高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷
考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分 命題人：GSL審題人：CHH
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若集合，，則（ ）．
A．B．
C．D．
2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）．
A．B．C．D．i
3．某公司在職員工有1200人，其中銷售人員有400人，研發(fā)人員有600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)加樣的方法抽取120人進(jìn)行調(diào)研，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多（ ）．
A．20B．30C．40D．50
4．已知向量，，則在上的投影向量為（ ）．
A．B．C． D．
5．已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)，方差，則，，，…，的平均數(shù)和方差分別為（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
6．在正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線AE與所成角的余弦值為（ ）．
A．B．C．D．
7．若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
8．在直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)P為梯形ABCD四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．人均可支配收入和人均消費(fèi)支出是兩個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)和民生指標(biāo)，常被用于衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和群眾生活水平，下圖為2018～2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此進(jìn)行分析，則（ ）．
A．2018～2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出逐年遞增
B．2018～2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增
C．2018～2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費(fèi)支出的極差小
D．2018～2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為21180元
10．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的有（ ）．
A．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
C．復(fù)數(shù)z是方程的解 D．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為2
11．如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．三棱錐的體積為定值
B．平面
C．的最小值為
D．當(dāng)，C，，P四點(diǎn)共面時(shí)，四面體的外接球的體積為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知平面向量，，，若，，則__________．
13．在中，，則角B的大小是__________，若，則的面積的最大值是__________．
14．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表而上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，且球心O在PC上，，，，則該鞠（球）的表面積為__________．
四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且，，．
（1）求b及的面積S；
（2）若D為BC邊上一點(diǎn)，且，求的正弦值．
16．小米在2024年推出SU7汽車，創(chuàng)始人雷軍為了了解廣“大客戶對(duì)小米SU7的評(píng)價(jià)，令銷售部隨機(jī)抽取200名客戶進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)統(tǒng)計(jì)情況，將他們的年齡按，，，，分組，并繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中用戶年齡的眾數(shù)與平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）銷售部從年齡在，內(nèi)的樣本中按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求這2人取自不同年齡區(qū)間的概率．
17．如圖，在正三棱柱中，，E，P分別為棱AC，BC的中點(diǎn)，且．
（1）證明：平面；
（2）求三棱柱被平面截得的兩部分的體積．
18．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投，先投中者獲勝，一直到有人獲勝或者每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．
（1）求甲獲勝的概率；
（2）求投籃結(jié)束時(shí)，甲只投了2個(gè)球的概率；
（3）若用投擲一枚質(zhì)地均勻硬幣的方式?jīng)Q定甲、乙兩人誰先投籃，求第3次投籃結(jié)束后，投籃結(jié)束的概率．
19．如圖，在矩形ABCD中，，，M是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面BCDM且點(diǎn)在平面BCDM內(nèi)的射影E落在線段BC上．
（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，
①證明：平面；
②求二面角的余弦值；
（2）設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值．
嶺南師范學(xué)院附屬中學(xué)
2024～2025學(xué)年第一學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試
高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷答案
1．【詳解】由，則，
所以，
又，所以．故選：C．
2．【詳解】由可得，所
以．故選：B．
3．【解析】由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人，
銷售人員有人，
則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多．故選：A．
4．【詳解】依題意，，，
所以在上的投影向量為．故選：A．
5．【解析】因?yàn)?，，，…，的平均?shù)是10，方差是10，
則，，
所以，，，…，的平均數(shù)是
，
方差是
．
故選：D．
6．【詳解】取的中點(diǎn)F，連接BF，，設(shè)正方體棱長為a，
因?yàn)?，，所以四邊形ABFE為平行四邊形，
所以，則為異面直線AE與所成角或其補(bǔ)角，
由，，
所以．故選：B．
7．【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以，
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．故選：C．
8．【詳解】如圖中，O為AB中點(diǎn)，
，
如圖，取AB中點(diǎn)O，
，要求取值范圍，只需要求最大，最小即可．
由圖，可知最大時(shí)，P在D點(diǎn)，即，
此時(shí)，
最小時(shí)，P在O點(diǎn)，即，此時(shí)．
綜上所得，所取值范圍為：．故選：D．
9．對(duì)于B，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，B正確；
對(duì)于C，2018～2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為元，人均消費(fèi)支出的極差為元，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，2018～2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為元，D正確．故選：BD．
10．【解析】因?yàn)椋裕?br>對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確：
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，則由，得到，
又，由幾何意義知，可看成圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
所以的最大值為，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．
11．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，不在平面?nèi)，平面，
所以平面，
又，所以點(diǎn)P到平面的距離為1，
又為定值，故定值，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，同理可知平面，
又，，平面，所以平面平面，
由于平面，故平面，B正確；
對(duì)于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
連接，交于點(diǎn)P，此時(shí)最小，最小值即為的長，
過點(diǎn)作，交AB的延長線于點(diǎn)N，
其中，，，故，
又勾股定理得，C不正確；
對(duì)于D，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，
四面體的外接球即正方體的外接球，
故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確．
故選：ABD．
12．【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，，
因?yàn)?，，，所以，?br>所以．
故答案為：．
13．【詳解】因?yàn)椋?br>由余弦定理得，所以．
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，面積，
所以三角形面積的最大值為．
故答案為：；．
14．【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MP，
由，得：，
∵，∴．
連接CM并延長，交球O于點(diǎn)H，連接PH，
因?yàn)镻C為球O的直徑，設(shè)球的半徑為R，則，．
∴．
∴，∴，
球的表面積為．故答案為：．
15．【小問1詳解】由余弦定理得，
整理得，即，
因?yàn)?，解得?br>所以．
【小問2詳解】由正弦定理得：，
所以，
在三角形ABD中，因?yàn)?，則，
所以．
16．解：（1）由平均數(shù)計(jì)算公式，可估計(jì)平均數(shù)為，
根據(jù)頻率分步直方圖，估計(jì)眾數(shù)為45．
（2）由已知可得抽取的6人中，年齡在內(nèi)的有4人，分別記為，，，；
年齡在內(nèi)的有2人，分別記為，；
則從這6人中隨機(jī)抽取2人的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)；
記事件A＝“這2人取自不同年齡區(qū)間”，其包含樣本點(diǎn)有，，，，，，，，共8個(gè)，
故這2人取自不同年齡區(qū)間的概率為．
17．解：（1）連接交于F，連接EF，如圖．
∵三棱柱為正三棱柱，∴F為的中點(diǎn)，
又E為AC的中點(diǎn)，∴EF為的中位線，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）三棱柱被平面截得的兩部分為三棱錐與多面體．
∵三棱柱為正三棱柱，∴四邊形為矩形，
又，∴∽，
∴，解得．
∴三棱柱的體積為，
故三棱錐的體積為，
多面體的體積為．
18．解：（1）根據(jù)題意，設(shè)，分別表示甲、乙在第k次投籃投中，
則，，，2，3，
設(shè)甲獲勝為事件E，則，
而，，互斥，
故．
（2）根據(jù)題意，設(shè)投籃結(jié)束時(shí)，甲只投2個(gè)球?yàn)槭录﨔，
則，而，互斥，
所以．
（3）根據(jù)題意，設(shè)第3次投籃結(jié)束后，投籃結(jié)束為事件G，
分兩種情況討論：
若甲先投籃，若第3次投籃結(jié)束后，投籃結(jié)束，即事件，
若乙先投籃，若第3次投籃結(jié)束后，投籃結(jié)束，即事件，
故．
19．【小問1詳解】
①
當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)D重合時(shí)，由可知，
由題意知平面BCD，平面BCD，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面．
②
過E作于點(diǎn)O，連接．
因?yàn)槠矫鍮CD，平面ABCD，所以，
因?yàn)?，，，，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>所以為二面角的平面角，且在四邊形ABCD中，A、O、E三點(diǎn)共線．
因?yàn)?，，所以?br>所以，所以，，
所以，，
所以，
所以在中，，
即二面角的余弦值為．
【小問2詳解】
過點(diǎn)E做交BM于Q，所以直線EQ與平面所成的角，
即為直線CD與平面所成的角，
過E作于點(diǎn)O，連接．
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足為H，平面平面，平面，
所以平面，
連接QH，是直線EQ與平面所成的角，即，
因?yàn)椤?，滿足，
設(shè)，，所以，，
所以，，
所以，，
因?yàn)樵谥?，斜邊大于直角邊，即?br>所以，
所以，，
在中由等面積，，，
因?yàn)?，，所以是二面角平面角?br>即，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝”成立，
故的最大值為．

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