1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式，得，即，而，則，
所以.
故選：B.
2 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，則，
所以，故.
故選：C.
3. 已知為單位向量，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，?br>所以，則，
所以.
故選：D.
4. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 1B. 0C. D. 2
【答案】D
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由為偶函數(shù)，得，
則，整理得，
而不恒為0，
于是，即，解得，
所以實(shí)數(shù).
故選：D.
5. 芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面為矩形，頂棱和底面平行，書中描述了芻薨的體積計(jì)算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是芻薨的高，即頂棱到底面的距離），已知和均為等邊三角形，若二面角和的大小均為，則該芻薨的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令點(diǎn)在平面的投影分別為，取的中點(diǎn)，連接，
由平面，平面，得，
由正，得，平面，
則平面，同理平面，由四邊形為矩形，得，
于是平面，而面，平面，
則，
顯然，有，且都在平面，因此點(diǎn)共線，
顯然，而平面，平面平面，平面，則，
四邊形為平行四邊形，，
由，，得是二面角的平面角，
即，
則，又，
因此，
同理，而，則，
所以該芻薨的體積為.
故選：A.
6. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，又，
所以.
故選：B.
7. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，設(shè)甲：；乙：，則（ ）
A. 甲是乙的充分不必要條件
B. 甲是乙的必要不充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】等比數(shù)列的公比為，且，
當(dāng)時(shí)，，因此；
當(dāng)時(shí)，有，即，而，則，
又，，于是，即，
又，因此，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C.
8. 已知雙曲線，點(diǎn)，若上存在三個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則的離心率的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)，由點(diǎn)，，
得，
整理得，由，
消去得，
即，解得或，
依題意，，則有，
因此雙曲線的離心率，
所以的離心率的取值范圍是.
故選：A.
二?多選題：本題共4小題，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若和外離，則或
B. 若和外切，則
C. 當(dāng)時(shí)，有且僅有一條直線與和均相切
D. 當(dāng)時(shí)，和內(nèi)含
【答案】ABC
【解析】圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以，
若和外離，則，
解得或，故A正確；
若和外切，則，解得，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，則和相交，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
10. 已知正實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. 的最大值為0D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】對于A，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故A錯(cuò)誤；
對于B，由，可知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故正確；
對于C，由，可知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故C正確；
對于D，，當(dāng)?shù)忍柍晌模?br>由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
因?yàn)榍昂髢纱尾坏仁饺〉葪l件不一致，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 已知，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，所以?br>又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，故A正確；
由A可知，所以，故B正確；
因?yàn)閱握{(diào)遞增，
且，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>又二次函數(shù)的對稱軸為1，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，故D正確，
故選：ABD.
12. 在三棱錐中，平面，，P為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），與平面所成的角為，則（ ）
A. 的最小值為
B. 的最大值為
C. 有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得
D. 所有滿足條件的線段形成的曲面面積
【答案】ACD
【解析】依題意，，
取的中點(diǎn)M，則，所以平面，
過A作于H，因?yàn)槠矫妫?br>所以，所以平面，
易得，且H為等邊的外心，
由與平面所成角為，可知，
所以點(diǎn)P軌跡是以H為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部的一部分，如圖所示，
所以的最小值為，A選項(xiàng)正確；
由于軌跡圓部分在平面外部，所以的最大值不等于，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫妫?，則點(diǎn)P在線段上，
有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足題意，C選項(xiàng)正確；
動(dòng)線段形成的曲面為圓錐側(cè)面積的一部分，因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)?，所以曲面面積為圓錐側(cè)面的，
圓錐側(cè)面積為，
所以所有滿足條件的動(dòng)線段形成的曲面面積為，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD．
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則______．
【答案】
【解析】令等差數(shù)列的公差為，
由，得，解得，
所以.
14. 已知函數(shù)，且為曲線的一條切線，則______．
【答案】2
【解析】設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)，
由求導(dǎo)得，切線斜率為，
因此切線方程為，
依題意，，且，聯(lián)立消去得，
令函數(shù)，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，
所以.
15. 設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的取值范圍為，則橢C的長軸長為______．
【答案】
【解析】橢圓半焦距為c，為的中點(diǎn)，
，顯然，
于是，
因此，即，解得，，即，
所以橢圓C的長軸長為.
16. 已知函數(shù)，若，且，則______．
【答案】
【解析】由可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，則，
又，即，
所以，
因?yàn)椋?br>又，則，
所以，則，即，
解得（負(fù)值舍去），故，
所以，則，
則.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且．
（1）求的外接圓的半徑；
（2）若，且，求邊上的高．
解：（1）在中，，解得，
由正弦定理得的外接圓的半徑.
（2）由（1）知，，
由余弦定理得，則，
令邊上的高為，則，即，
所以邊上的高為.
18. 設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)和，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，證明：．
（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，則，
當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，
顯然符合，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）證明：由（1）知，，
所以
.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)分別為的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，求的取值范圍．
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得或，
則當(dāng)時(shí)，由，得，
由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，，，
因此，設(shè)，
求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以的取值范圍是.
20. 如圖，在四棱錐中，，設(shè)分列為棱的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，求與平面所成角的正弦值．
（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，且，
又，且，
于是，四邊形為平行四邊形，
則，又平面平面，
所以平面.
（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由，得，
又是的中點(diǎn)，則，
又是的中點(diǎn)，則，
而平面，
于是平面，平面，，
又平面，
因此平面，
不妨設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、過點(diǎn)平行于的直線、
直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
由為的中點(diǎn)，得，
由（1）知，，直線與平面所成角即為直線與平面所成角，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，
設(shè)與平面所成角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
21. 已知函數(shù)．
（1）證明：有唯一的極值點(diǎn)；
（2）若，求的取值范圍．
（1）證明：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，取，且，
顯然，因此存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值，所以有唯一極值點(diǎn)
（2）解：由（1）知，，即，
依題意，，將代入整理得，，設(shè)，求導(dǎo)得，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，解得，
因此，解得，所以的取值范圍是.
22. 已知拋物線為的焦點(diǎn)，在上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與交于兩點(diǎn)（分別位于直線的兩側(cè)），且直線的斜率之和為0，
（?。┣笾本€的斜率；
（ⅱ）求的面積的最大值．
解：（1）拋物線的準(zhǔn)線為，
由拋物線的定義得，解得，所以拋物線的方程為.
（2）（i）將代入的方程，解得，而，解得，
設(shè)，則直線斜率為，
點(diǎn)，則直線斜率為，同理得直線斜率為，
依題意，，解得，
所以直線的斜率為.
（ii）設(shè)直線，由消去x得，
顯然，，
由，分別位于直線兩側(cè)，得，，
解得，
，
點(diǎn)到直線的距離，面積為，
設(shè)，，求導(dǎo)得，
由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，，
所以面積的最大值為.

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