題型一 電場中功能關(guān)系的綜合問題
電場中常見的功能關(guān)系
(1)若只有電場力做功，電勢能與動能之和保持不變．
(2)若只有電場力和重力做功，電勢能、重力勢能、動能之和保持不變．
(3)除重力之外，其他各力對物體做的功等于物體機(jī)械能的變化．
(4)所有外力對物體所做的總功等于物體動能的變化．
例1 (多選)(2019·廣東中山一中檢測)圖1中虛線1、2、3、4表示勻強(qiáng)電場的等勢面．一帶正電的粒子只在電場力的作用下從a點運動到b點，軌跡如圖中實線所示．下列說法中正確的是( )
圖1
A．等勢面1電勢最低
B．粒子從a運動到b，動能減小
C．粒子從a運動到b，電勢能減小
D．粒子從a運動到b的過程中電勢能與動能之和不變
答案 CD
解析 電場線與等勢面垂直，正電荷所受電場力的方向與場強(qiáng)方向相同，曲線運動所受合力指向曲線的凹側(cè)；帶正電的粒子只在電場力的作用下，從a點運動到b點，軌跡如圖中實線所示，可畫出速度和電場線及受力方向如圖所示，則電場力的方向向右，電場線的方向向右，順著電場線電勢降低，等勢面1電勢最高，故選項A錯誤；粒子從a運動到b，只受電場力作用，電場力的方向與運動方向成銳角，電場力做正功，粒子的動能增大，電勢能減小，故選項B錯誤，C正確；粒子從a運動到b的過程中，只受電場力作用，粒子的電勢能與動能之和不變，故選項D正確．
例2 (多選)(2020·江西上饒市高三上學(xué)期第一次模擬)A、B兩物體質(zhì)量均為m，其中A帶正電，電荷量為＋q，B不帶電，通過勁度系數(shù)為k的絕緣豎直輕質(zhì)彈簧相連放在水平面上，如圖2所示，開始時A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)在施加豎直向上的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E＝eq \f(2mg,q)，式中g(shù)為重力加速度，若不計空氣阻力，不考慮A物體電荷量的變化，則以下判斷正確的是( )
圖2
A．剛施加電場的瞬間，A的加速度大小為2g
B．從施加電場開始到B剛要離開地面的過程中，A物體速度大小一直增大
C．從施加電場開始到B剛要離開地面的過程中，A物體的機(jī)械能增加量始終等于A物體電勢能的減少量
D．B剛要離開地面時，A的速度大小為2geq \r(\f(m,k))
答案 ABD
解析 在未施加電場時，A物體處于平衡狀態(tài)，當(dāng)施加電場的瞬間，A物體受到的合力為A所受的電場力，故qE＝ma，解得a＝2g，方向向上，故A正確；B剛要離開地面時，地面對B彈力為0，即F彈＝mg，對A物體Eq＝mg＋F彈，即A物體所受合力為0，因此從施加電場開始到B剛要離開地面過程，A物體做加速度逐漸變小的加速運動，即A物體速度大小一直增大，故B正確；從施加電場開始到彈簧恢復(fù)原長的過程，A物體的機(jī)械能增加量等于電勢能的減少量與彈性勢能的減少量之和，從彈簧恢復(fù)原長到B剛要離開地面的過程，A物體的機(jī)械能增加量等于電勢能的減少量與彈性勢能的增加量之差，故C錯誤；當(dāng)B剛要離開地面時，此時B受到彈簧的彈力等于B的重力，從施加電場到B離開地面，彈簧的彈力做功為零，A上升的距離為x＝eq \f(2mg,k)，根據(jù)動能定理可知qEx－mgx＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝2geq \r(\f(m,k))，故D正確．
1．(電場力和重力做功)如圖3所示，豎直固定的光滑絕緣細(xì)桿上O點套有一個電荷量為－q(q>0)的小環(huán)，在桿的左側(cè)固定一個電荷量為Q(Q>0)的點電荷，桿上a、b兩點與Q正好構(gòu)成等邊三角形，c是ab的中點．將小環(huán)從O點無初速度釋放，通過a點的速率為v.若已知ab＝Oa＝l，靜電力常量為k，重力加速度為g.則( )
圖3
A．在a點，小環(huán)所受彈力大小為eq \f(kQq,l2)
B．在c點，小環(huán)的動能最大
C．在c點，小環(huán)的電勢能最大
D．在b點，小環(huán)的速率為eq \r(v2＋2gl)
答案 D
解析 在a點，小環(huán)所受的電場力沿aQ方向，大小為F＝keq \f(Qq,l2)，水平方向小環(huán)受力平衡，所以小環(huán)受到向右的彈力大小為FN＝Fsin 60°＝eq \r(3)eq \f(kQq,2l2)，A錯誤；在c點時，小環(huán)水平方向受到電場力和桿的彈力作用，豎直方向受到重力作用，合力豎直向下，小環(huán)有豎直向下的加速度，所以
在c點時小環(huán)的動能不是最大，B錯誤；c點距離Q最近，電勢最高，帶負(fù)電的小環(huán)在c點的電勢能最小，C錯誤；因為a、b兩點到Q的距離相等，所以a、b兩點電勢相等，小環(huán)從a點到b點，電場力做功為0，根據(jù)動能定理得mgl＝eq \f(1,2)mvb2－eq \f(1,2)mv2，解得vb＝eq \r(v2＋2gl)，D正確．
2.(電場力做功的綜合問題)在一個水平面上建立x軸，在過原點O垂直于x軸的平面的右側(cè)空間有一個勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小E＝6.0×105 N/C，方向與x軸正方向相同．在O點處放一個帶電荷量q＝－5.0×10－8 C，質(zhì)量m＝1.0×10－2 kg的絕緣物塊．物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.20，沿x軸正方向給物塊一個初速度v0＝2.0 m/s，如圖4所示．(g取10 m/s2)求：
圖4
(1)物塊向右運動的最大距離；
(2)物塊最終停止的位置．
答案 (1)0.4 m (2)O點左側(cè)0.2 m處
解析 (1)設(shè)物塊向右運動的最大距離為xm，
由動能定理得－μmgxm－E|q|xm＝0－eq \f(1,2)mv02
解得xm＝0.4 m.
(2)因E|q|>μmg，物塊不可能停止在O點右側(cè)，設(shè)物塊最終停在O點左側(cè)且離O點為x處．
由動能定理得E|q|xm－μmg(xm＋x)＝0，
解得x＝0.2 m.
題型二 電場中的圖像問題
電場中的v－t圖像
根據(jù)v－t圖像的速度變化、斜率變化(即加速度大小的變化)，可確定電荷所受電場力的方向與電場力的大小變化情況，進(jìn)而確定電場的方向、電勢的高低及電勢能的變化．
例3 (多選)(2019·安徽黃山市模擬)光滑絕緣水平面上固定兩個等量點電荷，它們連線的中垂線上有A、B、C三點，如圖5甲所示．一質(zhì)量m＝1 kg的帶正電小物塊由A點靜止釋放，并以此時為計時起點，沿光滑水平面經(jīng)過B、C兩點，其運動過程的v－t圖像如圖乙所示，其中圖線在B點位置時斜率最大，根據(jù)圖線可以確定( )
圖5
A．中垂線上B點電場強(qiáng)度最大
B．兩點電荷是負(fù)電荷
C．B點是A、C連線的中點
D．UBC>UAB
答案 AD
解析 根據(jù)v－t圖像的斜率表示加速度，知小物塊在B點的加速度最大，所受的電場力最大，所以中垂線上B點電場強(qiáng)度最大，故選項A正確；小物塊從B到C動能增大，電場力做正功，且小物塊帶正電，可知兩點電荷是正電荷，故選項B錯誤；中垂線上電場線分布不均勻，不能確定B點是A、C連線的中點，故選項C錯誤；小物塊從A→B的過程中，根據(jù)動能定理有qUAB＝eq \f(1,2)mv B2－eq \f(1,2)mvA2＝eq \f(1,2)×1×42 J－0＝8 J，小物塊從B→C的過程中，根據(jù)動能定理有qUBC＝eq \f(1,2)mvC2－eq \f(1,2)mvB2＝eq \f(1,2)×1×72 J－eq \f(1,2)×1×42 J＝16.5 J，對比可得UBC>UAB，故選項D正確．
φ－x圖像
1．電場強(qiáng)度的大小等于φ－x圖線的切線斜率的絕對值，如果圖線是曲線，電場為非勻強(qiáng)電場；如果圖線是傾斜的直線，電場為勻強(qiáng)電場．電場強(qiáng)度為零處φ－x圖線存在極值，其切線的斜率為零．(如圖6)
圖6
2．在φ－x圖像中可以直接判斷各點電勢的大小，并可根據(jù)電勢大小關(guān)系確定電場強(qiáng)度的方向，進(jìn)而可以判斷電荷在電場中的受力方向．(如圖7)
圖7
3．電場中常見的φ－x圖像
(1)點電荷的φ－x圖像(取無限遠(yuǎn)處電勢為零)，如圖8.
圖8
(2)兩個等量異種點電荷連線上的φ－x圖像，如圖9.
圖9
(3)兩個等量同種點電荷的φ－x圖像，如圖10.
圖10
例4 (多選)(2019·山東聊城市二模)兩電荷量分別為q1和q2的點電荷固定在x軸上的A、B兩點，兩點電荷連線上各點電勢φ隨坐標(biāo)x變化的關(guān)系圖像如圖11所示，其中P點電勢最高，且xAPEb，由a＝eq \f(qE,m)知選項C正確；因不確定虛線是電場線還是等差等勢線，所以質(zhì)子在a、b兩點的電勢能大小無法比較，由Ep＝qφ知，a、b兩點的電勢無法比較，選項D錯誤．
2.(2020·山西師大附中模擬)如圖2所示為一勻強(qiáng)電場，某帶電粒子從A點運動到B點，在這一運動過程中克服重力做的功為2.0 J，電場力做的功為1.5 J．下列說法中正確的是( )
圖2
A．粒子帶負(fù)電
B．粒子在A點的電勢能比在B點少1.5 J
C．粒子在A點的動能比在B點少0.5 J
D．粒子在A點的機(jī)械能比在B點少1.5 J
答案 D
解析 由粒子運動的軌跡可知粒子帶正電，A錯誤；粒子從A到B的過程中電場力做正功，所以電勢能減小，B錯誤；根據(jù)動能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A點的動能比在B點多0.5 J，C錯誤；電場力做正功，機(jī)械能增加，所以粒子在A點的機(jī)械能比在B點少1.5 J，D正確．
3.(2019·廣東深圳市第二次調(diào)研)真空中，在x軸上x＝0和x＝8 m處分別固定兩個電性相同的點電荷Q1和Q2.電荷間連線上的電場強(qiáng)度E隨x變化的圖像如圖3所示(＋x方向為場強(qiáng)正方向)，其中x＝6 m處E＝0.將一個正試探電荷在x＝2 m處由靜止釋放(重力不計，取無限遠(yuǎn)處電勢為零)，則( )
圖3
A．Q1、Q2均為負(fù)電荷
B．Q1、Q2帶電荷量之比為9∶1
C．在x＝6 m處電勢為0
D．該試探電荷向x軸正方向運動時，電勢能一直減小
答案 B
解析 由題圖知，在x＝0處場強(qiáng)為正，x＝8 m處場強(qiáng)為負(fù)，可知Q1、Q2均為正電荷，故A錯誤；根據(jù)題意“x＝6 m處E＝0”可知在x＝6 m處，E1＝E2，即keq \f(Q1,62)＝keq \f(Q2,22)，解得eq \f(Q1,Q2)＝eq \f(62,22)＝eq \f(9,1)，故B正確；由于無限遠(yuǎn)處電勢為零，故在x＝6 m處電勢不為0，故C錯誤；該試探電荷向x軸正方向運動時，電場力先做正功后做負(fù)功，因此電勢能先減小后增大，故D錯誤．
4．某空間存在一靜電場，其沿x軸方向的電勢φ隨x變化的情況如圖4所示，圖形關(guān)于過x3垂直x軸的直線對稱，圖中Ox1＝x1x2＝x2x3＝x3x4.下列說法中正確的是( )
圖4
A．0～x1區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度一定為零
B．正電荷沿x軸從x1移到x2的過程中，電勢能逐漸增大
C．沿x軸方向上，x3處的電場強(qiáng)度最大
D．沿x軸方向上，正電荷從x2移到x4電場力做功不為零
答案 B
解析 在φ－x圖像中，圖線的斜率表示電場強(qiáng)度，x3處的電場強(qiáng)度為零，不是最大，C錯誤；在0～x1區(qū)域內(nèi)，可能存在垂直于x軸方向上的電場，A錯誤；由電勢能Ep＝qφ及題圖知B正確；由電場力做功W＝qU知沿x軸方向，正電荷從x2移到x4電場力做功為零，D錯誤．
5．(多選)(2020·河南開封市高三一模)如圖5，豎直平面內(nèi)有a、b、c三個點，b點在a點正下方，b、c連線水平．第一次，將一質(zhì)量為m的小球從a點以初動能Ek0水平拋出，經(jīng)過c點時，小球的動能為5Ek0；第二次，使此小球帶正電，電荷量為q，同時加一方向平行于abc所在平面、場強(qiáng)大小為eq \f(2mg,q)的勻強(qiáng)電場，仍從a點以初動能Ek0沿某一方向拋出小球，小球經(jīng)過c點時的動能為13Ek0.下列說法正確的是(不計空氣阻力，重力加速度大小為g)( )
圖5
A．a(chǎn)、b兩點間的距離為eq \f(5Ek0,mg)
B．a(chǎn)、b兩點間的距離為eq \f(4Ek0,mg)
C．a(chǎn)、c間的電勢差為eq \f(8Ek0,q)
D．a(chǎn)、c間的電勢差為eq \f(12Ek0,q)
答案 BC
解析 不加電場時根據(jù)動能定理得mghab＝5Ek0－Ek0＝4Ek0，解得hab＝eq \f(4Ek0,mg)，故A錯誤，B正確；加電場時，根據(jù)動能定理得mghab＋Uacq＝13Ek0－Ek0，解得Uac＝eq \f(8Ek0,q)，故C正確，D錯誤．
6.(2019·廣東惠州市模擬)如圖6所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場中有一個絕緣斜面，斜面上有一帶電金屬塊沿斜面滑下，已知在金屬塊滑下的過程中動能增加了12 J，金屬塊克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J．下列說法中正確的是( )
圖6
A．金屬塊帶負(fù)電荷
B．金屬塊克服電場力做功8 J
C．金屬塊的電勢能減少4 J
D．金屬塊的機(jī)械能減少12 J
答案 D
解析 金屬塊滑下的過程中動能增加了12 J，由動能定理知合外力做功12 J，即WG＋Wf＋WF＝ΔEk，摩擦力做功Wf＝－8 J，重力做功WG＝24 J，解得電場力做功WF＝－4 J，電場力做負(fù)功，金屬塊帶正電荷，電勢能增加了4 J，A、B、C錯誤；由功能關(guān)系可知機(jī)械能的變化ΔE＝Wf＋WF＝－12 J，即機(jī)械能減少了12 J，D正確．
7．(2019·山西運城市5月適應(yīng)性測試)一帶負(fù)電的微粒只在電場力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能隨位移x變化的關(guān)系如圖7所示，其中0～x1段是曲線，x1～x2段是平行于x軸的直線，x2～x3段是傾斜直線，則下列說法正確的是( )
圖7
A．0～x1段電勢逐漸升高
B．0～x1段微粒的加速度逐漸減小
C．x2～x3段電場強(qiáng)度減小
D．x2處的電勢比x3處的電勢高
答案 B
解析 電勢能Ep＝φq，由于微粒帶負(fù)電，0～x1段電勢能變大，所以電勢降低，A錯誤；根據(jù)電場力做功與電勢能關(guān)系：|ΔEp|＝E|q|Δx，Ep－x圖像切線斜率的大小反映場強(qiáng)大小，0～x1段圖像切線斜率變小，場強(qiáng)變小，受力減小，加速度逐漸變小，B正確；x2～x3段斜率不變，場強(qiáng)不變，C錯誤；x2到x3，電勢能減小，微粒帶負(fù)電，所以電勢增大，D錯誤．
8.真空中固定一電荷量為Q的負(fù)點電荷，一電荷量為q、質(zhì)量為m的試探電荷僅在電場力作用下由靜止開始運動，先后經(jīng)過A、B、C三點，其a－eq \f(1,r2)圖像如圖8所示，圖中a為試探電荷的加速度，r代表試探電荷與負(fù)點電荷間的距離，已知aC＝3aA＝1.5aB，則下列說法正確的是( )
圖8
A．試探電荷帶負(fù)電
B．A、B、C三點的電勢關(guān)系：φAφC，B錯誤；根據(jù)F＝eq \f(kQq,r2)＝ma，并進(jìn)行定性分析(F＝qE)，由aC＝3aA＝1.5aB，可知A、B、C三點電場強(qiáng)度關(guān)系：EC＝3EA＝1.5EB，題圖斜率k′＝eq \f(kQq,m)，故C正確，D錯誤．
9.(多選)(2019·山西孝義市摸底)a、b、c是靜電場中一直線上的三個點，從a點釋放一個初速度為零的電子，電子僅在電場力的作用下，由a點經(jīng)b點運動到c點，其電勢能隨該電子位置的變化關(guān)系如圖9所示，則( )
圖9
A．該電場可能是孤立的點電荷產(chǎn)生的
B．電子在a點加速度的值大于在b點加速度的值
C．電場中a點的電勢大于b點的電勢
D．電子從a點到c點的過程中動能先增大后減小
答案 BD
解析 若該電場為孤立點電荷產(chǎn)生的，則電子的電勢能應(yīng)當(dāng)單調(diào)變化，選項A錯誤；根據(jù)功能關(guān)系ΔEp＝－FΔx，知Ep－x圖像切線斜率大小表示電場力大小，圖線在a點的切線斜率的絕對值大于b點，故電子在a點受到的電場力和加速度也大于b點，選項B正確；由題圖可知，Epa>Epc>Epb，電子帶負(fù)電，根據(jù)電勢與電勢能關(guān)系及能量守恒定律，則有φa

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