1．若關于x的方程是ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，則（ ）
A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)≥0C．a(chǎn)＝1D．a(chǎn)≠0
2．將一元二次方程5x2﹣1＝4x化為一般形式，其中一次項系數(shù)是（ ）
A．5B．﹣4C．3D．﹣1
3．拋物線y＝（x+3）2﹣4的頂點坐標是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，4）
4．已知x＝2是關于x的方程的一個解，則2a﹣1的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．下列方程有實數(shù)根的是（ ）
A．3x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣3＝0
C．x2﹣2x+2＝0D．
6．將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
7．關于二次函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2的圖象，下列說法錯誤的是（ ）
A．開口向下
B．對稱軸是直線x＝3
C．與x軸沒有交點
D．當x＞﹣3時，y隨x的增大而減少
8．關于x的方程nx2﹣（2n﹣1）x+n＝0有兩個實數(shù)根，則n的取值范圍是（ ）
A．B．且n≠0
C．D．且n≠0
9．下表是某公司2022年1月份至5月份的收入統(tǒng)計表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份與3月份的增長率相同，設它們的增長率為x，根據(jù)表中的信息，可列方程為（ ）
A．10（1+x）2＝12﹣10B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12D．10（1+x）3＝14
10．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，且經(jīng)過點（2，0），對稱軸是直線，給出下列說法：①abc＜0；②x＝﹣1是關于x的方程ax2+bx+c＝0的一個根；③若點）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1＞y2．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空題
11．一元二次方程2x2＝3x的根是 ．
12．若方程（m+2）+（m﹣1）x﹣2＝0是關于x的一元二次方程，則m＝ ．
13．二次函數(shù)y＝3x2﹣2x+5中，二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 ．
14．已知方程x2﹣6x+q＝0可以配方成（x﹣p）2＝7的形式，那么p﹣q＝ ．
15．已知一元二次方程x2+6x﹣5＝0的兩根為m，n，則m﹣mn+n＝ ．
16．如圖，將邊長為15的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分的面積為56時，它移動的距離AA′等于 ．
17．已知關于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣5）2+1，當2＜x＜6時，y的取值范圍為 ．
18．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表：
則當y＜5時，x的取值范圍是 ．
三、解答題
19．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
20．一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能達到平均每天盈利1800元嗎？請說明你的理由．
21．關于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0．
（1）當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，求m的取值范圍；
（2）若方程兩實根x1，x2滿足，求m的值．
22．已知：在正方形ABCD中，點E是BC延長線上一點，且CE≠BC，連接DE，過點D作DE的垂線交直線AB于點F，連接EF，取EF的中點G，連接CG．
（1）當CE＜BC時，
①補全圖1；
②求證：△ADF≌△CDE；
③用等式表示線段CD，CE，CG之間的數(shù)量關系，并證明．
（2）如圖2，當CE＞BC時，請你直接寫出線段CD，CE，CG之間的數(shù)量關系．
2024-2025學年北京市101中學九年級（上）開學數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單選題
1．若關于x的方程是ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，則（ ）
A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)≥0C．a(chǎn)＝1D．a(chǎn)≠0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
【解答】解：由x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，得a≠0．
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
2．將一元二次方程5x2﹣1＝4x化為一般形式，其中一次項系數(shù)是（ ）
A．5B．﹣4C．3D．﹣1
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化為一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次項系數(shù)分別為﹣4．
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，解答本題要通過移項，轉化為一般形式，注意移項時符號的變化．
3．拋物線y＝（x+3）2﹣4的頂點坐標是（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，4）
【分析】由二次函數(shù)的頂點式可得二次函數(shù)圖象的頂點坐標．
【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣4，
∴拋物線頂點坐標為（﹣3，﹣4），
故選：A．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
4．已知x＝2是關于x的方程的一個解，則2a﹣1的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】把x＝2代入已知方程可以求得2a＝6，然后將其整體代入所求的代數(shù)式進行解答．
【解答】解：∵x＝2是關于x的方程的一個解，
∴×22﹣2a＝0，即6﹣2a＝0，
則2a＝6，
∴2a﹣1＝6﹣1＝5．
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．
5．下列方程有實數(shù)根的是（ ）
A．3x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣3＝0
C．x2﹣2x+2＝0D．
【分析】計算出每個方程根的判別式的值與0的大小關系，從而判斷根的情況．
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×3×1＝﹣8＜0，方程無實數(shù)根，不符合題意；
B、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程無實數(shù)根，不符合題意；
D、，方程無實數(shù)根，不符合題意，
故選：B．
【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解答本題要掌握一元二次方程根的情況與判別式Δ＝b2﹣4ac的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．根據(jù)判別式公式代入數(shù)據(jù)計算逐一判斷即可．
6．將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2
C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減進行解答即可．
【解答】解：將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達式是y＝（x+1）2+2．
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，知道拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關鍵．
7．關于二次函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2的圖象，下列說法錯誤的是（ ）
A．開口向下
B．對稱軸是直線x＝3
C．與x軸沒有交點
D．當x＞﹣3時，y隨x的增大而減少
【分析】由拋物線解析式可求得其開口方向、頂點坐標、最值及增減性，則可判斷四個選項，可求得答案．
【解答】解：∵y＝﹣（x+3）2﹣2，
∴a＝﹣1＜0，
∴拋物線開口向下，
故A正確，不符合題意；
∵對稱軸是直線x＝﹣3，
故B錯誤，符合題意；
∵拋物線頂點坐標為：（﹣3，﹣2），在第三象限，且拋物線開口向下，
∴拋物線與x軸沒有交點，
故C正確，不符合題意；
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣3，
∴當x＞﹣3時，y隨x的增大而減小，
故D正確，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查拋物線的圖象性質，拋物線圖象與系數(shù)關系，拋物線與x軸交點問題，熟練掌握圖象與系數(shù)關系、拋物線的圖象和性質是解題的關鍵．
8．關于x的方程nx2﹣（2n﹣1）x+n＝0有兩個實數(shù)根，則n的取值范圍是（ ）
A．B．且n≠0
C．D．且n≠0
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．
【解答】解：當n＝0時，原方程為x＝0，此時不滿足方程有兩個實數(shù)根；
當n≠0時，原方程為一元二次方程，則Δ＝[﹣（2n﹣1）]2﹣4n2≥0，
∴4n2﹣4n+1﹣4n2≥0，
∴；
綜上所述，且n≠0，
故選：B．
【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，則方程沒有實數(shù)根是解題的關鍵．
9．下表是某公司2022年1月份至5月份的收入統(tǒng)計表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份與3月份的增長率相同，設它們的增長率為x，根據(jù)表中的信息，可列方程為（ ）
A．10（1+x）2＝12﹣10B．10（1+x）2＝12
C．10（1+x）（1+2x）＝12D．10（1+x）3＝14
【分析】利用3月份的收入＝1月份的收入×（1+月收入的增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：依題意得：10（1+x）2＝12．
故選：B．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及統(tǒng)計表，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
10．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，且經(jīng)過點（2，0），對稱軸是直線，給出下列說法：①abc＜0；②x＝﹣1是關于x的方程ax2+bx+c＝0的一個根；③若點）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1＞y2．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】①根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點位置求得a、b、c的符號即可判斷；
②根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可判斷；
③求得點關于直線的對稱點的坐標，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可判斷．
【解答】解：①∵二次函數(shù)的圖象開口向下，
∴a＜0，
∵二次函數(shù)的圖象交y軸的正半軸于一點，
∴c＞0，
∵對稱軸是直線，
∴，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，故①正確；
②∵對稱軸為直線，且經(jīng)過點（2，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣1，0），
∴x＝﹣1是關于x的方程ax2+bx+c＝0的一個根，故②正確；
③∵點關于直線的對稱點的坐標是，y1），
又∵當時，y隨x的增大而減小，，
∴y1＞y2，故③正確；
綜上所述，正確的結論是①②③共3個．
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，熟知二次函數(shù)的性質是關鍵．
二、填空題
11．一元二次方程2x2＝3x的根是 x1＝0，或x2＝ ．
【分析】移項得2x2﹣3x＝0，把方程的左邊分解因式得2x2﹣3x＝0，使每個因式等于0，就得到兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵2x2＝3x，
∴2x2﹣3x＝0，
x（2x﹣3）＝0，
2x2﹣3x＝0x＝0或2x﹣3＝0，
∴x1＝0 或x2＝，
故答案為：x1＝0 或x2＝．
【點評】本題主要考查對解一元二次方程﹣因式分解法的理解和掌握，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．
12．若方程（m+2）+（m﹣1）x﹣2＝0是關于x的一元二次方程，則m＝ 2 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求得m的值即可．
【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義，得
m2﹣2＝2且m+2≠0，解得m＝2．
故答案為：2．
【點評】此題主要是注意一元二次方程的條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不得為0．
13．二次函數(shù)y＝3x2﹣2x+5中，二次項系數(shù)是 3 ，一次項系數(shù)是 ﹣2 ，常數(shù)項是 5 ．
【分析】二次函數(shù)：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
【解答】解：由y＝3x2﹣2x+5，得它的二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是﹣2，常數(shù)項是5．
故答案是：3，﹣2，5．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的性質，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．
14．已知方程x2﹣6x+q＝0可以配方成（x﹣p）2＝7的形式，那么p﹣q＝ 1 ．
【分析】根據(jù)配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+q＝0，
∴x2﹣6x+9＝9﹣q，
∴（x﹣3）2＝9﹣q，
∴p＝3，q＝2，
∴原式＝3﹣2
＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法．
15．已知一元二次方程x2+6x﹣5＝0的兩根為m，n，則m﹣mn+n＝ ﹣1 ．
【分析】利用根與系數(shù)的關系求出m+n，mn的值，原式變形后代入計算即可求出值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+6x﹣5＝0的兩根為m，n，
∴m+n＝﹣6，mn＝﹣5，
則原式＝（m+n）﹣mn＝﹣6﹣（﹣5）＝﹣6+5＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．
16．如圖，將邊長為15的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分的面積為56時，它移動的距離AA′等于 7或8 ．
【分析】由平移的性質可知陰影部分為平行四邊形，設AA′＝x，根據(jù)題意陰影部分的面積為x（15﹣x）＝56，解方程即可求解．
【解答】解：設AA′＝x，AC與A′B′相交于點G，
∵△ACD是正方形ABCD剪開得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴△AA′G是等腰直角三角形，
∴A′G＝AA′＝x，
∴A′D＝AD﹣AA′＝15﹣x，
∵兩個三角形重疊部分的面積為56，
∴x（15﹣x）＝56，
解得x1＝7，x2＝8，
即移動的距離AA′為7或8．
故答案為：7或8．
【點評】本題考查正方形和圖形的平移，一元二次方程的應用，熟練掌握平移的性質，正方形的性質，列出方程是解題的關鍵．
17．已知關于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣5）2+1，當2＜x＜6時，y的取值范圍為 ﹣8＜y≤1 ．
【分析】求得拋物線的對稱軸，根據(jù)圖象即可得出當x＝5，函數(shù)有最大值1；當x＝2時函數(shù)有最小值﹣8，進而求得它們的范圍．
【解答】解：∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝5，拋物線頂點坐標為（5，1），
∴在2＜x＜6范圍內(nèi)，當x＝5，函數(shù)有最大值為1；當x＝2時函數(shù)有最小值：y＝﹣9+1＝﹣8，
故答案為：﹣8＜y≤1．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．
18．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表：
則當y＜5時，x的取值范圍是 0＜x＜4 ．
【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用二次函數(shù)的對稱性判斷出x＝4時，y＝5，然后寫出y＜5時，x的取值范圍即可．
【解答】解：由表可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝2，
所以，x＝4時，y＝5，
所以，y＜5時，x的取值范圍為0＜x＜4．
故答案為：0＜x＜4．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，觀察圖表得到y(tǒng)＝5的另一個x的值是解題的關鍵．
三、解答題
19．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
【分析】（1）根據(jù)因式分解法可以解答此方程；
（2）根據(jù)因式分解法可以解答此方程．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝1．
【點評】本題考查解一元二次方程，解答本題的關鍵是明確解一元二次方程的方法．
20．一款服裝每件進價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加 2x 件，每件商品盈利 （40﹣x） 元（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能達到平均每天盈利1800元嗎？請說明你的理由．
【分析】（1）根據(jù)每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件，可得結論；
（2）設每件服裝降價x元，則每件的銷售利潤為（120﹣x﹣80）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，利用商家每天銷售該款服裝獲得的利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結合需要讓利于顧客，即可得出每件服裝應降價20元；
（3）商家不能達到平均每天盈利1800元，設每件服裝降價y元，則每件的銷售利潤為（120﹣y﹣80）元，平均每天的銷售量為（20+2y）件，利用商家每天銷售該款服裝獲得的利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于y的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣1100＜0，即可得出此方程無解，即不可能每天盈利1800元．
【解答】解：（1）設每件衣服降價x元，則每天銷售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案為：2x，（40﹣x）；
（2）設每件服裝降價x元，則每件的銷售利潤為（40﹣x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，
依題意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要擴大銷售量，
∴x＝20．
答：每件服裝降價20元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家不能達到平均每天盈利1800元，理由如下：
設每件服裝降價y元，則每件的銷售利潤為（120﹣y﹣80）元，平均每天的銷售量為（20+2y）件，
依題意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800，
整理得：y2﹣30y+500＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程無解，
即不可能每天盈利1800元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當Δ＜0時，方程無實數(shù)根”．
21．關于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0．
（1）當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，求m的取值范圍；
（2）若方程兩實根x1，x2滿足，求m的值．
【分析】（1）當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，Δ＞0，列式計算出m的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系求出兩根的和與兩根的積，代入，再根據(jù)Δ的取值確定m的值．
【解答】解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（2m﹣3）2﹣4×1×（m2+1）＞0，
∴，
則當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）∵x2+（2m﹣3）x+m2+1＝0
∴x1+x2＝﹣2m+3，，
∵，
∴，
∴m2+4 m﹣5＝0，
∴m1＝1，m2＝﹣5，
∵方程兩實根，
∴Δ＝（2m﹣3）2﹣4×1×（m2+1）≥0，
∴，
∴m＝﹣5．
【點評】本題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關系，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．以及根與系數(shù)的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
22．已知：在正方形ABCD中，點E是BC延長線上一點，且CE≠BC，連接DE，過點D作DE的垂線交直線AB于點F，連接EF，取EF的中點G，連接CG．
（1）當CE＜BC時，
①補全圖1；
②求證：△ADF≌△CDE；
③用等式表示線段CD，CE，CG之間的數(shù)量關系，并證明．
（2）如圖2，當CE＞BC時，請你直接寫出線段CD，CE，CG之間的數(shù)量關系．
【分析】（1）①根據(jù)題意作出圖形即可；
②由正方形的性質 得AD＝CD＝AB＝BC，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，進而∠DCE＝180°﹣90°＝90°＝∠DAF 又 DF⊥DE，得∠FDE＝∠ADC＝90°，從而∠ADF＝∠CDE，于是證明△ADF≌△CDE（ASA）；
③在BC上取一點M，使得CM＝CE，連接FM，證CG是△EFM的中位線，得，再證明BF＝BM，利用勾股定理得，從而即可得解；
（2）在CB延長線上取一點M，使得CM＝CE，連接FM，由正方形的性質得AD＝CD＝AB＝BC，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，進而證明△ADF≌△CDE（ASA），得AF＝CE＝CM，又證CG是△EFM的中位線，得再證BF＝BM，利用勾股定理得，從而即可得解．
【解答】解：（1）①如圖即為所求，
②證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣90°＝90°＝∠DAF，
∵DF⊥DE，∠FDE＝∠ADC＝90°，
即∠ADF+∠FDC＝∠FDC+∠CDE＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（ASA）；
③，理由如下：
在BC上取一點M，使得CM＝CE，連接FM，
∵△ADF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE；
∵CE＝CM，點G是EF的中點，
∴CG是△EFM的中位線，
∴，
由②得AB＝BC，CE＝AF，∠ABC＝90°，
∴AF+BF＝BM+CM，CM＝CE＝AF，
∴BF＝BM，
∵∠ABC＝90°，
∴，
∴；
（2），
理由如下：在CB延長線上取一點M，使得CM＝CE，連接FM．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∠DCE＝180°﹣90°＝90°＝∠DAF，
∵DF⊥DE，∠FDE＝∠ADC＝90°，即∠ADF+∠FDC＝∠FDC+∠CDE＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE＝CM，
∵點G是EF的中點，
∴CG是△EFM的中位線，，
∵AF＝CM，AB＝BC，
∴AB+BF＝BC+BM，
∴BF＝BM，
∵∠MBF＝∠ABC＝90°，
∴，
∴CG＝FM＝（CE﹣CD）．
【點評】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質，全等三角形的判定及性質，三角形的中位線的判定及性質及垂線定義，熟練掌握三角形的中位線的判定及性質和正方形的性質是解題的關鍵．
聲明：試題解析著作權屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/9/11 7:44:42；用戶：王立研；郵箱：rFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@；學號：25840186月份
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