1.“n=6”是“(x2+1x)n的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的( )
A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件 C. 充要條件 D. 既非充分也非必要條件
2.已知復(fù)數(shù)z滿足z2=z?，則復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知M(x0,y0)是圓x2+y2=r2(r>0)內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則此直線x0x+y0y=r2與該圓( )
A. 相交B. 相切C. 相離D. 不確定
4.已知橢圓x24+y2=1，作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|，兩垂線相交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的軌跡是某種曲線(或其一部分)，則該曲線是( )
A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
二、填空題：本題共12小題，共54分。
5.在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d=2，則a3= ______．
6.已知函數(shù)f(x)=(m?1)xm2?3m?5是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)m= ______．
7.已知向量a=(?1,2),b=(x,4)，且a⊥b，則x= ______．
8.拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程為________．
9.已知直線x+2y?3=0和2x+my+1=0互相平行，則它們之間的距離是______．
10.已知隨機(jī)變量X的分布為?，則E[2X+5]= ______
11.方程x23?m+y2m?1=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則x的取值范圍是______．
12.直線l的斜率的取值范圍為[?1,1]，則其傾斜角的取值范圍是______．
13.已知橢圓x216+y27=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.若P為橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|?|PF2|=14，則△F1PF2的面積為______．
14.已知m∈R，動(dòng)直線l1：x+my?1=0過定點(diǎn)A，動(dòng)直線l2：mx?y?2m+3=0過定點(diǎn)B，若l1與l2交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)A，B)，則|PA|+|PB|的最大值為______．
15.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線C：(x2+y2)3=4x2y2被稱為“四葉玫瑰線”(如圖所示).給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過1；
③存在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、邊長為 2的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)(含邊界)．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
16.定義兩個(gè)點(diǎn)集S、T之間的距離集為d(S,T)={|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表示兩點(diǎn)P、Q之間的距離，已知k、t∈R，S={(x,y)|y=kx+t，x∈R}，T={(x,y)|y= 4x2+1,x∈R}，若d(S,T)=(1,+∞)，則t的值為 ．
三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題14分)
在長方體ABCD?A1B1C1D1中(如圖)，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)．
(1)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.試問四面體D1CDE是否為鱉臑？并說明理由；
(2)求直線DE與直線D1C所成角的大?。?br>18.(本小題14分)
已知向量a=( 3sinx,1)，b=(csx,?1)．
(1)若a//b，求tan2x的值；
(2)若f(x)=(a+b)?b，求函數(shù)f(x)的最小正周期及當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)的最大值．
19.(本小題14分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(0,0),B(3,3),C(1,? 5)，記△ABC外接圓為圓M．
(1)求圓M的方程；
(2)在圓M上是否存在點(diǎn)P，使得|PB|2?|PA|2=12？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由．
20.(本小題18分)
已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線l過右焦點(diǎn)F2且與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
(1)若雙曲線C的離心率為 3，虛軸長為2 2，求雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)設(shè)a=1，b= 3，若l的斜率存在，且(F1A+F1B)?AB=0，求l的斜率；
(3)設(shè)l的斜率為 35，|OA+OB|=|OA?OB|=4，求雙曲線C的方程．
21.(本小題18分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為 32，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)M(?12,0)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、Q(異于A、B)，且AM=35MB．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線AP、QB的斜率分別為k1、k2，且k1=λk2，求λ的值；
(3)設(shè)△PQB和△PQA的面積分別為S1、S2，求|S1?S2|的最大值．
參考答案
1.A
2.D
3.C
4.C
5.5
6.2
7.8
8.y=?14
9.7 510

11.(1,2)
12.[0,π4]∪[3π4,π)
13.7
14.2 5
15.①②
16.? 5
17.解：(1)在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，
點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，
∴DE=EC= 2，CD=2，
∴DE2+CE2=DC2，∴DE⊥CE，
∵DD1⊥平面DEC，CE?平面DEC，∴DD1⊥CE，
∵DE∩DD1=D，∴CE⊥平面D1DE，
∵D1E?平面D1DE，∴CE⊥D1E，
∴四面體D1CDE為鱉臑．
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

D(0,0,0)，E(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，
DE=(1,1,0)，D1C=(0,2,?1)，
cs=DE?D1C|DE|?|D1C|=2 2? 5= 105，
∴直線DE與直線D1C所成角的大小為arccs 105．
18.解：(1)∵向量a=( 3sinx,1)，b=(csx,?1)，
又a//b，
∴1×csx=?1× 3sinx，csx不為0，否則sinx也為0，
∴tanx=? 33，
∴tan2x=2tanx1?tan2x=? 3．
(2)∵f(x)=(a+b)?b，
∴f(x)= 3sinxcsx+cs2x
= 32sin2x+12cs2x+12，
=sin(2x+π6)+12，
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π，
∵x∈[0,π2]，
∴2x+π6∈[π6,7π6]，
即2x+π6=π2即x=π6時(shí)，函數(shù)取最大值32，
故函數(shù)的周期為π，當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)的最大值32．
19.解：(1)設(shè)△ABC外接圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．
將A(0,0),B(3,3),C(1,? 5)代入，
得F=0D+E+6=0D? 5E+6=0，解得D=?6E=0F=0．
∴圓M的方程為x2+y2?6x=0；
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y)，
∵|PB|2?|PA|2=12，∴(x?3)2+(y?3)2?x2?y2=12，
化簡得：x+y?1=0．
化圓M：x2+y2?6x=0為(x?3)2+y2=9，
圓心M(3,0)，半徑為3．
∵圓M的圓心到直線x+y?1=0的距離d=|3?1| 2= 20，x1+x2=?6a2c5b2?3a2，x1x2=?3a2c2?5a2b25b2?3a2，
∵OA?OB=0，∴x1x2+y1y2=0，x1x2+35(x1?c)(x2?c)=0，
化為8x1x2?3c(x1+x2)+3c2=0，
∴8×?3a2c2?5a2b25b2?3a2?3c×(?6a2c5b2?3a2)+3c2=0，
化為b2=3a2，c2=4a2，
∴b= 3a，c=2a，
∴x1+x2=?6a2c5b2?3a2=?a，x1x2=?3a2c2?5a2b25b2?3a2=?94a2，
∴4= (1+35)[a2?4×(?94a2)]，
解得a=1，b= 3，
∴雙曲線C的方程為x2?y23=1．
21.解：(1)因?yàn)锳(?a,0)，B(a,0)，所以AM=(?12+a,0),MB=(a+12,0)，
由AM=35MB可得?12+a=35(a+12)，解得a=2，
因?yàn)殡x心率為 32，則c2a2=34，又a2=b2+c2，則b2=1，
所以橢圓C的方程為：x24+y2=1；
(2)由題可知：點(diǎn)M(?12,0)在橢圓內(nèi)，直線PQ與橢圓必相交，
且直線PQ的斜率可以不存在，但不為0，
設(shè)直線PQ的方程為x=ty?12，設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
聯(lián)立方程x=ty?12x24+y2=1，消去x可得(t2+4)y2?ty?154=0，
則Δ=t2+15(t2+4)>0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：y1+y2=tt2+4,y1y2=?154(t2+4)，則ty1y2=?154(y1+y2)，
所以k1k2=y1x1+2?x2?2y2=(ty2?12?2)y1(ty1?12+2)y2=ty1y2?52y1ty1y2+32y2=?154(y1+y2)?52y1?154(y1+y2)+32y2
=?54(5y1+3y2)?34(5y1+3y2)=53，
即k1=53k2，所以λ=53；
(3)由(2)可知：y1+y2=tt2+4,y1y2=?154(t2+1)，
所以|S1?S2|=12||AM|?|BM||?|y1?y2|=12 (y1+y2)2?4y1y2
=12 (tt2+4)2+15t2+4= 4t2+15t2+4=4 4t2+15(4t2+15)+1=4 4t2+15+1 4t2+15，
因?yàn)閠2≥0，則 4t2+15≥ 15，
因?yàn)楹瘮?shù)f′(x)=x+1x在[ 15,+∞)上單調(diào)遞增，
故 4t2+15+1 4t2+15≥ 15+1 15=16 1515，
所以|S1?S2|≤416 1515= 154，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立，
因此，|S1?S2|的最大值為 154．

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