本試卷滿分：120分 考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘
第Ⅰ卷 選擇題（共30分）
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該選項(xiàng)涂黑）
1.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A.B.C.D.
2.如果是方程的解，那么常數(shù)的值為（ ）
A.2B.1C.D.
3.將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式是（ ）
A.B.
C.D.
4.已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，那么下列關(guān)系式一定正確的是（ ）
A.B.C.D.
5.我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)，回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，都是按照列表、描點(diǎn)、連線得到函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).這種研究方法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A.演繹B.數(shù)形結(jié)合C.抽象D.公理化
6.已知，，分別是三角形的三邊長(zhǎng)，則方程的根的情況是（ ）
A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根
7.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和是，面積是，則其斜邊長(zhǎng)為（ ）
A.B.C.D.
8.如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿，方向向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，其速度均為.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的一半時(shí)，的值為（ ）
A.1B.2C.3D.4
9.如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象正好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③、；④.正確的有（ ）
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
10.在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象可能是（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
二、填空題（本大題有5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11.若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則的值為________.
12.設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為________.
13.新能源汽車越來(lái)越受人們歡迎，某品牌新能源汽車2023年7月的銷量為3萬(wàn)輛，9月的銷量為3.7萬(wàn)輛.若設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為________.
14.二次函數(shù)中，的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
則當(dāng)時(shí)，的值為________.
15.已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)取不同的值時(shí)，其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”.如圖所示的分別是當(dāng)，，，時(shí)二次函數(shù)的圖象.它們的頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的解析式是________.
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
16.（本題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分）解方程：
（1）；
（2）.
17.（8分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：
（1）方程的兩個(gè)根為________.
（2）不等式的解集為________.
（3）若隨的增大而減小，則自變量的取值范圍為________.
（4）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為________.
18.（8分）已知關(guān)于的一元二次方程.
（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，方程都有實(shí)數(shù)根.
（2）當(dāng)為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.（8分）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn).
（1）利用圖中條件，求兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出使的的取值范圍.
20.（8分）請(qǐng)閱讀下列材料，并解決問(wèn)題：
阿爾·卡西的石榴問(wèn)題
阿爾·卡西（約1380-1429年）是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，在其所著《算術(shù)之鑰》書中，記載著一道頗受阿拉伯人喜愛(ài)的數(shù)學(xué)題：“一群人走進(jìn)果園去摘石榴，第一個(gè)人摘了1個(gè)石榴，第二個(gè)人摘了2個(gè)石榴，第三個(gè)人摘了3個(gè)石榴，以此類推，后進(jìn)果園的人都比前面那個(gè)人多摘一個(gè)石榴，這群人剛好把果園的石榴全部摘下來(lái)了.如果平均分配，每個(gè)人可以得到6個(gè)石榴，問(wèn)這群人共有多少人？”
這個(gè)問(wèn)題對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)解答非常困難，需要學(xué)會(huì)以下知識(shí).
人們解答問(wèn)題：求（為正整數(shù)）的值時(shí)，用“頭尾相加法”推導(dǎo)得出了一個(gè)公式.
方法：把式子的加數(shù)順序倒過(guò)來(lái)寫在原始式子的下面，上下的加數(shù)加起來(lái)再除以2.
________
即：
請(qǐng)求出“阿爾·卡西的石榴問(wèn)題”中這群人共有多少人？
21.（12分）某超市經(jīng)銷一種商品，每千克成本為50元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品每天的銷售量（千克）與銷售單價(jià)（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天的銷售單價(jià)，銷售量的四組對(duì)應(yīng)值如下表所示：
（1）求與之間的函數(shù)解析式.
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，才能使當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
22.（8分）某學(xué)校計(jì)劃對(duì)一塊寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形荒地進(jìn)行改造，要求修筑同樣寬的鵝卵石小路，余下的部分種上草坪（陰影部分），并使草坪的面積為.現(xiàn)在邀請(qǐng)全校同學(xué)參與設(shè)計(jì)，下面是其中兩位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案，請(qǐng)選擇一種方案，求出道路的寬為多少米？
23.（13分）如圖1，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段的最大值；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，連接，是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.0
1
2
6
3
2
3
銷售單價(jià)元
55
60
65
70
銷售量千克
70
60
50
40

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