴．
∵，是斜邊的中點，
∴點在以為圓心，為直徑的上．
∴．
（ⅱ）如圖所示，過點作于點，

∵，
∴，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，求正切，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對角線平分．求證：四邊形為鄰等四邊形．
(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．
(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角，連接，過B作交的延長線于點E．若，求四邊形的周長．
【答案】(1)證明見解析
(2)畫圖見解析
(3)
【分析】（1）先證明，，再證明，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)新定義分兩種情況進(jìn)行討論即可；①，結(jié)合圖形再確定滿足或的格點D；②，結(jié)合圖形再確定滿足的格點D；
（3）如圖，過作于，可得四邊形是矩形，，，證明四邊形為平行四邊形，可得，，設(shè)，而，，，由新定義可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∵對角線平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為鄰等四邊形．
（2）解：，，即為所求；
（3）如圖，過作于，

∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，，
設(shè)，而，
∴，，
由新定義可得，
由勾股定理可得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意舍去），
∴，
∴四邊形的周長為．
【點睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
39．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】
在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．
【操作探究】
如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，連接．

(1)當(dāng)時，________；當(dāng)時，________；
(2)當(dāng)時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；
(3)如圖2，取的中點F，將繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F的運動路徑長為________．
【答案】(1)2；30或210
(2)畫圖見解析；
(3)
【分析】（1）當(dāng)時，與重合，證明為等邊三角形，得出；當(dāng)時，根據(jù)勾股定理逆定理得出，兩種情況討論：當(dāng)在下方時，當(dāng)在上方時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；
（2）證明四邊形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根據(jù)求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，即，確定將繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F在以為直徑的圓上運動，求出圓的周長即可．
【詳解】（1）解：∵和中，
∴，
∴當(dāng)時，與重合，如圖所示：連接，

∵，，
∴為等邊三角形，
∴；
當(dāng)時，
∵，
∴當(dāng)時，為直角三角形，，
∴，
當(dāng)在下方時，如圖所示：

∵，
∴此時；
當(dāng)在上方時，如圖所示：

∵，
∴此時；
綜上分析可知，當(dāng)時，或；
故答案為：2；30或210．
（2）解：當(dāng)時，如圖所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為．
（3）解：∵，為的中點，
∴，
∴，
∴將繞著點A旋轉(zhuǎn)一周，點F在以為直徑的圓上運動，
∵
∴點F運動的路徑長為．
故答案為：．

【點睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定圓的條件，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論．
40．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動
【問題情境】
劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第頁“探索”部分內(nèi)容：
如圖，將一個三角形紙板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，那么可以得到：，，；，，（ ）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．
【問題解決】
（1）上述問題情境中“（ ）”處應(yīng)填理由：____________________；
（2）如圖，小王將一個半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．

①請在圖中作出點；
②如果，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點經(jīng)過的路徑長為__________；
【問題拓展】
小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．

【答案】問題解決（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（2）①見解析②；問題拓展：
【分析】問題解決（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；
（2）①分別作和的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即為所求點O；②根據(jù)弧長公式求解即可；
問題拓展，連接，交于，連接，，，由旋轉(zhuǎn)得，，在和中求出和的長，可以求出，再證明，即可求出最后結(jié)果．
【詳解】解：【問題解決】（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等
（2）①下圖中，點O為所求

②連接，，
扇形紙板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置，
，,
，
設(shè)，
，
，
在旋轉(zhuǎn)過程中，點經(jīng)過的路徑長為以點為圓心，圓心角為，為半徑的所對應(yīng)的弧長，
點經(jīng)過的路徑長；

【問題拓展】解：連接，交于，連接，，如圖所示

．
由旋轉(zhuǎn)得，．
在中，
．
在中，
，
，
．
．
．
，
在和中，
，
又，，
．
又，
，
．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形．
思考
我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？
可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
思考
我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？
可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

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2023中考數(shù)學(xué)真題專項匯編特訓(xùn) 專題31幾何綜合壓軸問題(共40題)(原卷版+解析)：

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