TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21796" 【題型1 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】 PAGEREF _Tc21796 \h 1
\l "_Tc17023" 【題型2 二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】 PAGEREF _Tc17023 \h 3
\l "_Tc22730" 【題型3 二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】 PAGEREF _Tc22730 \h 5
\l "_Tc18687" 【題型4 二次函數(shù)中全等三角形的存在性問題】 PAGEREF _Tc18687 \h 7
\l "_Tc13453" 【題型5 二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】 PAGEREF _Tc13453 \h 8
\l "_Tc32016" 【題型6 二次函數(shù)中菱形的存在性問題】 PAGEREF _Tc32016 \h 11
\l "_Tc756" 【題型7 二次函數(shù)中矩形的存在性問題】 PAGEREF _Tc756 \h 13
\l "_Tc4142" 【題型8 二次函數(shù)中正方形的存在性問題】 PAGEREF _Tc4142 \h 15
\l "_Tc5178" 【題型9 二次函數(shù)中面積問題的存在性問題】 PAGEREF _Tc5178 \h 17
\l "_Tc11160" 【題型10 二次函數(shù)中線段問題的存在性問題】 PAGEREF _Tc11160 \h 18
\l "_Tc18152" 【題型11 二次函數(shù)中角度問題的存在性問題】 PAGEREF _Tc18152 \h 20
\l "_Tc11501" 【題型12 二次函數(shù)中最值問題的存在性問題】 PAGEREF _Tc11501 \h 22
【題型1 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】
【例1】（2023春·甘肅張掖·九年級?？计谥校┤鐖D甲，直線y=?x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)00時，拋物線y=mx2?2mx+3的開口向上，故①不一定正確；
拋物線y=mx2?2mx+3的對稱軸為直線x=??2m2m=1，故②正確；
在y=mx2-2mx+3中，x=0時y=3，x=2時y=3，即拋物線y=mx2?2mx+3經(jīng)過定點(diǎn)（0，3）和（2，3），故③正確；
二次函數(shù)y=mx2?2mx+3的值在對稱軸x=1兩側(cè)的增減性恰好相反，故④不正確；
故答案為：②③；
（2）當(dāng)m=1時，y=x2?2x+3，
①∵y=x2?2x+3=（x?1）2+2，
∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
故答案為：（1，2）；
②∵將拋物線C1沿x軸翻折得到拋物線C2，
∴拋物線C2的頂點(diǎn)為（1，﹣2），
∴拋物線C2的表達(dá)式為y=?x?2?2=?x2+2x?3，
故答案為：y=?x2+2x?3；
（3）存在實(shí)數(shù)m，使得以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，理由如下：
如圖：
在y=mx2?2mx+3中，令x=0得y=3，
∴E（0，3），
∵拋物線y=mx2?2mx+3的對稱軸為直線x=1，
∴F（2，3），
在y=mx2?2mx+3中，令x=1得y=3?m，
∴P（1，3﹣m），
∵P，Q關(guān)于直線y=3對稱，
∴Q（1，3+m），
由對稱性知EF，PQ互相平分，且EF⊥PQ，
∴以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，只需PQ=EF，
∴3+m?3?m=2，
解得m=1或m=?1，
∴m的值為1或?1．
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的幾何綜合，解題關(guān)鍵是找到特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代值計算，解題技巧是根據(jù)正方形的推論出邊長的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)直接計算．
【題型9 二次函數(shù)中面積問題的存在性問題】
【例9】（2023春·四川廣安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A1,0,B3,0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式．
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△ACM的周長最小？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，連接BC，若在BC下方的拋物線上存在一點(diǎn)P，使得S△BCP=12S△BCA，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)y=x2?4x+3
(2)存在，M(2,1)
(3)3?52或3+52
【分析】（1）由于拋物線y=ax2+bx+3過A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，那么可以得到方程ax2+bx+3=0的兩根為x=1或x=3，然后利用根與系數(shù)即可確定a、b的值．
（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)M，要使MA+MC的值最小，則點(diǎn)M就是BC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，把拋物線對稱軸x=2代入即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）過P作PQ⊥x軸，與BC交于Q，連接PB，PC，求出S△BCA=3，可得S△BCP=32，設(shè)Pm,m2?4m+3，得到Qm,?m+3，得出PQ，從而得到關(guān)于m的方程，解之可得結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3過A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，
∴方程ax2+bx+3=0的兩根為x=1或x=3，
∴1+3=?ba，1×3=3a，
∴a=1，b=?4，
∴二次函數(shù)解析式是y=x2?4x+3；
（2）∵二次函數(shù)解析式是y=x2?4x+3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，C(0,3)．
∵點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴點(diǎn)M為BC與對稱軸的交點(diǎn)時，MA+MC=BC的值最?。?br>
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t(k≠0)，
則3k+t=0t=3，
解得：k=?1t=3．
∴直線BC的解析式為y=?x+3．
∵拋物線的對稱軸為直線x=2．
∴當(dāng)x=2時，y=1．
∴拋物線對稱軸上存在點(diǎn)M(2,1)符合題意，
∵A(1,0)、B(3,0)，C(0,3)．
∴AC=32+12=10，BC=32+32=32，
∴AC+BC=10+32，
∴在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)M，使ΔACM的周長最小，ΔACM周長的最小值為10+32；
（3）過P作PQ⊥x軸，與BC交于Q，連接PB，PC，
∵A1,0，B3,0，C(0,3)，
∴S△BCA=12×AB×yC=12×2×3=3，
∴S△BCP=12S△BCA=32，
設(shè)Pm,m2?4m+3，
∵直線BC的解析式為y=?x+3，
∴Qm,?m+3，
∴PQ=?m+3?m2?4m+3=?m2+3m，
∴S△BCP=12×PQ×xB?xC=12×?m2+3m×3=32，
解得：m=3?52或m=3+52，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3?52或3+52．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了利用拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱軸上點(diǎn)的坐標(biāo)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)解析式．
【變式9-1】（2023春·江西九江·九年級校考期中）如圖，已知二次函數(shù)L1：y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)(?1，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線L2：y=x+n經(jīng)過點(diǎn)A．

(1)求二次函數(shù)L1的表達(dá)式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)二次函數(shù)L3與二次函數(shù)L1關(guān)于X軸對稱，直線L2與二次函數(shù)L3相交于A、D兩點(diǎn)．
①直接寫出二次函數(shù)L3的表達(dá)式；
②求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
③在直線L2上半部分的二次函數(shù)L3上，是否存在一點(diǎn)M，使得△AMD的面積最大？若存在，請求出M坐標(biāo)，并求出最大面積．
【答案】(1)y=x2?2x?3 1,?4
(2)①y=?x2+2x+3 ②2,3 ③存在 12,154 278
【分析】（1）用待定系數(shù)法將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)L1的表達(dá)式中，即可求得待定的系數(shù)，從而求得L1的表達(dá)式；再將L1的表達(dá)式整理為頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）①根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反即可求得直線L3的表達(dá)式；
②先求得直線L2的解析式，然后再與直線L3的表達(dá)式聯(lián)立方程組，并解方程組即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
③經(jīng)分析存在這樣的點(diǎn)M，當(dāng)直線L4與L2平行，且直線L4與二次函數(shù)L3相切于點(diǎn)M時， △AMD的面積最大．先求得直線L4的解析式，然后聯(lián)立二次函數(shù)L3的解析式組成方程組并求解，即可求得點(diǎn)M的的坐標(biāo)，然后用“割補(bǔ)法”求得△AMD的面積．
【詳解】（1）將點(diǎn)A?1,0與點(diǎn)B3,0的坐標(biāo)代入二次函數(shù)L1：y=x2+bx+c中得：
0=1?b+c0=9+3b+c，解得：b=?2c=?3
∴二次函數(shù)L1的表達(dá)式為：y=x2?2x?3．
即y=x?12?4
∴二次函數(shù)L1的頂點(diǎn)P1,?4．
（2）①在二次函數(shù)L1上取點(diǎn)x,y，其關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為x,?y，把點(diǎn)x,?y代入二次函數(shù)L1的解析式得：?y=x2?2x?3
∴二次函數(shù)L3的表達(dá)式為：y=?x2+2x+3．
②∵直線L2:y=x+n經(jīng)過點(diǎn)A?1,0，
∴0=?1+n，
∴n=1．
∴直線L2的表達(dá)式為：y=x+1．
∵直線L2與二次函數(shù)L3相交于A?1,0、D兩點(diǎn)，
∴聯(lián)立直線L2與二次函數(shù)L3的表達(dá)式，得y=?x2+2x+3y=x+1
解得：x1=?1y1=0，x2=2y2=3
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為2,3．
③如下圖所示，當(dāng)直線L4與L2平行，且直線L4與二次函數(shù)L3相切于點(diǎn)M時，△AMD的面積最大．

設(shè)直線L4的表達(dá)式為：y=x+t．
∴y=x+ty=?x2+2x+3
消去y，得x2?x+t?3=0
∵L4與L3相切于點(diǎn)M，
Δ=?12?4t?3=0．
解得：t=134
故直線L4的表達(dá)式為：y=x+134
解方程組y=x+134y=?x2+2x+3得：x=12y=154
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為12,154．
自點(diǎn)M、D分別作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)G、H．
則S△AMD=S△AMG+S梯形DMGH?S△ADH
=12×AG×MG+12×DH+MG×GH?12×AH×DH
=12×32×154+12×3+154×32?12×3×3
=278
故存在一點(diǎn)M12,154，使得△AMD面積最大，最大面積為278．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)，還涉及求一次函數(shù)的解析式、一元二次方程根的判別、割補(bǔ)法求三角形面積等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．
【變式9-2】（2023春·山東東營·九年級東營市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與y軸交于點(diǎn)C0,4，與x軸交于A?2,0，點(diǎn)B4,0．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)M是拋物線上的一動點(diǎn)，且在直線BC的上方，當(dāng)S△MBC取得最大值時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使三角形ABP的面積為12？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=?12x2+x+4
(2)M(2,4)
(3)0,4或2,4或1+17,?4或1?17,?4
【分析】（1）、將三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式列出方程組求解即可；
（2）、過點(diǎn)M作MD平行于y軸，與BC交于D，則可得：S△BCM=S△CMD+S△BDM=12MD?OB ，用待定系數(shù)法求出BC解析式，設(shè)出M、D坐標(biāo)，代入可得出S的表達(dá)式，配成頂點(diǎn)式求最值即可；
（3）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，根據(jù)△ABP的面積為12，得出12×?2?4×y=12，求出y=±4，代入二次函數(shù)解析式求出x的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將(0,4),(?2,0),(4,0)代入拋物線解析式得：
c=44a?2b+c=016a+4b+c=0 ，
解得：a=?12b=1c=4 ，
∴y=?12x2+x+4 ；
（2）解：過點(diǎn)M作MD∥y軸交BC于D，交OB于E，過C作CF⊥DM于F，如圖所示：

∴OCFE為矩形，
∴OE=CF ，
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b ，
將點(diǎn)0，4、4,0代入得：b=44k+b=0 ，
解得：k=?1b=4 ，
則直線BC的解析式為：y=?x+4 ，
設(shè)M(m,?12m2+m+4) ，則D(m,?m+4) ，
∴DM=?12m2+m+4?(?m+4)=?12m2+2m ，
S△BCM=S△CMD+S△BDM
=12DM?CF+12DM?BE
=12DMCF+BE ，
∴S△BCM=12DM?OB=?m2+4m=?(m?2)2+4，
∵點(diǎn)M在直線BC的上方，
∴0

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題21.12 二次函數(shù)中的十二大存在性問題（滬科版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題21.12 二次函數(shù)中的十二大存在性問題（滬科版）（解析版），共134頁。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.9 二次函數(shù)中的十二大存在性問題（北師大版）（解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.9 二次函數(shù)中的十二大存在性問題（北師大版）（解析版），共133頁。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.9 二次函數(shù)中的十二大存在性問題（北師大版）（原卷版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2.9 二次函數(shù)中的十二大存在性問題（北師大版）（原卷版），共24頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級下冊5.1 二次函數(shù)課后測評

初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級下冊5.1 二次函數(shù)課后測評
滬科版九年級上冊21.1 二次函數(shù)精品課時練習(xí)

滬科版九年級上冊21.1 二次函數(shù)精品課時練習(xí)
人教版22.1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合與測試課后測評

人教版22.1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合與測試課后測評
數(shù)學(xué)九年級下冊1 二次函數(shù)一課一練

數(shù)學(xué)九年級下冊1 二次函數(shù)一課一練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級下冊電子課本

1 二次函數(shù)

版本： 北師大版（2024）

年級： 九年級下冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部