2024年北京高考數(shù)學卷（以下簡稱北京卷）在命題思路和特點上展現(xiàn)了其獨特之處，充分體現(xiàn)了“立德樹人，服務選才，引導教學”的命題指導原則，并在此基礎上實現(xiàn)了守正創(chuàng)新。試卷不僅在知識考查上全面而深入，更注重對考生數(shù)學素養(yǎng)和思維品質的檢驗，彰顯了首都特色與教育改革的精神。
一、筑牢育人根基，凸顯德育價值
北京卷注重將數(shù)學知識與德育內容相融合，通過精心設計的題目，使考生在解題過程中感受到數(shù)學的德育價值。例如，通過引入古代數(shù)學文化元素，讓考生了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，增強民族自信心和自豪感。同時，試卷還關注勞動教育和美育的考查，使考生在解題過程中體會勞動的價值和數(shù)學的美育價值。
二、夯實數(shù)學基礎，強化能力考查
北京卷在命題上緊扣課標和教材，注重考查考生的數(shù)學基礎知識、基本技能和基本方法。試卷對主干知識的考查保持了較高比例，同時注重對數(shù)學思想方法的考查，引導考生深入理解數(shù)學的本質和思想方法。通過對不同層次、不同難度題目的設置，實現(xiàn)對考生思維水平的區(qū)分和選拔。
三、彰顯首都特色，體現(xiàn)創(chuàng)新精神
北京卷在命題中充分體現(xiàn)了首都特色和創(chuàng)新精神。試卷在題目設計和呈現(xiàn)形式上注重創(chuàng)新，通過設置開放性問題、多項選擇問題等，激發(fā)考生的探究興趣和創(chuàng)新思維。同時，試卷還關注對考生可持續(xù)學習能力的培養(yǎng)，通過設置具有探究背景的題目，引導考生養(yǎng)成終身學習的意識和能力。
四、堅持守正創(chuàng)新，服務考試改革
北京卷在保持命題穩(wěn)定性的基礎上，不斷探索和創(chuàng)新。試卷在命題思路、題目類型和呈現(xiàn)形式上都有所創(chuàng)新，同時注重與教學實踐的緊密結合，引導中學數(shù)學教學在六個方面“下功夫”，即主干知識的掌握、學科本質的理解、思想方法的領悟、應用探究能力的提升、創(chuàng)新思維的形成以及數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成。
總的來說，2024年北京高考數(shù)學卷在命題上體現(xiàn)了全面育人、選拔人才和引導教學的理念，注重考查考生的數(shù)學素養(yǎng)和思維品質，彰顯了首都特色和創(chuàng)新精神。同時，試卷也注重與教學實踐的緊密結合，為中學數(shù)學教學提供了有益的啟示和導向。
北京2024年高考數(shù)學題目設計在整體結構上與往年保持了一致性，依然注重考查學生對集合、復數(shù)、二項式定理、解析幾何、立體幾何、導數(shù)的綜合運用等知識點的掌握情況。從題目的難易程度上看，大部分題目設計得相對簡單，旨在檢驗學生的基礎知識與基本技能，預計這一部分的分值大約占100分左右。
難題的數(shù)量相對較少，但加強了對學生思維能力的考查，強調學科核心素養(yǎng)的導向。容易的題目占據了多數(shù)，旨在讓不同層次的學生都能得到充分的展示機會。特別是第10、15、19、20、21題，這些題目設置得較為有區(qū)分度，能夠拉開不同學生之間的水平差距。特別值得一提的是第21題，這道題目以新定義的形式出現(xiàn)，旨在為優(yōu)秀的人才提供充分展現(xiàn)才華的空間，服務拔尖創(chuàng)新人才的選拔，助推素質教育的發(fā)展。整個試卷的設計避免了死記硬背和偏題怪題，引導中學數(shù)學教學從總結解題技巧轉向培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考改革的新方向。
高考一輪復習：回歸基礎，深化理解（1）選擇好復習起點，重視知識產生的過程：在復習過程中，我們不應僅僅滿足于對知識點的記憶和背誦，而應深入理解知識的產生過程。這包括了解知識的來源、背景、發(fā)展脈絡以及其在整個學科體系中的位置和作用。通過追溯知識的根源，我們能夠更加全面地掌握知識，增強記憶深度，同時培養(yǎng)我們的思維能力和探索精神。（2）以問題為導向的基礎復習：問題導向的復習方法能夠幫助我們更加有針對性地進行學習。通過設定問題，我們能夠明確自己的學習目標，從而有針對性地查找和解決問題。這種復習方法不僅能夠增強我們的學習興趣和動力，還能夠提高我們的學習效率。同時，通過解決問題，我們能夠加深對知識點的理解和記憶，形成更加完整和系統(tǒng)的知識體系。（3）重視教材的使用：教材是學科知識的載體，也是我們進行復習的主要工具。因此，在一輪復習中，我們應充分利用教材，深入研讀教材內容。通過反復閱讀和思考教材內容，我們能夠更好地理解和掌握知識點，加深對知識的印象。同時，教材上的例題和習題也是我們進行練習和鞏固知識的重要資源。（4）題組教學，變式訓練：題組教學和變式訓練是提高學生解題能力和思維水平的有效方法。在一輪復習中，我們可以選擇典型的例題進行深入的解析和訓練。通過題組教學，我們能夠了解不同題型的特點和解題方法，形成解題的套路和技巧。同時，通過變式訓練，我們能夠拓展解題思路和方法，提高解題的靈活性和應變能力。這不僅有助于我們在高考中應對各種題型和難度，還能夠培養(yǎng)我們的思維能力和創(chuàng)新精神。
2.提高課堂聽課效率：勤動手，多動腦，高效利用高三復習課與評講課。（1）課前自我檢測與預復習：在復習課之前，我們應該進行一番自我檢測。通過回顧教材、筆記和之前的作業(yè)，梳理出自己已掌握的知識點，同時標出那些還存在疑惑或未掌握的內容。這樣的預復習不僅能幫助我們明確聽課的目的，還能在聽課時更有針對性地吸收知識。（2）動手做題，明確難點:現(xiàn)在的學生手中都會有一本復習資料。在老師講課之前，我們可以嘗試獨立完成其中的例題。在解題過程中，我們可能會遇到一些難點或疑惑。這些難點正是我們聽課的重點，它們將引導我們更加深入地理解知識，并找出自己的不足。（3）聽課有重點，多動腦思考：在聽課時，我們要保持高度的專注力，認真聽老師講解每一個知識點和解題技巧。對于課前做題時遇到的難點，要特別留意老師的講解，并多動腦思考，確保自己完全理解和掌握。此外，我們還要積極參與課堂討論，發(fā)表自己的觀點和疑問，與老師和同學共同探討，以加深對知識點的理解。（4）課后及時鞏固與反思：課后，我們要及時鞏固所學內容，通過做題、復習筆記等方式加深記憶。同時，我們還要對聽課過程進行反思，總結自己的收獲和不足，以便在下一節(jié)課中更加有針對性地聽課。
3.精準糾錯，深化反思，完善知識體系（1）在高三的緊張復習階段，我們需要積極“以錯糾錯”，即專門收集日常作業(yè)中的錯誤。隨著復習的深入，我們將面對幾十套甚至上百套的各類試題，每個錯誤都是我們成長的墊腳石。（2）若在做題時出錯較多，建議在試卷上對錯題進行標記，并旁邊附上簡短的評析。隨后，妥善保存這些試卷。定期回顧這些“錯題筆記”或標記了錯題的試卷，將幫助我們有針對性地進行查漏補缺。（3）在閱讀參考書時，不妨將精彩之處或錯誤的題目也做上標記。這樣，在再次翻閱時就能有所側重，實現(xiàn)精準復習。查漏補缺不僅是對知識的回顧，更是對自己思維方式的反思與提升。（4）除了逐一理解不同問題外，更要學會“舉一反三”，及時歸納總結。每次訂正試卷或作業(yè)時，都要在錯題旁詳細記錄錯誤原因。常見原因包括：①無從下手解題；②概念模糊、理解不透徹；③方法選擇不當；④知識點間遷移和綜合存在問題；⑤情景設計理解困難；⑥熟練度不夠，時間緊迫；⑦粗心大意或計算失誤。通過一段時間的自查，建立一份個性化的補差檔案，持續(xù)邊查邊改。隨著時間的推移，重復犯錯的頻率會大幅降低。同時，隨著自我認識的不斷深化，考試時的自信心將增強，緊張情緒也將得到緩解。
2024年高考數(shù)學真題完全解讀（北京卷）
一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【命題意圖】本題考查集合的并集運算,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：易.
【解析】由題意得，故選：A.
【點評】集合是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),考查熱點一是集合的并集、交集、補集運算,二是集合之間的關系,所給集合多為不等式集、離散的數(shù)集或點集,這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.
【知識鏈接】
1.求解集合的運算問題的三個步驟：
(1)看元素構成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵,即辨清是數(shù)集、點集還是圖形集等；
(2)應用數(shù)形結合進行交、并、補等運算,常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和韋恩圖(Venn).
2. 已知，則（ ）．
A. B. C. D.
【命題意圖】本題考查復數(shù)的乘法運算,考查數(shù)學運算與數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).難度：易.
【答案】C
【解析】由題意得，故選：C.
【點評】復數(shù)是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),復數(shù)題多以單選題、填空題都可能出現(xiàn),考查熱點一是復數(shù)的概念與復數(shù)的幾何意義,如復數(shù)的模、共軛復數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)相等、復數(shù)的幾何意義等,二是復數(shù)的四則運算運算.
【知識鏈接】
解復數(shù)運算問題的常見類型及解題策略
(1)復數(shù)的乘法．復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可．
(2)復數(shù)的除法．除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.
(3)復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題．先利用復數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結合相關定義解答．
(4)復數(shù)的運算與復數(shù)幾何意義的綜合題．先利用復數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結合復數(shù)的幾何意義解答．
3. 圓的圓心到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.
【命題意圖】本題考查由圓的一般方程求出圓心和半徑以及圓心到直線的距離公式，數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：易
【答案】D
【解析】由題意得，即，
則其圓心坐標為，則圓心到直線的距離為.故選：D.
【點評】今年的直線與圓的位置關系考的比往年要簡單，往年著重考查圓有關的最值問題，今年考查的是基礎知識的運用，學生易得分。
【知識鏈接】（1）對于方程（為常數(shù)），當時，方程叫做圓的一般方程.方程表示以為圓心，以為半徑的圓；
（2） 設圓：直線：；圓心到直線的距離.
4. 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【命題意圖】本題考查二項式展開式的系數(shù)問題，數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：易
【答案】A
【解析】的二項展開式為，
令，解得，故所求即為.故選：A.
【點評】相較于往年，今年的題目在難度上稍有提升，其中新加入了分數(shù)指數(shù)冪的知識點，為考生帶來了新的挑戰(zhàn)。然而，從總體方向來看，題目的主要考查點并未改變，仍舊聚焦于二項式展開式的系數(shù)問題，旨在檢驗考生對該知識點的掌握與運用。
【知識鏈接】二項式展開式的通項公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk
5. 設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積運算及命題與邏輯，數(shù)學邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：易
【答案】B
【解析】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.
【點評】平面向量在北京高考數(shù)學中占據著重要的必考地位，常以客觀題的形式呈現(xiàn)。其考察熱點主要集中在平面向量的線性運算及數(shù)量積的靈活運用上。這些題目既可以設置成基礎題型，幫助學生扎實掌握基礎知識點；又可以構造得相當復雜，通過融合平面幾何、不等式、三角函數(shù)等多個知識領域，對學生的綜合應用能力和解題策略提出更高層次的要求。特別是在較難的題目中，平面向量常與其他數(shù)學概念相交融，形成綜合考察，考驗著學生的邏輯思維深度和解題智慧。
【知識鏈接】1. 對于平面向量數(shù)量積的求解，有兩種主要方法。當已知向量的模長和夾角時，可以利用公式a·b＝|a||b|cs〈a,b〉來直接計算；而若已知向量的坐標形式，可利用坐標法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),則a·b＝x1x2＋y1y2.
2. 在處理與平面幾何相關的平面向量數(shù)量積的最值與范圍問題時，常用的方法有以下兩種。一是通過建立坐標系，將幾何問題轉化為代數(shù)問題，再利用函數(shù)思想或基本不等式進行求解；二是通過引入角作為變量，將問題轉化為求解三角函數(shù)的最值或范圍問題。這兩種方法都能夠有效地處理這類問題，并幫助我們找到數(shù)量積的最值或范圍。
6. 已知，，，，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【命題意圖】本題考查三角函數(shù)最值以及周期性，考查數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：中
【答案】B
【解析】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，
則，即，且，所以.故選：B.
【點評】學生們在解決涉及三角函數(shù)最值分析的問題時，可以利用周期性的概念進行深入理解，并結合三角函數(shù)最小正周期公式進行計算求解。相較于去年，今年的題目難度雖略有提升，但整體上依然較為友好，易于學生理解和把握，因此學生們在掌握相應知識點的基礎上，較容易獲得理想的分數(shù)。
【知識鏈接】1.對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0,ω≠0),其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點．
2.ω由周期得到：①函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數(shù)的半個周期；②函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心,相鄰兩個對稱中心間的距離也是函數(shù)的半個周期；③一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心間的距離為函數(shù)的eq \f(1,4)個周期(借助圖象很好理解記憶)．
7. 生物豐富度指數(shù) 是河流水質的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)椋镓S富度指數(shù)由提高到，則（ ）
A. B.
C. D.
【命題意圖】本題考查對數(shù)的運算，考查數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度:中
【答案】D
【解析】由題意得，則，即，所以.
故選：D.
【點評】通過將題目背景設置為現(xiàn)實生活情境，我們旨在讓考生在解題的同時，深刻體會到數(shù)學既源于生活又服務于生活。本題特別強調了比較兩個數(shù)的大小時，除了常見的作差法外，有時采用作比法可能更為恰當和有效。這樣的設計旨在引導考生拓展思維，理解數(shù)學在實際問題中的靈活應用。
【知識鏈接】對數(shù)的運算性質(1)lga(M·N)=lgaM+lgaN. (2)lga MN=lgaM-lgaN. (3)lgaMb=blgaM.
8.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，，，該棱錐的高為（ ）.
A. 1B. 2C. D.
【命題意圖】本題考查面面垂直的性質定理，等體積法求點到面的距離，考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：中
【答案】D
【解析】如圖，底面為正方形，
當相鄰的棱長相等時，不妨設，
分別取的中點，連接，
則，且，平面，
可知平面，且平面，
所以平面平面，
過作的垂線，垂足為，即，
由平面平面，平面，
所以平面，
由題意可得：，則，即，
則，可得，
所以四棱錐的高為.
當相對的棱長相等時，不妨設，，
因為，此時不能形成三角形，與題意不符，這樣情況不存在.
故選：D.
【點評】與去年相比，去年考察的是空間幾何體的棱長之和，而今年的焦點則轉向了空間幾何體的高，從難度上看，今年的考查點顯得更為直接和簡單。解題過程中，首先利用面面垂直的性質推導出線面垂直，進而借助等體積法巧妙求解，使得整個解題過程變得清晰且易于操作。
【知識鏈接】面面垂直的性質定理
9. 已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點，則下列正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【命題意圖】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性以及基本不等式的運用，考查數(shù)學邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：中
【答案】A
【解析】由題意不妨設，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，
對于選項AB：可得，即，
根據函數(shù)是增函數(shù)，所以，故A正確，B錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤，
故選：A.
【點評】這道題目巧妙地運用了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)模型，深入考察了基本不等式的應用。在北京高考中，基本不等式經常與其他數(shù)學知識點相互交融，而今年這一結合的方式顯得尤為巧妙。題目不僅體現(xiàn)了數(shù)學公式的深度，還與函數(shù)的凹凸性有著微妙的關聯(lián)，為考生提供了一次綜合運用數(shù)學知識的機會。
【知識鏈接】（1）指數(shù)函數(shù)的圖像及性質
基本不等式: eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0,b>0)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.
10. 已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【命題意圖】本題考查集合的表示、函數(shù)圖像的運用，考查數(shù)形結合、邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：難
【答案】C
【解析】對任意給定，則，且，
可知，即，
再結合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，
如圖陰影部分所示，其中，
可知任意兩點間距離最大值；陰影部分面積.故選：C.
【點評】這道題目的設計極為巧妙，它巧妙地利用集合中的點集來代表平面圖形，進而引導學生結合圖像深入分析平面中兩點的最值問題。作為選擇題的壓軸題，它不僅展示了數(shù)學的深度和美感，而且相較于去年，難度上有所降低，使得更多學生能夠挑戰(zhàn)并享受解題的過程。
【知識鏈接】在運用數(shù)形結合的方法時，其核心在于“以形助數(shù)”，即在解題過程中，我們應著重培養(yǎng)這種思想意識。這不僅要求我們在腦海中形成清晰的圖形形象，而且要做到每當看到數(shù)學表達式時，能夠迅速聯(lián)想到相關的圖形。這樣做能夠極大地拓寬我們的解題思路。使用數(shù)形結合法的前提是題目中的條件能夠明確轉化為幾何意義，解題時，我們需精準地把握條件、結論與幾何圖形之間的對應關系，巧妙地利用幾何圖形中的相關定理和結論來求解問題。
二、填空題：本題共5小題,每小題5分,共25分.
11. 已知拋物線，則焦點坐標為________．
【命題意圖】本題考查拋物線的基本性質，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：易
【答案】
【解析】由題意拋物線的標準方程為，所以其焦點坐標為.
故答案為：.
【點評】本題重在基礎知識的考查，對學生要求不高。
【知識鏈接】
12. 在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于原點對稱.若，則的最大值為________．
【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的對稱性及由單調性求最值，考查數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：易
【答案】|
【解析】由題意，從而，
因為，所以的取值范圍是，的取值范圍是，
當且僅當，即時，取得最大值，且最大值為.
故答案：.
【點評】通過巧妙地利用三角函數(shù)的對稱性特性，我們可以建立與之間的關系，進而依托的取值范圍，精準地推導出本題的答案。這種解題方法不僅體現(xiàn)了對基礎知識點的深入理解和應用，更展現(xiàn)了一種別樣的考查視角，使得問題解答過程既富有挑戰(zhàn)性又充滿智慧。
13. 若直線與雙曲線只有一個公共點，則的一個取值為 ________．
【命題意圖】本題考查雙曲線的基本性質及直線與雙曲線的位置關系，考查數(shù)學運算及數(shù)形結合的核心素養(yǎng)。難度：易
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】聯(lián)立，化簡并整理得：，
由題意得或，
解得或無解，即，經檢驗，符合題意.
故答案為：（或，答案不唯一）.
【點評】本題為開放型題目，較去年的13題相比容易很多，直接借助直線與雙曲線的位置關系聯(lián)立方程組，令△=0從而求出k。
【知識鏈接】
14. 漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為______，升量器的高為________．
【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式及圓柱的體積，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：中
【答案】.
【解析】設升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，
故，.故答案為：.
【點評】
【知識鏈接】（1）圓柱體積V=πr2h(r為底面半徑，h為圓柱的高) ；
（2）等比數(shù)列的概念：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示()符號語言（或者）(為常數(shù)，，)
15. 設與是兩個不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個結論：
①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素；
②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；
③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；
④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.
其中正確結論的序號是______.
【命題意圖】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及散點圖的應用，考查邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：難
【答案】①③④
【解析】【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.
【詳解】對于①，因為均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，
而兩條直線至多有一個公共點，故中至多一個元素，故①正確.
對于②，取則均為等比數(shù)列，
但當為偶數(shù)時，有，此時中有無窮多個元素，
故②錯誤.
對于③，設，，
若中至少四個元素，則關于的方程至少有4個不同的正數(shù)解，
若，則由和的散點圖可得關于的方程至多有兩個不同的解，矛盾；
若，考慮關于的方程奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，
當有偶數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，
否則，因單調性相反，
方程至多一個偶數(shù)解，
當有奇數(shù)解，此方程即為，
方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時即
否則，因單調性相反，
方程至多一個奇數(shù)解，
因為，不可能同時成立，
故不可能有4個不同的正數(shù)解，故③正確.
對于④，因為為單調遞增，為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，
后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.
故答案為：①③④
【點評】對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質關系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉化.
三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．
（1）求；
（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【命題意圖】本題考查解三角形,考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng),難度：中
【答案】（1）；
（2）選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）選擇①，利用正弦定理得，結合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；
【解析】（1）由題意得，因為為鈍角，
則，則，則，解得，
因為為鈍角，則.
（2）選擇①，則，因為，則為銳角，則，
此時，不合題意，舍棄；
選擇②，因為為三角形內角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
因為為三角形內角，則，
則
，
則
【點評】本題把正余弦定理及二倍角公式交匯考查,命題形式與往年基本相同,學生對此類問題訓練較多,如運算能力過關,該題得滿分應該沒有問題.
【知識鏈接】應用正弦、余弦定理的解題技巧
(1)求邊：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B),b＝eq \f(asin B,sin A),c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相應變形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b),sin B＝eq \f(bsin A,a),sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相應變形公式求解．
(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解．
17. 如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．
（1）若為線段中點，求證：平面．
（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【命題意圖】本題考查線面平行的證明及面面所成角的計算,考查直觀想象、邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng),難度：中
【答案】（1）證明見解析 （2）
【分析】（1）取的中點為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.
【解析】
（1）取的中點為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因為，故，故，
故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則
設平面的法向量為，
則由可得，取，
設平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
【點評】北京高考試卷中立體幾何解答題一般有2問,第一問多為線面位置關系的證明, 對于線面位置關系的證明,步驟不規(guī)范是失分的主要原因,第二問多為利用空間向量線面角或面面角,在高考中立體幾何解答題一般難度不大,屬于得分題,若利用空間向量求空間角,運算錯誤是失分主要原因.
【知識鏈接】證明線面位置關系應注意的問題
(1)線面平行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉化,交替使用平行、垂直的判定定理和性質定理；
(2)線線關系是線面關系、面面關系的基礎．證明過程中要注意利用平面幾何中的結論,如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；
(3)證明過程一定要嚴謹,使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范．
18. 某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據如下表：
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.
（1）估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數(shù)學期望；
（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）
【命題意圖】本題考查古典概型求概率、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。難度：中
【答案】（1） （2）(i)0.122萬元 (ii)萬元
【分析】（1）根據題設中的數(shù)據可求賠償次數(shù)不少2的概率;
（2）（?。┰O為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數(shù)學期望，從而可求.
（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求.
【解析】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設中的統(tǒng)計數(shù)據可得.
（2）（?。┰O為賠付金額，則可取，
由題設中的統(tǒng)計數(shù)據可得，
，
，
，
故
故（萬元）.
（ⅱ）由題設保費的變化為，
故（萬元）
【點評】此題巧妙地以保險單為現(xiàn)實背景，深入生活，探尋數(shù)學的蹤跡，將數(shù)學與日常生活緊密相連。通過這一方式，不僅檢驗了學生的數(shù)學知識，更讓他們深切地認識到數(shù)學源于生活、服務于生活的真諦。與去年相比，本題難度適中，讓學生更容易上手，同時也保持了挑戰(zhàn)性，提升了學習的趣味性和實用性。
【知識鏈接】一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．此外稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
19. 已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若直線BD的斜率為0，求t的值．
【命題意圖】本題考查橢圓的基本幾何性質、直線方程及直線與橢圓的位置關系，考查數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。難度：中等偏上
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由題意得，進一步得，由此即可得解；
（2）說明直線斜率存在，設，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理有，而，令，即可得解.
【解析】（1）由題意，從而，
所以橢圓方程為，離心率為；
（2）顯然直線斜率存在，否則重合，直線斜率不存在與題意不符，
同樣直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點，矛盾，
從而設，，
聯(lián)立，化簡并整理得，
由題意，即應滿足，
所以，
若直線斜率為0，由橢圓的對稱性可設，
所以，在直線方程中令，
得，
所以，
此時應滿足，即應滿足或，
綜上所述，滿足題意，此時或.
【點評】與去年情況相類似，今年橢圓解答題再次位于第19題，其難度水平也與去年相近。一般而言，解析幾何解答題的第（1）小題被視為較易得分的部分，其難度相對較低。對于考生而言，盡管難題可能難以完全攻克，但爭取在容易題目上拿到盡可能多的分數(shù)，始終是值得追求的目標。值得注意的是，解析幾何解答題的一大特點是其計算量相對較大，這導致部分學生在解題過程中可能因為計算能力不足而出錯，甚至因覺得麻煩而選擇放棄。然而，實際上，解析幾何解答題的第（1）小題通常涉及求圓錐曲線方程或離心率，其難度并不高，因此建議考生不要輕易放棄。對于第（2）小題，雖然其解題思路可能需要一定的思考和推導，但總體來說還是較為容易理解和掌握的。建議考生平時多加練習類似的題目，總結計算規(guī)律，以提高解題速度和準確性，確保在這部分能夠取得理想的分數(shù)。
【知識鏈接】判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的一元方程．
例：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,F?x，y?＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則：
Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；
Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；
Δ0，且a≠1)
00時，01；
當x

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