2020-2021學年湖北省武漢市青山區(qū)八年級下學期期中數(shù)學試題及答案-試卷下載-教習網(wǎng)

A．B．C．D．
2．在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍（）
A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)≤3C．a(chǎn)≥﹣3D．a(chǎn)≤﹣3
3．矩形和菱形都具有的性質(zhì)是（）
A．有一組鄰邊相等B．對角線互相平分
C．對角線相等D．對角線互相垂直
4．下列計算正確的是（）
A．+＝B．3﹣＝3C．＝+D．6＝2
5．若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)比為1：2，則其中較大的內(nèi)角是（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
6．下列說法中能推出△ABC是直角三角形的個數(shù)有（）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1個B．2個C．3個D．4個
7．下列條件中，能推出?ABCD為矩形的是（）
A．AB＝BCB．AC平分∠BADC．AC⊥BDD．AC＝BD
8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為（）
A．B．C．4D．
9．如圖，四邊形OAA1B1是邊長為1的正方形，以對角線OA1為邊作第二個正方形OA1A2B2，連接AA2，得到△AA1A2；再以對角線OA2為邊作第三個正方形OA2A3B3，連接A1A3，得到△A1A2A3，再以對角線OA3為邊作第四個正方形，OA3A4B4，連接A2A4，得到△A2A3A4，…，設(shè)△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面積分別為S1，S2，S3，…．如此下去，則S2021的值為（）
A．22018B．22019C．22019+D．22020
10．如圖，在正方形ABCD中，O為對角線BD的中點，E為邊AB上一點，AF⊥DE于點F，
OF＝，AF＝1，則EF的長為（）
A．B．C．D．﹣1
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置.
11．（﹣）2＝；＝．
12．如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上點，測得BC＝60m，AC＝20m，則A，B兩點間的距離 m．
13．如果是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是．
14．如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．則CE的長是．
15．在?ABCD中，AB＝，AD＝，點A到邊BC，CD的距離分別為AE＝，AF＝1，則∠EAF的度數(shù)為．
16．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移，得到△EFG，連接EC，ED，F(xiàn)C，則EC+FC的最小值為．
三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形.
17．計算：
（1）﹣4+；
（2）（﹣）÷．
18．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且BE∥AC，AE∥BD，連接EO．
（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說明理由；
（2）若CD＝6，求OE的長．
19．已知直角三角形的兩直角邊長分別為（2+）和（2﹣）．
求這個直角三角形的斜邊長．
20．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：
（1）五邊形ABCDE的周長為．
（2）在AB上找點F，使E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；
（3）設(shè)DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；
（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．
21．如圖，小明家A和地鐵口B兩地恰好處在東西方向上，且相距3km，學校C在他家正北方向的4km處，公園D與地鐵口和學校的距離分別5km和5km．
（1）求地鐵口、公園和學校三地組成的∠BDC的大小；
（2）計算公園與小明家的距離．
22．（1）如圖1，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．
①若AC＝BD，則m2＝；（用含a，b的式子表示）
若AC⊥BD，則m2＝；（用含a，n的式子表示）
②試探索a，b，m，n這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，在△EFG中，GH是中線，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，則FH的長為．
23．如圖，P是菱形ABCD的邊BC上一個動點，∠ABC＝60°，線段PC的垂直平分線與對角線BD交于點E，連接PE，CE，AP．
（1）如圖（1），∠BAP＝16°，直接寫出∠APE的大小；
（2）如圖（2），試探索線段AB，BP，BE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）如圖（3），若AB＝1，過點E作EF⊥AP于點F，點P從點B往點C運動至EF最小時停止，直接寫出點P的運動路徑長．
24．如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A（0，a），點B（b，0），且a，b滿足：b+4＝+，點C與點B關(guān)于y軸對稱，點P，點E分別是x軸，直線AB上的兩個動點．
（1）則點C的坐標為；
（2）連接PA，PE．
①如圖1，當點P在線段BO（不包括B，O兩個端點）上運動，若△APE為直角三角形，F(xiàn)為斜邊PA的中點，連接EF，OF，試判斷EF與OF的關(guān)系，并說明理由；
②如圖2，當點P在線段OC（不包括O，C兩個端點）上運動，若△APE為等腰三角形，M為底邊AE的中點，連接MO，試探索PA與OM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，連PA，CE，設(shè)它們所在的直線交于點G，設(shè)CE交y軸于點F，連接BG，若OP＝OF，則BG的最小值為．
參考答案
一、你一定能選對!（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個備選答案，其中有且只有一個是正確的，請將正確答案的代號在答題卡上將對應(yīng)的答案標號涂黑.
1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
解：A、不能化簡，是最簡二次根式，符合題意；
B、＝2，能化簡，不是最簡二次根式，不符合題意；
C、＝2，能化簡，不是最簡二次根式，不符合題意；
D、＝，能化簡，不是最簡二次根式，不符合題意．
故選：A．
2．在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍（）
A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)≤3C．a(chǎn)≥﹣3D．a(chǎn)≤﹣3
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．
解：根據(jù)題意得，3﹣a≥0，
解得a≤3．
故選：B．
3．矩形和菱形都具有的性質(zhì)是（）
A．有一組鄰邊相等B．對角線互相平分
C．對角線相等D．對角線互相垂直
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出即可．
解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個角度數(shù)直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角線相等且互相平分；
菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，
所以矩形和菱形都具有的性質(zhì)是對角線互相平分，
故選：B．
4．下列計算正確的是（）
A．+＝B．3﹣＝3C．＝+D．6＝2
【分析】直接利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．
解：A、+，無法計算，故此選項錯誤；
B、3﹣＝2，故此選項錯誤；
C、＝，故此選項錯誤；
D、6＝6×＝2，故此選項正確；
故選：D．
5．若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)比為1：2，則其中較大的內(nèi)角是（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【分析】據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根據(jù)∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B：∠C＝1：2，
∴∠C＝×180°＝120°，
故選：D．
6．下列說法中能推出△ABC是直角三角形的個數(shù)有（）
①a2＝c2﹣b2；
②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；
③a：b：c＝1：：2；
④∠C＝∠A﹣∠B．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得①③是否是直角三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出角的度數(shù)可判斷②④是否是直角三角形．
解：①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形；
②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；
③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形；
④∠C＝∠A﹣∠B可變?yōu)椤螦＝∠C+∠B，根據(jù)∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形；
故選：D．
7．下列條件中，能推出?ABCD為矩形的是（）
A．AB＝BCB．AC平分∠BADC．AC⊥BDD．AC＝BD
【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可一一判斷．
解：A、∵AB＝BC，
∴?ABCD為菱形，故A選項不合題意；
B、∵AC平分∠BAD，
∴?ABCD為菱形，故B選項不合題意；
C、∵AC⊥BD，
∴?ABCD為菱形，故C選項不合題意；
D、∵AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故D選項符合題意；
故選：D．
8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為（）
A．B．C．4D．
【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理，求得OB的長，繼而可求得BD的長，然后由菱形的面積公式可求得線段DE的長．
解：如圖．
∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB?DE＝AC?BD，
∴DE＝＝＝．
故選：D．
9．如圖，四邊形OAA1B1是邊長為1的正方形，以對角線OA1為邊作第二個正方形OA1A2B2，連接AA2，得到△AA1A2；再以對角線OA2為邊作第三個正方形OA2A3B3，連接A1A3，得到△A1A2A3，再以對角線OA3為邊作第四個正方形，OA3A4B4，連接A2A4，得到△A2A3A4，…，設(shè)△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面積分別為S1，S2，S3，…．如此下去，則S2021的值為（）
A．22018B．22019C．22019+D．22020
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后歸納命題中隱含的數(shù)學規(guī)律，即可解決問題．
解：∵四邊形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA1＝，
∴OA2＝A2A3＝OA1＝2，
∴A2B1＝2﹣1＝1，
∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，
同理可求：S3＝×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2021的值為22019．
故選：B．
10．如圖，在正方形ABCD中，O為對角線BD的中點，E為邊AB上一點，AF⊥DE于點F，
OF＝，AF＝1，則EF的長為（）
A．B．C．D．﹣1
【分析】連接AC，過O點作OG⊥OF交DE于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
解：連接AC，過O點作OG⊥OF交DE于點G，
∵四邊形ABCD是正方形，O為BD的中點，AC，BD為對角線，
∴O為對角線的交點，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OD，
∵OG⊥OF，
∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠DOG+∠AOG＝90°，
∴∠AOF＝∠DOG，
∵AF⊥DE，
∴∠FAO+∠1＝90°，
∵∠GDO+∠2＝90°，∠1＝∠2，
∴∠FAO＝∠GDO，
在△AOF與△DOG中，
，
∴△AOF≌△DOG（ASA），
∴AF＝DG＝1，OG＝OF＝，
∴△OFG是直角三角形，
∴FG＝，
∴FD＝FG+GD＝3，
∵∠BAD＝90°，AF⊥DE，
∴∠EAF+∠FAD＝∠FAD+∠ADF＝90°，
∠EFA＝∠AFD＝90°，
∴△AFE∽△DFA，
∴，
∴EF＝AF＝，
故選：C．
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置.
11．（﹣）2＝ 5 ；＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出即可．
解：（﹣）2＝5；＝2．
故答案為：5，2．
12．如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上點，測得BC＝60m，AC＝20m，則A，B兩點間的距離 40 m．
【分析】在直角三角形中已知直角邊和斜邊的長，利用勾股定理求得另外一條直角邊的長即可．
解：AB＝＝＝m，
故答案為：40．
13．如果是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是 3 ．
【分析】因為是整數(shù)，且＝＝2，則3n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為3．
解：∵＝＝2，且是整數(shù)；
∴2是整數(shù)，即3n是完全平方數(shù)；
∴n的最小正整數(shù)值為3．
故答案是：3．
14．如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．則CE的長是 4 ．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可得AD＝BC＝EB＝5，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根據(jù)勾股定理可求CE的長．
解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故答案為：4．
15．在?ABCD中，AB＝，AD＝，點A到邊BC，CD的距離分別為AE＝，AF＝1，則∠EAF的度數(shù)為 45°或135° ．
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理可得DF＝AF，AE＝BE，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠DAF＝45°，∠EAB＝45°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，進而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度數(shù)，進而可得答案，同理可得出∠EAF另一個度數(shù)．
解：如圖1所示：
∵AF⊥DC，AE⊥CB，
∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°，
∵AD＝，AF＝1，
∴DF＝1，
∴∠D＝∠DAF＝45°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴∠DAB＝135°，
∵AB＝，AE＝，∴EB＝，
∴∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝135°﹣45°﹣45°＝45°，
如圖2，過點A作AE⊥CB延長線于點E，過點A作AF⊥CD延長線于點F，
同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°，
則∠EAF＝135°，
故答案為：45°或135°．
16．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移，得到△EFG，連接EC，ED，F(xiàn)C，則EC+FC的最小值為 2 ．
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝2，∠ABD＝30°，根據(jù)平移的性質(zhì)得到EG＝AB＝2，EG∥AB，推出四邊形EFCD是平行四邊形，得到ED＝FC，于是得到EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點E在過點A且平行于BD的定直線上，作點D關(guān)于定直線的對稱點M，連接CM交定直線于AE，解直角三角形即可得到結(jié)論．
解：在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝2，∠ABD＝30°，
∵將△ABD沿射線BD的方向平移得到△EGF，
∴EF＝AB＝2，EF∥AB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EF＝CD，EF∥CD，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴ED＝FC，
∴EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵點E在過點A且平行于BD的定直線AE上，
∴作點D關(guān)于定直線AE的對稱點M，連接CM交BG于O，
∴CM的長度即為EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝2，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝1，
∴DM＝2，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDO+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×CD＝2．
故答案為：2．
三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形.
17．計算：
（1）﹣4+；
（2）（﹣）÷．
【分析】（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；
（2）根據(jù)二次根式的除法法則運算．
解：（1）原式＝2﹣2+
＝；
（2）原式＝﹣
＝4﹣2．
18．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且BE∥AC，AE∥BD，連接EO．
（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說明理由；
（2）若CD＝6，求OE的長．
【分析】（1）先證明四邊形AEBO為平行四邊形，由菱形的性質(zhì)可證明∠BOA＝90°，從而可證明四邊形AEBO是矩形；
（2）依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到EO＝AB，然后依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到AB＝CD，得OE＝CD＝6即可．
解：（1）四邊形AEBO是矩形．
理由：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AEBO是平行四邊形，
又∵菱形ABCD對角線交于點O，
∴AC⊥BD，
即∠AOB＝90°，
∴四邊形AEBO是矩形；
（2）∵四邊形AEBO是矩形，
∴EO＝AB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CD．
∴EO＝CD＝6．
19．已知直角三角形的兩直角邊長分別為（2+）和（2﹣）．
求這個直角三角形的斜邊長．
【分析】根據(jù)勾股定理列式計算即可得解．
解：∵直角三角形的兩直角邊長分別為（2+）和（2﹣），
∴斜邊長＝＝．
20．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：
（1）五邊形ABCDE的周長為 20+ ．
（2）在AB上找點F，使E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；
（3）設(shè)DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；
（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出五邊形ABCDE各邊的長，相加即可；
（2）連接EC，作DF⊥EC交AB于點F即可．
（3）分成兩個三角形求面積即可．
（4）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．
解：（1）由題意，AB＝BC＝CD＝＝5，AE＝＝，DE＝5，
∴五邊形ABCDE的周長＝20+，
故答案為：20+．
（2）如圖，點F即為所求作．
（3）四邊形AEDG的面積＝××+×5×2＝10．
（4）如圖，點H即為所求作．
21．如圖，小明家A和地鐵口B兩地恰好處在東西方向上，且相距3km，學校C在他家正北方向的4km處，公園D與地鐵口和學校的距離分別5km和5km．
（1）求地鐵口、公園和學校三地組成的∠BDC的大??；
（2）計算公園與小明家的距離．
【分析】（1）由勾股定理求出BC＝5（km）＝BD，再由勾股定理的逆定理證△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，則∠BDC＝45°；
（2）過D作DE⊥AB，交AB的延長線于E，證△BDE≌△CBA（AAS），得DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，再由勾股定理求解即可．
解：（1）由題意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，
∴BC＝＝＝5（km），
∴BC＝BD，
∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，
∴BC2+BD2＝CD2，
∴△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝45°；
（2）過D作DE⊥AB，交AB的延長線于E，如圖所示：
則∠DEB＝90°，
∴∠BDE+∠DBE＝90°，
由（1）得：∠CBD＝90°，
∴∠DBE+∠CBA＝90°，
∴∠BDE＝∠CBA，
在△BDE和△CBA中，
，
∴△BDE≌△CBA（AAS），
∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，
∴AE＝BE+AB＝7（km），
∴AD＝＝＝（km）．
22．（1）如圖1，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．
①若AC＝BD，則m2＝ a2+b2 ；（用含a，b的式子表示）
若AC⊥BD，則m2＝ 4a2﹣n2 ；（用含a，n的式子表示）
②試探索a，b，m，n這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，在△EFG中，GH是中線，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，則FH的長為．
【分析】（1）①若AC＝BD，則ABCD是矩形，由勾股定理即可；若AC⊥BD，則ABCD是菱形，由勾股定理即可；②作CN⊥AD于N，BM垂直DA延長線于M，先證△ABM≌△DCN，再利用勾股定理得到a，b，m，n這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）利用（1）的結(jié)論即可．
解：（1）①∵AC，BD是?ABCD的對角線，
若AC＝BD，則ABCD是矩形，
∴m2＝a2+b2；
若AC⊥BD，則ABCD是菱形，
∴＝a2，
即m2＝4a2﹣n2；
故答案為：a2+b2，m2＝4a2﹣n2；
②如圖1，作CN⊥AD于N，BM垂直DA延長線于M，
∵BM＝CN，AB＝CD，
∴△ABM≌△DCN，
∴AM＝DN，
在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2，
即n2＝MB2+（MA+AD）2
＝MB2+MA2+AD2+2MA?AD
＝a2+b2+2MA?AD，
在Rt△N中，AC2＝AN2+CN2，
即m2＝（AD﹣DN）2+CN2
＝AD2+DN2+CN2﹣2AD?DN
＝a2+b2﹣2AD?DN，
∴m2+n2＝2（a2+b2）+2MA?AD﹣2DA?AD，
∵MA＝DN，
∴m2+n2＝2（a2+b2）；
（2）如圖2，將三角形補全成平行四邊形，利用上面討論有：
（2FH）2+（2GH）2＝2（FG2+EG2），
∴FH＝．
23．如圖，P是菱形ABCD的邊BC上一個動點，∠ABC＝60°，線段PC的垂直平分線與對角線BD交于點E，連接PE，CE，AP．
（1）如圖（1），∠BAP＝16°，直接寫出∠APE的大小；
（2）如圖（2），試探索線段AB，BP，BE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）如圖（3），若AB＝1，過點E作EF⊥AP于點F，點P從點B往點C運動至EF最小時停止，直接寫出點P的運動路徑長．
【分析】（1）連接AE，根據(jù)外角定義得出∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，設(shè)∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y(tǒng)，根據(jù)角的關(guān)系列出方程組解方程組即可；
（2）作EF⊥PC于F，得出BF＝＝BE，F(xiàn)C＝PF＝BE﹣BP，即可得出AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP；
（3）由題意判斷當AP⊥BC時，EF最短，求出此時BP的長度即可．
解：（1）連接AE，
∵∠BAP＝16°，∠ABC＝60°，
∴∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，
∵四邊形ABCD是菱形，線段PC的垂直平分線與對角線BD交于點E，
∴AE＝CE，PE＝CE，
∴AE＝PE，
∴∠EAP＝∠APE，∠PCE＝∠EPC，
∴∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，
設(shè)∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y(tǒng)，
∴，
解得，
∴∠APE＝30°；
（2）AB＝BE﹣BP，理由如下：
作EF⊥PC于F，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，BD是對角線，
∴∠EBF＝30°，
∴EF＝BE，
∴BF＝＝BE，
∵EF是PC的垂直平分線，
∴FC＝PF＝BE﹣BP，
∴AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP，
即AB＝BE﹣BP；
（3）由題知，當AP⊥BC時，EF最短，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BP＝AB＝，
即點P的運動路徑長為．
24．如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A（0，a），點B（b，0），且a，b滿足：b+4＝+，點C與點B關(guān)于y軸對稱，點P，點E分別是x軸，直線AB上的兩個動點．
（1）則點C的坐標為（4，0）；
（2）連接PA，PE．
①如圖1，當點P在線段BO（不包括B，O兩個端點）上運動，若△APE為直角三角形，F(xiàn)為斜邊PA的中點，連接EF，OF，試判斷EF與OF的關(guān)系，并說明理由；
②如圖2，當點P在線段OC（不包括O，C兩個端點）上運動，若△APE為等腰三角形，M為底邊AE的中點，連接MO，試探索PA與OM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，連PA，CE，設(shè)它們所在的直線交于點G，設(shè)CE交y軸于點F，連接BG，若OP＝OF，則BG的最小值為 2﹣2 ．
【分析】（1）利用二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)求出a，b的值，可得結(jié)論．
（2）①結(jié)論：EF＝OF．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明即可．
②結(jié)論：PA＝OM．如圖2中，過點P作PH⊥AC于H，連接MH，OH，PM．想辦法證明PA＝MH，MH＝OM，可得結(jié)論．
（3）取AC的中點T，連接BT，TG．求出BT，TG，可得結(jié)論．
解：（1）∵b+4＝+，
又∵，
∴a＝4，b＝﹣4，
∴A（0，4），B（﹣4，0），
∵B，C關(guān)于y軸對稱，
∴C（4，0）．
故答案為：（4，0）．
（2）①如圖1中，結(jié)論：EF＝OF．
理由：∵∠AEP＝∠AOP＝90°，AF＝FP，
∴EF＝PA，OF＝PA，
∴EF＝OF．
②結(jié)論：PA＝OM．
理由：如圖2中，過點P作PH⊥AC于H，連接MH，OH，PM．
∵PA＝PE，AM＝ME，
∴PM⊥AE，
∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝90°
∴∠OAB＝∠AOC＝∠ACO＝45°，
∴∠AMP＝∠MAH＝∠PHA＝90°，
∴四邊形AMPH是矩形，
∴AM＝PH，PA＝MH，
∵∠PHC＝90°，∠PCH＝45°，
∴∠HPC＝∠PCH＝45°，
∴PH＝CH＝AM，
在△AOM和△COH中，
，
∴△AOM≌△COH（SAS），
∴OM＝OH，∠AOM＝∠COH，
∴∠MOH＝∠AOC＝90°，
∴MH＝OM，
∴PA＝OM．
（3）如圖3中，取AC的中點T，連接BT，TG．
在△AOP和△COF中，
，
∴△AOP≌△COF（SAS），
∴∠OAP＝∠PCG，
∵∠APO＝∠CPG，
∴∠AOP＝∠PGC＝90°，
∵AT＝TC．
∴TG＝AC＝×4＝2，
∵A（0，4），C（4，0），AT＝CT，
∴T（2，2），
∵B（﹣4，0），
∴BT＝＝2，
∴BG≥BT﹣TG，
∴BG≥2﹣2，
∴BG的最小值為2﹣2．
故答案為：2﹣2．

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